Anomalie excentrique

Dans la description de l'orbite képlérienne d'un objet céleste, l'anomalie excentrique, en général notée $E$ , est l'angle entre la direction du périapside et la position courante d'un objet sur son orbite, projetée sur le cercle exinscrit perpendiculairement au grand axe de l'ellipse, mesuré au centre de celle-ci.

Dans le diagramme ci-contre, c'est l'angle zcx. z est le périapside, p la position de l'objet, s le foyer de son orbite elliptique, c le centre de l'ellipse. Le point x est obtenu en projetant p sur le cercle exinscrit, perpendiculairement au grand-axe de l'ellipse.

Utilité

Bien que n'ayant pas de réalité physique (on ne mesure pas cet angle, mais l'anomalie vraie $v$ , représentant l'angle zsp entre le périastre z et la position réelle p du corps orbitant), l'anomalie excentrique présente un réel intérêt, en permettant d'abord d'écrire une équation paramétrique simple de l'ellipse : $x=a\cos E$ et $y=b\sin E$ , $x$ et $y$ étant les coordonnées du point p dans le repère de centre c le centre de l'ellipse, et $a$ et $b$ étant le demi grand axe et le demi petit axe de l'ellipse. Elle permet aussi d'établir une relation indirecte entre la distance $r$ de l'objet au foyer et l'intervalle de temps $t$ depuis le passage au périastre, c'est-à-dire que l'on ne dispose pas de la relation exacte $r(t)$ , mais d'une double relation entre $r$ et $E$ , et entre $t$ et $E$ . On a d'une part^[1]^,^[2] :

r=a(1-e\cos(E))

D'autre part, la relation entre anomalie excentrique $E$ et anomalie moyenne $M$ est^[3]^,^[4]^,^[5] :

E-e\sin(E)=M

L'anomalie moyenne étant facile à calculer à partir du temps $t$ , on en déduit le temps en fonction de l'anomalie excentrique : $M={\frac {2\pi }{T}}\times t$ , $T$ étant la période de révolution. Par contre l'inverse c'est-à-dire exprimer l'anomalie excentrique $E$ en fonction de l'anomalie moyenne et donc du temps est beaucoup plus difficile. Il n'existe pas de formules exactes mais des formules approchées. On procède généralement par itérations avec les développements en série^[6], en partant de $E_{0}=M$ et en exécutant cinq fois de suite l'instruction d'affectation $E_{i+1}=M+e\sin E_{i}$ .

Les relations entre anomalie excentrique $E$ et anomalie vraie $v$ sont^[7] :

\cos(E)={\frac {x}{a}}={\frac {e+\cos(v)}{1+e\cos(v)}}

\sin(E)={\frac {y}{b}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin(v)}{1+e\cos(v)}}

Inversement, on a^[8] :

\cos(v)={\frac {\cos(E)-e}{1-e\cos(E)}}

\sin(v)={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(E)}{1-e\cos(E)}}

\tan \left({\frac {v}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan \left({\frac {E}{2}}\right)

Ces dernières relations permettent d'obtenir l'anomalie vraie à partir de l'anomalie excentrique.

