Démonstration des lois de Kepler

Les lois de Kepler ont été découvertes à partir des observations de Tycho Brahe à la fin du XVI^e siècle et de leur analyse poussée par Johannes Kepler dans les décennies qui ont suivi.

En 1687 dans les Philosophiae naturalis principia mathematica, Isaac Newton introduit la force de gravitation, qui se veut être à la fois une explication aux mouvements des planètes, et à la pesanteur sur Terre. Le problème exposé ici est de démontrer que la seule expression de la loi universelle de la gravitation, combinée au principe fondamental de la dynamique, fournit une justification des lois empiriques de Kepler. Il fut résolu par Newton avec les premières avancées du calcul infinitésimal et intégral. C'est cette démonstration à la fois physique algébrique et géométrique qui est développée dans l'article, en utilisant des conventions d'écriture modernes. Celle plus exclusivement mathématique basée sur le calcul différentiel se trouve dans les notes.

Mais le problème à deux corps n'est pas abordé dans les démonstrations qui suivent où la masse du corps en mouvement est considérée comme négligeable par rapport à celle du corps central, ce qui est le cas dans le système solaire. Le barycentre entre la planète et le Soleil est donc confondu avec le centre du Soleil et le référentiel héliocentrique est considéré comme immobile. Dans un problème plus difficile à deux corps l'astre le plus massif est lui aussi en mouvement autour du barycentre et l'étude des trajectoires impose de définir une planète fictive.

Conventions et notations pour démontrer les trois lois de Kepler

Les trois lois de Kepler

On prend donc le Soleil comme origine du référentiel, l'axe x sur l'axe des apsides de l'ellipse dans la direction correspondant à la distance la plus petite entre le Soleil et la planète, l'axe y la perpendiculaire située sur le paramètre de l'ellipse, et l'axe z la perpendiculaire au plan de l'écliptique passant par le Soleil.

• $M\,$: la masse du Soleil.
• $m\,$ : la masse de la planète.
• $O\,$ : la position du Soleil. C'est l'origine du référentiel.
• $P\,$ : la position de la planète.

• 

  Représentation du mouvement d'une planète

  $t=0\,$: l'instant où la planète se trouve le plus proche du Soleil.
• ${P_{0}}\,$: la position de la planète au temps $t=0\,$.

Elle s'appelle le périhélie. C'est le point le plus proche du Soleil.

• $a\,$ : la longueur du grand rayon (ou demi-grand axe).
• $b\,$ : la longueur du petit rayon (ou demi-petit axe).
• $c$ : la distance séparant le centre de l'ellipse à un des foyers.

• ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}$ : le vecteur allant du Soleil à la planète.
• $r=\|{\overrightarrow {r}}\|=\|{\overrightarrow {OP}}\|$ : la distance du Soleil à la planète.
• ${\overrightarrow {r_{0}}}={\overrightarrow {OP_{0}}}$ : le vecteur allant du Soleil à la planète au temps $t=0\,$.
• ${\overrightarrow {V}}={\frac {d{\overrightarrow {r}}}{dt}}$ : la vitesse de la planète, dérivée du vecteur position.

• 

  Schéma et notations pour démontrer la loi des aires

  ${\overrightarrow {a}}={\frac {d{\overrightarrow {V}}}{dt}}$ : le vecteur accélération de la planète
• ${\overrightarrow {V_{0}}}$ : la vitesse de la planète au temps $t=0\,$.
• ${\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}$ : la force d'attraction de la planète par le Soleil.
• $\theta$ : l'angle entre les vecteurs ${\overrightarrow {r_{0}}}$ et ${\overrightarrow {r}}$.
• $A(t)$ : l'aire délimitée par ces deux vecteurs et la trajectoire.
• $d\theta$ : l'angle entre ${\overrightarrow {r}}(t)$ et ${\overrightarrow {r}}(t+dt)$.
• $dA(t)$ : l'aire du triangle infinitésimal délimité par ces deux vecteurs.
• ${\frac {dA(t)}{dt}}$ : la vitesse aréolaire.
• $w={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {V\sin \alpha }{r}}$ : la vitesse angulaire de la planète.
• $\alpha$ : l'angle entre les vecteurs ${\overrightarrow {r}}$ et ${\overrightarrow {V}}$.
• ${\overrightarrow {L}}=m\cdot {\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {V}}$ : le moment cinétique relativement à l'origine où se trouve le Soleil.

