Anneau opposé

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En algèbre, l'anneau opposé[1] A0 ou Aop d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note et les multiplications respectives de A et Aop, on a

.

La notion d'anneau opposé permet d'unifier l'étude des modules à gauche et des modules à droite, car les modules à droite sur un anneau sont exactement les modules à gauche sur l'anneau opposé[2].

Propriétés[modifier | modifier le code]

A et Aop ont même zéro et (le cas échéant) même unité. L'égalité A = Aop a lieu si et seulement si A est commutatif.

Si A est un corps (non forcément commutatif), l'anneau opposé de A est lui aussi un corps. Dans ce cas, on dit[3] « le corps opposé de A » plutôt que « l'anneau opposé de A ».

Toute K-algèbre A est isomorphe à l'opposée de la K-algèbre des endomorphismes du A-module A :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Expression conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, , p. I.96, déf. V, qui emploie la notation A0.
  2. Bourbaki 1970, p. II, 2.
  3. Voir par exemple Bourbaki 1970, p. II.159, prop. 10.