Involution (mathématiques)

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Une involution est une application f:E\to E qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à un élément x de E redonne l'élément de départ : x.

En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne. En algèbre linéaire, les endomorphismes involutifs sont d'ailleurs appelés symétries.

De nombreux exemples d'involutions apparaissent dans des domaines variés des mathématiques, satisfaisant des propriétés de points fixes, notamment en combinatoire et en topologie. Une involution peut aussi être associée à un phénomène de dualité.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Une application f:E\to E est involutive si et seulement si f(f(x))=x pour tout x\in E.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Une involution admet un inverse : elle-même. Les applications involutives sont des bijections.

La composée gf de deux involutions f et g sur E est involutive si et seulement si f et g commutent, c'est-à-dire si fg = gf.

Si f est une involution sur E :

  • si g est une bijection de E sur F, de bijection réciproque g−1, alors gfg−1 est une involution sur F ;
  • si g est une application de E dans E telle que gfg = f, alors fg et gf sont des involutions sur E.

Exemples[modifier | modifier le code]

Un des cas qui revient fréquemment est celui d'une involution dans un anneau par rapport à la deuxième loi. Par exemple en algèbre linéaire, si K est un corps et E un K-espace vectoriel :

  • les symétries sur E sont les endomorphismes involutifs de E, c'est-à-dire les éléments f de L(E) tels que ff est égal à idE, l'élément neutre pour la loi ∘ de l'anneau (L(E), +, ∘) ;
  • lorsque E est de dimension finie n, cela se transcrit (en identifiant chaque endomorphisme de E à sa matrice dans une base fixée) en :
    dans l'anneau de matrices carrées (Mn(K), +, ×), un élément A est involutif si et seulement si A×A est égal à In, l'élément neutre pour la loi ×.

En algèbre, l'application d'un groupe dans lui-même qui à chaque élément x associe son symétrique x−1 est involutive : (x−1)−1 = x.

En analyse, pour tous réels b ≠ 0 et a, les applications x\mapsto\frac b{x-a}+a, définie sur ℝ\{a} et x\mapsto a-x, définie sur ℝ, sont des involutions.

La conjugaison complexe est une involution de . Plus généralement :

  • sur l'ensemble des matrices à coefficients complexes, l'application qui à toute matrice associe son adjointe est une involution. Par conséquent, sa restriction aux matrices à coefficients réels (la transposition) aussi ;
  • sur une extension quadratique, l'application qui à tout élément associe son conjugué est involutive.

En logique classique, la négation est involutive : « non non A » équivaut à « A » ; mais ce n'est pas le cas en logique intuitionniste.

Une permutation est une involution si et seulement si elle se décompose en cycles disjoints de longueurs inférieures ou égales à 2. Elle est ainsi exclusivement constituée de points fixes et de transpositions.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Le concept d'involution peut être étendu à d'autres objets mathématiques : en effet si l'on considère un monoïde (M, ✻, e), on dit qu'un élément a de M est une involution (pour la loi ✻) ou est involutif (dans M) si aa = e. Ainsi, l'élément neutre d'un monoïde est une involution de ce monoïde.

La loi ✻ généralise en fait la loi de composition ∘. Cependant l'involution a cesse d'être une fonction (de la même manière que les notions d'élément et d'appartenance sont perdus dans un algèbre de Boole des parties d'un ensemble). C'est donc très réducteur. En particulier, la caractérisation de l'involution par la détermination de ces points fixes n'est plus possible.

Voir aussi[modifier | modifier le code]