C.f. le produit vectoriel "$\wedge \,$" pour des informations sur cet opérateur.

Première partie de la première loi

La force gravitationnelle du Soleil exercée sur la planète est toujours dirigée vers le Soleil.

Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète se trouve dans un plan.

Cela résulte du fait que le Soleil attire la planète selon une force centrale. C'est-à-dire une force qui est toujours dirigée de la planète vers le Soleil.

En effet, étant données une position ${\overrightarrow {r_{0}}}$ et une vitesse ${\overrightarrow {V_{0}}}$ initiales, cela définit un plan. Selon nos conventions ci-dessus, c'est le plan passant par l'origine O, contenant les axes x et y.

Puisque la force est centrale, elle et l'accélération sont dans une direction se trouvant dans ce même plan. Donc les variations de vitesses et les variations de positions resteront dans ce même plan. En conclusion toute la trajectoire restera dans ce plan.

Deuxième loi, loi des aires

La planète prendra le même temps à parcourir la trajectoire rouge qu'elle en prendra pour parcourir la trajectoire bleue car les aires A et B sont égales.

Démonstration par le moment cinétique

Soit $A(t)$ l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur ${\vec {r}}$ durant un temps $t$, alors cette seconde loi indique que des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

En dérivant le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}=m{\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {V}}$ par rapport au temps, on obtient :

${\frac {d{\overrightarrow {L}}}{dt}}=m{\overrightarrow {V}}\wedge {\overrightarrow {V}}+m{\overrightarrow {r}}\wedge {\frac {d{\overrightarrow {V}}}{dt}}=m{\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {a}}=m{\overrightarrow {r}}\wedge {\frac {1}{m}}{\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {0}}$.

Donc le moment cinétique est un vecteur constant. Cela résulte du fait que la force ${\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}$ est centrale (voir mouvement à force centrale).

D'autre part : ${\frac {L}{m}}=rVsin(\alpha )=2{\frac {dA(t)}{dt}}$ où $L=\|{\overrightarrow {L}}\|$, $V=\|{\overrightarrow {V}}\|$ et $\alpha$ désigne l'angle entre ${\overrightarrow {r}}$ et ${\overrightarrow {V}}$.

En effet, durant $dt$, le double de l'aire $dA(t)$ du triangle infinitésimal délimité par ${\overrightarrow {r}}(t)$ et ${\overrightarrow {r}}(t+dt)$ vaut $\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge {\overrightarrow {r}}(t+dt)\|=\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge ({\overrightarrow {r}}(t)+{\overrightarrow {V}}(t)dt)\|=\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge {\overrightarrow {V}}(t)\|\,dt=rV\sin(\alpha )dt$.

En conséquence : ${\frac {dA(t)}{dt}}={\frac {L}{2m}}=Constante\Rightarrow A(t)={\frac {L}{2m}}\,t$.

Variante par la formule de Green-Riemann

Image d'archive de la loi des aires

En notant $(x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta )$ la position du point M à l'instant t, l'aire balayée par le rayon vecteur ${\overrightarrow {r}}$ pendant le temps t vaut d'après la formule de Green-Riemann, $A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}(xy'-yx')dt$.

En remarquant que : $x^{2}{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\frac {y}{x}}{\Bigr )}=x^{2}{\Bigl (}{\frac {y'}{x}}-{\frac {yx'}{x^{2}}}{\Bigr )}=xy'-yx'$,

il vient : $A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}x^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {y}{x}}\right)dt$, soit avec les coordonnées polaires :

$A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Bigl (}r^{2}\cos ^{2}\theta \times {\frac {d\tan \theta }{dt}}{\Bigr )}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Bigl (}r^{2}\cos ^{2}\theta \times {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}\times {\frac {d\theta }{dt}}{\Bigr )}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}dt$.

