Rayon de convergence

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Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge :

R = \sup\left\{|z|: z\in\C,\sum a_n z^n \text{ converge simplement }\right\}\in\, [0,+\infty] = \overline{\R^+}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon R. En particulier, la valeur de la somme ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple :

  • \sum^\infty_{n=0}{a_nz^n}=\sum^\infty_{n=0}a_{2n}z^{2n}+\sum^\infty_{n=0}a_{2n+1}z^{2n+1}
  • \sum^\infty_{n=0}\sum^\infty_{k=0}{a_nb_kz^{n+k}}=\left(\sum^\infty_{n=0}a_nz^n\right)\left(\sum^\infty_{k=0}b_kz^k\right)\ \ \forall |z|<\min(R_{1},R_{2}), où R_1 et R_2 sont les rayons de convergence des deux séries entières.

Si la série entière \sum^\infty_{n=0}{a_nz^n} a pour rayon de convergence R alors :