Rayon de convergence

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Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon R. En particulier, la valeur de la somme ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple :

  •  ;
  • , où et sont les rayons de convergence des deux séries entières.

Si la série entière a pour rayon de convergence R alors :

  • la convergence est même normale (donc uniforme) sur tout disque D(0, r) tel que r < R ;
  • en tout complexe de module strictement supérieur à R, la série diverge grossièrement ;
  • si |z| = R, on ne peut rien dire sur la convergence ;
  • Théorème de Cauchy-Hadamard : , où lim sup désigne la limite supérieure ;
  • Si R est non nul alors, sur le disque ouvert de convergence, la somme f de la série entière est une fonction holomorphe et