Antimorphisme

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En mathématiques, un antimorphisme (parfois appelé antihomomorphisme), est une application entre deux structures algébriques qui renverse l'ordre des opérations.

Cas des magmas[modifier | modifier le code]

Considérons les magmas et , c'est-à-dire que et sont deux ensembles munis respectivement de deux lois de composition interne notées et . Une application est un antimorphisme de dans si

Autrement dit, si on définit le magma opposée par et

alors est un antimorphisme de dans si et seulement si est un morphisme de dans .

  • Dans le cas où et est bijective, on dit que c'est un antiautomorphisme.
  • Dans le cas où la loi est commutative, les notions d'antimorphisme et de morphisme sont les mêmes, ainsi que celles d'automorphisme et d'antiautomorphisme.
  • La composition de deux antimorphismes est un morphisme, puisqu'inverser deux fois l'ordre des opérations préserve l'ordre des opérations. Par contre, la composition d'un antimorphisme avec un morphisme est un antimorphisme (quel que soit le sens de la composition).

Cas des groupes[modifier | modifier le code]

Pour deux groupes et (notés multiplicativement), on dit qu'une application est un antimorphisme de groupes de dans si

pour tout .

Autrement dit, est un antimorphisme de groupe de dans si, et seulement si, est un morphisme de groupes de dans , le groupe opposé de .

Par exemple, l'application inverse est un antimorphisme de groupes de dans lui-même qui est de plus bijective. Ainsi, un groupe est toujours isomorphe à son groupe opposé.

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Pour deux anneaux (unitaires) et , on dit qu'une application est un antimorphisme d'anneaux de dans si elle est un morphisme vis-à-vis de la loi additive mais un antimorphisme pour la loi multiplicative, c'est-à-dire que

(en notant respectivement et les unités de et );

pour tout .

Autrement dit, est un antimorphisme d'anneaux de dans si, et seulement si, est un morphisme d'anneaux de dans , l'anneau opposé de .

Par exemple, l'application transposée entre deux anneaux de matrices est un antimorphisme d'anneaux.

Cas des algèbres[modifier | modifier le code]

Pour deux algèbres et sur un corps , on dit qu'une application est un antimorphisme d'algèbres de dans si elle est linéaire vis-à-vis de la loi additive mais un antimorphisme pour la loi multiplicative, c'est-à-dire que

pour tout et .

Autrement dit, est un antimorphisme d'algèbres de dans si, et seulement si, est un morphisme d'algèbres de dans , l'algèbre opposée de .

Par exemple, la conjugaison sur l'algèbre réelle des quaternions est un antimorphisme d'algèbres.

Algèbre involutive[modifier | modifier le code]

Un cas particulier important est le cas où on considère un antiautomorphisme d'une algèbre (c'est-à-dire d'un antimorphisme bijectif de dans lui-même) qui est involutif, c'est-à-dire tel que est l'identité de . Si un tel antiautomorphisme existe, on dit que est une algèbre involutive. Les quaternions, en considérant comme antiautomorphisme involutif la conjugaison, forment une algèbre involutive sur le corps des réels.