Fonction de Stumpff

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Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Karl Stumpff (en), sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction de Stumpff, est définie par :

La série converge pour tout réel .

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

On remarque que :

  • , où sinc désigne le sinus cardinal

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser pour passer au cas hyperbolique :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

On a également :

Pour tout entier positif n, .

Utilité[modifier | modifier le code]

La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est :

  • une ellipse si l'énergie est négative
  • une branche d'hyperbole si l'énergie est positive
  • une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).

Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différents fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.

Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du développement en série de sin et cos.

Références[modifier | modifier le code]