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La transposée AT d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (AT)T est la matrice A d'origine.
En mathématiques, la matrice transposée (ou la transposée) d'une matrice est la matrice , également notée , ou [1], obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .
Plus précisément, si on note pour et pour les coefficients respectivement de et de alors pour tout on a .
Par exemple, si
alors
.
Propriétés
On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note et deux matrices quelconques de et un scalaire.
La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
.
Si une matrice carrée est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de est égale à l'inverse de sa transposée :
.
Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée AT est la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir « Espace dual »).
Hypergraphes
Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.
Si est un anneau non commutatif, on considère la transposée d'une matrice de plutôt comme un élément de , où est l'anneau opposé de , de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,
.
Autrement dit, la transposition est un antimorphisme.
Complément
Vérifions qu'on peut identifier l'anneau avec l'anneau , la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble avec l'ensemble , les matrices s'identifient à leurs éléments respectifs . L'application de dans est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau avec l'anneau ; en particulier, s'identifie à . Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées à respectivement, on a dans , d'après ce qui précède, où est le produit de et dans , à savoir . Par conséquent, , donc s'identifie à , ce qui exprime la compatibilité attendue.
Notes et références
↑La norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7, recommande la notation .