Articles connexes

Références

↑ D'après la formule de Pythagore on peut calculer le carré du rayon : $r^{2}=(x-ea)^{2}+y^{2}=(a\cos E-ea)^{2}+(b\sin E)^{2}=(a\cos E-ea)^{2}+(a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin E)^{2}=a^{2}\cos ^{2}E-2ea^{2}\cos E+e^{2}a^{2}+a^{2}\sin ^{2}E-e^{2}a^{2}\sin ^{2}E$ $=a^{2}(\cos ^{2}E+\sin ^{2}E-2e\cos E+e^{2}(1-\sin ^{2}E))=a^{2}(1-2e\cos E+e^{2}\cos ^{2}E)=a^{2}(1-e\cos E)^{2}\Rightarrow r=a(1-e\cos E)$
↑ Benoît et Pierre Beckers, « Les anomalies, l'équation de Kepler, la position du Soleil », sur Université de Technologie de Compiègne, LTAS Université de Liège
↑ Guy Sérane, Astronomie et ordinateur : initiation aux calculs de position et programmes basic, Paris, Dunod, 1987 (ISBN 978-2-04-016512-3, BNF 36648680), p. 21
↑ « Modélisation de la localisation d'un satellite sur sa trajectoire elliptique », sur Académie de Bordeaux
↑ Soit ${\mathcal {A}}_{1}$ l'aire délimitée par l'arc de cercle ${\overset {\frown }{zx}}$ et l'angle ${\widehat {zcx}}$ l'anomalie excentrique $E$ , ${\mathcal {A}}_{2}$ l'aire du triangle $csx$ , et ${\mathcal {A}}_{3}$ l'aire délimitée par l'arc de cercle ${\overset {\frown }{zx}}$ et l'angle ${\widehat {zsx}}$ . L'aire ${\mathcal {A}}$ qu'on se propose de calculer est délimitée par l'arc d'ellipse et l'angle ${\widehat {zsp}}$ l'anomalie vraie. ${\mathcal {A}}_{3}$ est la soustraction de ${\mathcal {A}}_{1}$ par ${\mathcal {A}}_{2}$ . Puis ${\mathcal {A}}$ est l'affinité de ${\mathcal {A}}_{3}$ de rapport $b/a$ . ${\mathcal {A}}_{1}={\tfrac {1}{2}}a^{2}E$ , ${\mathcal {A}}_{2}={\tfrac {1}{2}}a^{2}e\sin E$ , d'où ${\mathcal {A}}_{3}={\tfrac {1}{2}}a^{2}(E-e\sin E)$ puis ${\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}ab(E-e\sin E)$ . On connait l'aire et la période $T$ de l'ellipse donc au cours d'un intervalle de temps $t$ la surface balayée par le rayon de l'ellipse est aussi ${\frac {\pi ab}{T}}\times t={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)\Rightarrow {\frac {2\pi }{T}}\times t=E-e\sin E$ . Or $2\pi /T$ est la vitesse angulaire $w$ et $w\times t$ est l'angle parcouru par la planète fictive ayant un mouvement circulaire uniforme de même période $T$ . C'est l'anomalie moyenne $M$ . D'où $M=E-e\sin E$ .
↑ « Anomalie vraie, anomalie moyenne, anomalie excentrique, équation de Kepler », sur ISAE-SUPAERO, 7 mars 2011, p. 37-39
↑ En introduisant la formule du rayon on élimine le demi grand axe : $\cos E={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos v}{a}}={\frac {ae+a(1-e\cos E)\cos v}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos v=e+\cos v-e\cos E\cos v\Rightarrow \cos E(1+e\cos v)=e+\cos v\Rightarrow \cos E={\frac {e+\cos v}{1+e\cos v}}$ $\sin E={\frac {y}{b}}={\frac {r\sin v}{a{\sqrt {1-e^{2}}}}}={\frac {(1-e\cos E)\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {1-e(e+\cos v)/(1+e\cos v)}{\sqrt {1-e^{2}}}}\sin v={\frac {1+e\cos v-e^{2}-e\cos v}{(1+e\cos v){\sqrt {1-e^{2}}}}}\sin v={\frac {(1-e^{2}){\sqrt {1-e^{2}}}\sin v}{(1+e\cos v)(1-e^{2})}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin v}{1+e\cos v}}$
↑ Pour la formule avec la tangente on utilise la formule de linéarisation : $\tan ^{2}{\frac {v}{2}}={\frac {1-\cos v}{1+\cos v}}={\frac {1-(\cos E-e)/(1-e\cos E)}{1+(\cos E-e)/(1-e\cos E)}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {(1+e)(1-\cos E)}{(1-e)(1+\cos E)}}={\frac {1+e}{1-e}}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}\Rightarrow \tan {\frac {v}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}$

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[1] D'après la formule de Pythagore on peut calculer le carré du rayon : $r^{2}=(x-ea)^{2}+y^{2}=(a\cos E-ea)^{2}+(b\sin E)^{2}=(a\cos E-ea)^{2}+(a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin E)^{2}=a^{2}\cos ^{2}E-2ea^{2}\cos E+e^{2}a^{2}+a^{2}\sin ^{2}E-e^{2}a^{2}\sin ^{2}E$ $=a^{2}(\cos ^{2}E+\sin ^{2}E-2e\cos E+e^{2}(1-\sin ^{2}E))=a^{2}(1-2e\cos E+e^{2}\cos ^{2}E)=a^{2}(1-e\cos E)^{2}\Rightarrow r=a(1-e\cos E)$