Or la vitesse angulaire $w$ de la planète est la dérivée de l'angle $\theta$ soit ${\frac {d\theta }{dt}}$, et $rw=V\sin \alpha$.

Alors $r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=r^{2}w=rV\sin \alpha ={\frac {L}{m}}=Constante$, d'où finalement : $A(t)={\frac {L}{2m}}\int _{0}^{t}dt={\frac {L}{2m}}\,t$.

En définitive cette démonstration utilise aussi l'invariabilité du moment cinétique. Il est possible aussi de démontrer l'invariabilité de l'expression $r^{2}w$, appelée constante des aires, en calculant la dérivée seconde du vecteur ${\overrightarrow {r}}$ soit d'abord la vitesse puis l'accélération.

Démonstration géométrique

Démonstration géométrique de la loi des aires. Les triangles ABZ, BCZ et BC'Z ont la même aire car AB = BC et (BZ) est parallèle à (CC'). Δv est le vecteur correspondant à la force exercée par le corps central sur le point B.

Une autre démonstration utilise la loi d'égalité des aires des triangles ayant même base et même hauteur. On part d'un mouvement rectiligne uniforme d'un astre selon la loi de conservation de l'énergie. Soit un point O quelconque et M(t) la position de l'astre à l'instant t, le triangle reliant les points O, M(t) et M(t+Δt) a la même aire que celui reliant les points O, M(t+Δt), M(t+2Δt), et ainsi de suite car la distance de la base est toujours la même, égale à VxΔt. Si maintenant le point O est un astre massif comme le Soleil, la loi de Newton indique que ce corps exerce une force centrale sur l'objet mobile qui va alors être dévié de sa trajectoire. La vitesse de ce dernier au cours de la même durée Δt va être la somme vectorielle de celle qu'il aurait eu sans l'action du Soleil et d'un vecteur dirigé vers le Soleil. Et là encore la construction géométrique montre que quelle que soit la norme de ce vecteur centripète l'aire du triangle reste égale car il y a deux parallèles. Si l'intervalle de temps Δt est décomposé en intervalles de plus en plus petits δt, alors la somme des aires de tous les triangles de plus en plus fins pointés sur O devient une bonne approximation de l'aire balayée par le rayon. On retrouve la définition du calcul infinitésimal et intégral. Au cours d'une même variation de temps Δt l'aire balayée reste donc toujours égale.

Deuxième partie de la première loi

Comparaison des vitesses entre un mouvement circulaire et elliptique de même période

Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète est elliptique, un foyer étant le Soleil. En réalité pour être exact, il faudrait se placer au centre de gravité du système Soleil-planète.

Mais là encore on considère comme négligeable la masse m de la planète par rapport à la masse M du Soleil, et on place le centre de gravité au centre du Soleil. La trajectoire étudiée est donc seulement celle de la planète, ce qui est une simplification par rapport à un problème à deux corps. Il s'agit de démontrer que cette trajectoire est une ellipse.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Découpage de l'ellipse en douze angles égaux en partant du foyer. La différence vectorielle des vitesses entre deux points consécutifs a une norme constante et elle est visualisable sur la bissectrice de chaque angle en direction du Soleil.

${\frac {d{\overrightarrow {V}}}{dt}}={\overrightarrow {a}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,{\overrightarrow {u}}$ où ${\overrightarrow {u}}={\frac {\overrightarrow {r}}{r}}$ et ${\overrightarrow {a}}={\frac {\overrightarrow {F}}{m}}$.

Autrement dit l'intensité de la force gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Par changement de variable, on a : ${\frac {d{\overrightarrow {V}}}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,{\overrightarrow {u}}$.

Rappelons l'expression de la loi des aires : $A(t)={\frac {L}{2m}}\,t$.

