Anomalie moyenne

En mécanique céleste, l'anomalie moyenne (en anglais : mean anomaly) est une mesure d'angle entre le périapse et la position d'un corps fictif parcourant une orbite circulaire synchrone avec le corps réel.

Le terme « anomalie » trouve son origine historique dans le système géocentrique antique dans lequel les anciens constataient une anomalie de l'orbite par rapport à l'orbite circulaire idéale.

Notation

L'anomalie moyenne est couramment notée $M$ (lettre M capitale de l'alphabet latin).

Calcul

L'anomalie moyenne est donnée par la formule :

$M=n\,(t-t_{0})={\sqrt {\frac {G(M_{\star }\!+\!m)}{a^{3}}}}\,(t-t_{0})$

dans laquelle :

• $n$ est le mouvement moyen ;
• $a$ est le demi-grand axe ;
• $M_{\star }$ et $m$ sont les masses ;
• $G$ est la constante gravitationnelle ;
• $t$ est le temps ;
• $t_{0}$ est l'instant de passage au périapse.

Dans le cas d'une orbite elliptique, l'anomalie moyenne est liée à l'anomalie excentrique $E$ et à l'excentricité $e$ par l'équation de Kepler : $M=E-e\,\sin E$. Celle-ci permet de calculer l'heure en fonction de la position de la planète. En revanche la formule réciproque qui exprimerait $E$ en fonction du temps est plus difficile.

Diagramme

Dans le diagramme ci-dessous, l'anomalie moyenne, notée $M$, est l'angle ${\widehat {zcy}}$. Le point $y$ est défini de façon que le secteur circulaire $zcy$ ait la même surface que le secteur d'ellipse $zsp$. L'angle ${\widehat {zcx}}$ est l'anomalie excentrique $E$. L'angle ${\widehat {zsp}}$ est l'anomalie vraie $V$. La position $p$ de la planète se trouve à l'intersection de l'ellipse avec la perpendiculaire à l'axe des absides passant par $x$. Cette droite est dans la direction d'une affinité de rapport $b/a$ entre le grand cercle et l'ellipse.

Démonstration de la formule de Kepler

En faisant la soustraction de l'aire du secteur circulaire $zcx$ notée ${\mathcal {A}}_{1}$ par l'aire du triangle $scx$ notée ${\mathcal {A}}_{2}$ on trouve la surface notée ${\mathcal {A}}_{3}$, puis en faisant l'affinité de rapport $b/a$ on trouve l'aire du secteur d'ellipse $zsp$ notée ${\mathcal {A}}$ :

${\mathcal {A}}_{1}=\pi a^{2}\times {\frac {E}{2\pi }}={\tfrac {1}{2}}a^{2}E$, ${\mathcal {A}}_{2}={\tfrac {1}{2}}a^{2}e\sin E$, d'où ${\mathcal {A}}_{3}={\tfrac {1}{2}}a^{2}(E-e\sin E)$ puis ${\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}ab(E-e\sin E)$.

On connait l'aire totale et la période $T$ de l'ellipse donc au cours d'une variation de temps $\Delta t$ la surface balayée par le rayon de l'ellipse est aussi :

${\frac {\pi ab}{T}}\times \Delta t={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)\Rightarrow {\frac {2\pi }{T}}\times \Delta t=E-e\sin E$.

Or $2\pi /T$ est la vitesse angulaire $w$ donc $w\times \Delta t$ est l'angle parcouru par la planète fictive ayant un mouvement circulaire uniforme de même période $T$ que l'ellipse. C'est l'anomalie moyenne $M$. D'où $M=E-e\sin E$.

Voir aussi

Bibliographie

• [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., x+956 p., ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.anomalie, p. 35, col. 1-2.

Articles connexes

• Anomalie excentrique
• Anomalie vraie
• Équation de Kepler
• Lois de Kepler