[2] Benoît et Pierre Beckers, « Les anomalies, l'équation de Kepler, la position du Soleil », sur Université de Technologie de Compiègne, LTAS Université de Liège

[3] Guy Sérane, Astronomie et ordinateur : initiation aux calculs de position et programmes basic, Paris, Dunod, 1987 (ISBN 978-2-04-016512-3, BNF 36648680), p. 21

[4] « Modélisation de la localisation d'un satellite sur sa trajectoire elliptique », sur Académie de Bordeaux

[5] Soit ${\mathcal {A}}_{1}$ l'aire délimitée par l'arc de cercle ${\overset {\frown }{zx}}$ et l'angle ${\widehat {zcx}}$ l'anomalie excentrique $E$ , ${\mathcal {A}}_{2}$ l'aire du triangle $csx$ , et ${\mathcal {A}}_{3}$ l'aire délimitée par l'arc de cercle ${\overset {\frown }{zx}}$ et l'angle ${\widehat {zsx}}$ . L'aire ${\mathcal {A}}$ qu'on se propose de calculer est délimitée par l'arc d'ellipse et l'angle ${\widehat {zsp}}$ l'anomalie vraie. ${\mathcal {A}}_{3}$ est la soustraction de ${\mathcal {A}}_{1}$ par ${\mathcal {A}}_{2}$ . Puis ${\mathcal {A}}$ est l'affinité de ${\mathcal {A}}_{3}$ de rapport $b/a$ . ${\mathcal {A}}_{1}={\tfrac {1}{2}}a^{2}E$ , ${\mathcal {A}}_{2}={\tfrac {1}{2}}a^{2}e\sin E$ , d'où ${\mathcal {A}}_{3}={\tfrac {1}{2}}a^{2}(E-e\sin E)$ puis ${\mathcal {A}}={\tfrac {1}{2}}ab(E-e\sin E)$ . On connait l'aire et la période $T$ de l'ellipse donc au cours d'un intervalle de temps $t$ la surface balayée par le rayon de l'ellipse est aussi ${\frac {\pi ab}{T}}\times t={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)\Rightarrow {\frac {2\pi }{T}}\times t=E-e\sin E$ . Or $2\pi /T$ est la vitesse angulaire $w$ et $w\times t$ est l'angle parcouru par la planète fictive ayant un mouvement circulaire uniforme de même période $T$ . C'est l'anomalie moyenne $M$ . D'où $M=E-e\sin E$ .

[6] « Anomalie vraie, anomalie moyenne, anomalie excentrique, équation de Kepler », sur ISAE-SUPAERO, 7 mars 2011, p. 37-39

[7] En introduisant la formule du rayon on élimine le demi grand axe : $\cos E={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos v}{a}}={\frac {ae+a(1-e\cos E)\cos v}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos v=e+\cos v-e\cos E\cos v\Rightarrow \cos E(1+e\cos v)=e+\cos v\Rightarrow \cos E={\frac {e+\cos v}{1+e\cos v}}$ $\sin E={\frac {y}{b}}={\frac {r\sin v}{a{\sqrt {1-e^{2}}}}}={\frac {(1-e\cos E)\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {1-e(e+\cos v)/(1+e\cos v)}{\sqrt {1-e^{2}}}}\sin v={\frac {1+e\cos v-e^{2}-e\cos v}{(1+e\cos v){\sqrt {1-e^{2}}}}}\sin v={\frac {(1-e^{2}){\sqrt {1-e^{2}}}\sin v}{(1+e\cos v)(1-e^{2})}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin v}{1+e\cos v}}$

[8] Pour la formule avec la tangente on utilise la formule de linéarisation : $\tan ^{2}{\frac {v}{2}}={\frac {1-\cos v}{1+\cos v}}={\frac {1-(\cos E-e)/(1-e\cos E)}{1+(\cos E-e)/(1-e\cos E)}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {(1+e)(1-\cos E)}{(1-e)(1+\cos E)}}={\frac {1+e}{1-e}}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}\Rightarrow \tan {\frac {v}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}$

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