Ainsi, l'aire balayée pendant un temps $dt\,$ est égale à ${\frac {L}{2m}}\,dt$.

Or cette aire vaut ${\frac {1}{2}}r^{2}d\theta$, donc ${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}$.

En combinant ces deux relations, on obtient :

Hodographe des vitesses dont les vecteurs bleus sont placés sur la même origine. Le vecteur rouge a pour norme eGMm/L, partant de l'origine des vitesses jusqu'au centre du cercle. Le rayon vecteur vert du cercle a pour norme GMm/L. La somme des deux vecteurs est la vitesse.

${\frac {d{\overrightarrow {V}}}{d\theta }}=-{\frac {GMm}{L}}\,{\overrightarrow {u}}=-\,Constante\times {\overrightarrow {u}}$ .

D'où en intégrant par rapport à $\theta$ : ${\overrightarrow {V}}={\frac {GMm}{L}}\,{\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {h}}$,

car d'après le repère de Frenet : ${\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}=-{\overrightarrow {u}}{\frac {d\theta }{dt}}\Rightarrow {\frac {d{\overrightarrow {n}}}{d\theta }}=-{\overrightarrow {u}}$,

${\overrightarrow {n}}$ étant le vecteur unité perpendiculaire à ${\overrightarrow {u}}$ dans le plan de la trajectoire, dirigé dans le sens le plus proche de celui de la vitesse, et ${\overrightarrow {h}}$ étant un vecteur constant colinéaire de ${\overrightarrow {V_{0}}}$ et relié au vecteur de Runge-Lenz.

Ce résultat s'appelle : théorème de Hermann, Laplace, Runge, Lenz, Hamilton. Ce théorème de cinématique date du début du XVIII^ème siècle, mais on l'attribue parfois à Hamilton. Dans le cas de l'attraction universelle de Newton, la différence vectorielle des vitesses pour une même variation d'angle est un vecteur dont la norme est constante et qui est dirigé vers le Soleil. C'est l'impulsion exercée par la force gravitationnelle sur la planète.

Construction des points d'une ellipse à partir d'un hodographe. Le cercle des vitesses composé de douze vecteurs forme un polygone régulier dont le centre est le premier foyer de l'ellipse. L'origine des vitesses est le deuxième foyer de l'ellipse. Cette ellipse esquissée au centre est tournée de 90° par rapport à la trajectoire de la planète placée horizontalement.

En ramenant les vecteurs vitesse à la même origine on obtient un hodographe qui est un cercle excentré par rapport à l'origine des vitesses. Il en résulte que la trajectoire est une conique : si l'origine des vitesses est à l'intérieur du cercle, la conique est une ellipse ; si elle est à l'extérieur, c'est une hyperbole ; si elle est sur la limite, c'est une parabole.

La construction géométrique commence par un polygone régulier. En faisant diminuer la variation d'angle $\Delta \theta$, le nombre de côtés augmente et la figure tend vers un cercle. Il est possible de reconstruire point par point une ellipse en traçant la médiatrice de chaque vecteur vitesse jusqu'à l'intersection avec le rayon vecteur du cercle.

Cette méthode peut servir de démonstration géométrique en remarquant que pour chaque point de l'ellipse dessinée au centre la somme des distances aux deux foyers est égale au rayon du cercle. La longueur de cette corde est donc constante, ce qui est une des définitions de l'ellipse.

La démonstration algébrique part de l'équation précédente qui peut s'écrire :

${\overrightarrow {V}}={\frac {GMm}{L}}{\overrightarrow {n}}+{\frac {GMm}{L}}{\overrightarrow {e}}={\frac {GMm}{L}}({\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {e}})$,

${\overrightarrow {e}}$ étant un vecteur colinéaire de ${\overrightarrow {V_{0}}}$ et de norme égale à $e$.

