Anomalie excentrique

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Diagramme montrant diverses anomalies d'une ellipse.

Dans la description de l'orbite képlérienne d'un objet céleste, l'anomalie excentrique, en général notée E, est l'angle entre la direction du périapside et la position courante d'un objet sur son orbite, projetée sur le cercle exinscrit perpendiculairement au grand axe de l'ellipse, mesuré au centre de celle-ci. Dans le diagramme ci-dessous, c'est l'angle zcx.

Le point x est obtenu en projetant p sur le cercle exinscrit, perpendiculairement au grand-axe de l'ellipse.

Utilité[modifier | modifier le code]

Bien que n'ayant pas de réalité physique (on ne mesure pas cet angle, mais l'anomalie vraie, représentant l'angle entre la position réelle du corps orbitant et celle de son périastre), l'anomalie excentrique présente un réel intérêt, en permettant notamment d'établir une relation relativement simple entre la distance r de l'objet au foyer de la trajectoire et le temps t, sous la forme d'une équation paramétrique, c'est-à-dire que l'on ne dispose pas de la relation exacte r(t), mais d'une double relation entre r et E, et entre t et E.

r = a(1-e\cos(E))

La relation entre anomalie excentrique E et anomalie moyenne M est :

E - e\sin(E) = M

L'anomalie moyenne étant facile à calculer à partir du temps t, on en déduit l'anomalie excentrique E en fonction du temps. On procède généralement par itérations, en partant de E = M et en exécutant cinq fois de suite l'instruction d'affectation E := M + e\sin(E).

Les relations entre anomalie excentrique E et anomalie vraie \theta sont :

  \cos(E) = \frac{x}{a} =   \frac{ e + \cos(\theta)}{1 + e \cos(\theta)}
  \sin(E) = \frac{y}{b}  =  \frac{ \sqrt{1 - e^2} \, \sin(\theta)}{1 +  e \cos(\theta)}

Inversement, on a :

 \cos(\theta) =  \frac{\cos(E) - e}{1 - e \cos(E)}
  \sin(\theta) = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin(E)}{1 -  e \cos(E)}
 \tan(\frac{\theta}{2}) = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan(\frac{E}{2})

Ces dernières relations permettent d'obtenir l'anomalie vraie à partir de l'anomalie excentrique.

Articles connexes[modifier | modifier le code]