Théorème de Darmois

Énoncé

Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de $\theta$

• Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon $(X_{1},...,X_{n})$ admette une statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :

$f(x,\theta )=\exp(a(x)\cdot \alpha (\theta )+b(x)+\beta (\theta ))$ (famille exponentielle)

• Si la densité est de cette forme et si de plus l'application $x_{1}\to \sum _{i=1}^{n}a(x_{i})$ est bijective et continûment différentiable pour tout i,

alors $T=\sum _{i=1}^{n}a(X_{i})$ est une statistique exhaustive particulière.