Puis en effectuant le produit scalaire avec ${\vec {n}}$, comme $({\overrightarrow {e}},{\overrightarrow {n}})=({\overrightarrow {V_{0}}},{\overrightarrow {n}})=({\overrightarrow {OP_{0}}},{\overrightarrow {OP}})=\theta$ :

${\frac {L}{GMm}}\times V\sin \alpha =1+e\cos \theta \Rightarrow {\frac {L}{GMm}}\times {\frac {L}{mr}}=1+e\cos \theta \Rightarrow {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=r(1+e\cos \theta )$.

Il s'ensuit : $p=r(1+e\cos \theta )$, avec $p={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}$, et on trouve l'expression : $r={\frac {p}{1+e\,\cos \theta }}$,

ce qui est la définition focale d'une conique en coordonnées polaires, d'excentricité $e={\frac {c}{a}}$ et de paramètre $p={\frac {b^{2}}{a}}$, d'angle polaire ayant pour origine le périhélie, comme il est usuel de le faire.

Si l'on prend l'aphélie comme origine : $r={\frac {p}{1-e\,\cos \theta }}$.

Il est possible aussi de démontrer cette formule par le calcul différentiel.

Troisième loi

Illustration de la relation entre le demi-grand axe et la période orbitale.

Le carré de la période $T\,$ varie comme le cube du demi-grand axe $a\,$ : ${\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$

$GM$ s'appelle la constante héliocentrique de gravitation. Elle est reliée à la constante gravitationnelle de Gauss qui est connue avec une extraordinaire précision (dix chiffres significatifs) et vaut $0{,}01720209895\,$ rad/j (alors que G n'est connue qu'avec 5 chiffres significatifs).

En utilisant : $A(T)=\pi ab={\frac {L}{2m}}\,T$ et $p={\frac {b^{2}}{a}}={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}$,

puis en éliminant $L\,$ entre ces égalités, on obtient le résultat annoncé :

$L^{2}={\frac {GMm^{2}b^{2}}{a}}={\frac {4\pi ^{2}a^{2}b^{2}m^{2}}{T^{2}}}\Rightarrow {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$.

Par conséquent, toutes les ellipses de même grand axe, quelle que soit leur excentricité $e\,$, ont la même période de révolution jusqu'à la circulaire où $e=0\,$.

Pour un même grand axe et un même corps central la période est identique quelle que soit l'excentricité et quelle que soit la masse de l'objet en rotation si celle-ci est négligeable par rapport au corps central.

Il est d'ailleurs courant de démontrer cette troisième loi dans le cas simple d'un mouvement circulaire uniforme. La vitesse angulaire du mobile est constante donc la norme de sa vitesse l'est aussi égale à $wr$. Le vecteur vitesse reste toujours perpendiculaire au rayon donc sa composante radiale est nulle : ${\overrightarrow {V}}=wr{\overrightarrow {n}}$. La dérivée du vecteur tournant ${\overrightarrow {n}}$ d'après le repère de Frenet est :

${\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {n}}}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=-w{\overrightarrow {u}}$, donc ${\overrightarrow {a}}={\frac {d{\overrightarrow {V}}}{dt}}=-w^{2}r{\overrightarrow {u}}=-{\frac {V^{2}}{r}}{\overrightarrow {u}}$.

Or on sait que $V={\frac {2\pi r}{T}}\Rightarrow V^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{2}}{T^{2}}}$, et que l'accélération est ${\overrightarrow {a}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\overrightarrow {u}}$, d'où : ${\frac {V^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}={\frac {GM}{r^{2}}}\Rightarrow {\frac {r^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$.

Le seul changement dans la formule est le demi grand axe remplacé par le rayon.

Voir aussi

Articles connexes

• Lois de Kepler
• Vitesse aréolaire
• Vecteur de Runge-Lenz
• Mouvement képlérien

Liens externes

• Définition et démonstration des lois de Kepler, sur le site Astrophy (en français)
• Démonstration des trois lois de Kepler et propriétés d'une ellipse
• La démonstration de l'ellipticité des trajectoires, faite par Richard Feynman et publiée par Brian Beckman dans The Journal of Symbolic Geometry Volume 1 en 2006. La traduction française est publiée