Énergie orbitale spécifique

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En mécanique spatiale, l'énergie orbitale spécifique de deux corps orbitants est la somme constante de leur énergie potentielle mutuelle () et de l'énergie cinétique totale (), divisé par leur masse réduite . Selon l'équation de la force vive, selon la Loi universelle de la gravitation cela donne l'équation qui ne varie pas avec le temps:

Considérant le mouvement d'un satellite ou une sonde autour d'un attracteur, en l'absence de perturbations orbitales, spécifique de l'énergie totale est conservée, l'équation est :

Pour chaque point de la trajectoire la loi de la conservation de l'énergie orbitale spécifique:

L'unité SI de l'énergie orbitale spécifique est : J/kg = m2s−2.

Conditions préalables[modifier | modifier le code]

Certaines conditions, déjà connues de Loi universelle de la gravitation selon Newton, doivent d'abord être posées pour simplifier ce qui suit.

Deux masses en forme de point et sont dans le vide à la distance l'une de l'autre. Seule la force de gravitation agit, instantanément et quelle que soit la distance. Le système de coordonnées et inertiel.

En plus il est supposé que . Il y a donc , le corps central, dans l'origine du système de coordonnées et est le satellite qui tourne autour. La masse réduite est égale à . L'équation du problème à deux corps

décrit le mouvement. est le paramètre gravitationnel standard et (valeur absolue ) est le vecteur de distance qui pointe depuis le corps central au satellite parce que la masse du satellite est négligeable[Notes 1].

C'est important de ne pas confondre le paramètre gravitationnel standard avec la masse réduite dont le symbole est souvent également.

Énergie orbitale spécifique[modifier | modifier le code]

Vecteur de distance , vecteur de vitesse , anomalie vraie et angle de vol de en orbite autour de . Les principales grandeurs de l'ellipse sont aussi dans la figure.

On obtient l'énergie orbitale spécifique en multipliant l'équation du problème à deux corps avec le vecteur selon un produit scalaire

La figure à droite donne les relations

  • (le changement du composant radial de , ne pas confondre avec la valeur absolue de )

avec les différentielles suivantes

l'équation devient

Cela veut dire que la somme est constante (grandeur conservée). Et cette somme est exactement l'énergie par unité de masse du satellite, on reconnait l'énergie cinétique par unité de masse et l'énergie potentielle par unité de masse [Références 1]

avec la constante d'intégration , qui peut être fixée au choix selon où . En général on choisit [Références 1].

En clair l'équation dit que l'énergie orbitale augmente avec la distance entre le satellite et le corps central et avec la vitesse du satellite. La convention équivaut à ce que l'énergie orbitale spécifique est négative lorsque le satellite repose sur la surface ou est en orbite fermée. L'énergie est positive quand le satellite est en évasion du champ de gravité.

Équation de la force vive[modifier | modifier le code]

Article détaillé : équation de la force vive.

L'équation de l'énergie orbitale spécifique peut être transformée dans la forme traditionnelle de l'équation de la force vive. Il suffit de considérer l'énergie orbitale à une seule position sur l'orbite (elle est constante), par exemple en périapside. Avec le moment cinétique spécifique la vitesse est

Pour un mouvement képlérien il convient

Pour résumer l'énergie orbital spécifique est :

à part pour un mouvement parabolique où .

Quelques changements simples donnent la forme traditionnelle de l'équation de la force vive [Références 2]

Le rapport important dit clairement que l'énergie d'un satellite dépend uniquement du paramètre gravitationnel standard et du demi-grand axe de l'orbite.

Cela est valable pour l'orbite elliptique: , , qui contient l'orbite circulaire comme cas spécial ; et pour l'orbite hyperbolique: , . Dans le cas limite de l'orbite parabolique, l'énergie est 0.Le satellite se trouve alors à la limite entre capté dans le champ gravitationnel du corps central et évasion du champ gravitationnel du corps central.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'altitude, la vitesse tangentielle, la période de révolution et l'énergie orbitale spécifique de certaines orbites autour de la Terre
Orbite terrestre Distance entre les centres Altitude au dessus de la surface terrestre Vitesse orbitale Période de révolution Énergie orbitale spécifique
En repos à l'équateur sur la surface de la Terre (valeur comparative, pas une orbite) 6 378 km 0 km 465,1 m/s 1 jour (24h) −62,6 MJ/kg
Orbite à hauteur de la surface de la Terre (équateur) 6 378 km 0 km 7.9 km/s 1 h 24 min 18 s −31,2 MJ/kg
Orbite terrestre basse 6 600 à 8 400 km 200 à 2000 km Cercle: 6,9 à 7,8 km/s
Ellipse: 6,5 à 8,2 km/s
1 h 29 min à
2 h 8 min
−29,8 MJ/kg
Orbite de Molnia 6 900 à 46 300 km 500 à 39 900 km 1,5 à 10,0 km/s 11 h 58 min −4,7 MJ/kg
Orbite géostationnaire 42 000 km 35 786 km 3,1 km/s 23 h 56 min −4,6 MJ/kg
Orbite de la Lune 363 000 à 406 000 km 357 000 à 399 000 km 0,97 à 1,08 km/s 27,3 jours −0,5 MJ/kg

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On n'est pas obligé de faire cette supposition pour dériver l'énergie orbitale spécifique. Alors l'origine du système de coordonnées est le barycentre, le paramètre gravitationnel standard et reste la masse réduite (pas ). Mais cette simplification est bonne dans la plupart des cas et les dérivations de l'énergie orbitale spécifique et de l'équation de la force vive sont plus simples.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Hawthorne, CA, Micorcosm Press, , 1106 p. (ISBN 9781881883180), p. 26
  2. (en) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Hawthorne, CA, Micorcosm Press, , 1106 p. (ISBN 9781881883180), p. 27