Vecteur de Poynting

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Le vecteur de Poynting, noté \vec\Pi, \vec{S}, \vec{R} ou \vec{N} indique, dans un milieu isotrope, la direction de propagation d'une onde électromagnétique. Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la puissance véhiculée par l'onde à travers cette surface.

Le module de ce vecteur est donc une puissance par unité de surface, c'est-à-dire un flux d'énergie, et s'exprime en watt par mètre carré[1].

Expression générale du vecteur de Poynting[modifier | modifier le code]

Soient E et B le champ électrique et le champ magnétique. Alors, le vecteur de Poynting est défini par :

\vec \Pi = \frac{\vec E \wedge \vec B}{\mu_0},

μ0 est la perméabilité du vide. Dans un matériau de perméabilité magnétique μ quelconque, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique H définie par la relation B = μ H. L'expression plus générale du vecteur de Poynting est donc :

\vec \Pi = \vec E \wedge \vec H.

Moyenne temporelle en notation complexe[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a \vec E=\vec{E_0}\cos{(\omega t-\phi)} et  \vec B=\vec B_0\cos{(\omega t-\psi)}. On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs \vec E et \vec B en posant (avec i le nombre complexe tel que i^2=-1) :

\underline{\vec E}=\underline{\vec E_0}e^{i\omega t}=\vec{E_0}e^{-i\phi}e^{i\omega t}

et

\underline{\vec B}=\underline{\vec B_0}e^{i\omega t}=\vec{B_0}e^{-i\psi}e^{i\omega t}.


La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :

\langle\vec{\Pi}\rangle_t=\frac{1}{2 \mu_0}\text{Re}\left(\underline{\vec E}\wedge\underline{\vec B}^\star\right) , où \underline{\vec B}^\star désigne le conjugué de \underline{\vec B} .

Puissance électromagnétique traversant une surface \Sigma[modifier | modifier le code]

Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface \Sigma est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.

\mathcal P_S=\iint_{\Sigma} \vec {\Pi} \cdot \mathrm d\vec S

Équation de l'énergie d'un champ électromagnétique[modifier | modifier le code]

Soit U_{em} l'énergie du champ électromagnétique :

U_{em}=\iiint_{V} W_{em}\mathrm d\tau avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)

On définit la quantité d'énergie quittant un volume \tau pendant un temps \delta t :

-\frac{\mathrm dU_{em}}{\mathrm dt}=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint_{V} W_{em}\mathrm d\tau=-\iiint_{V}\frac{\partial W_{em} }{\partial t} \mathrm d\tau

Soit \vec P, vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence) on peut dire que le flux sortant du volume V est :

\iint_{\Sigma} \vec P \cdot \vec n \ \mathrm dS avec \vec n vecteur normal à la surface. \Sigma du volume, orienté vers l'extérieur

On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :

  • Pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule).
  • Pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.

On peut donc dire que :

-\iiint_{V}\frac{\partial W_{em} }{\partial t} \mathrm d\tau = \iiint_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec P \mathrm d\tau + travail fourni par le champ à la matière

Calculons ce travail :

\vec F_{Electrique} = q(\vec E+\vec v \times \vec B)

W_{Electrique} = \vec F \cdot \mathrm d\vec r = q\vec E \cdot \mathrm d\vec r
(on voit facilement que la force magnétique ne travaille pas.)

Passons à la puissance fournie par le champ :

\frac{\partial W_{Electrique}}{\partial t} = \vec F \cdot \vec v = q \vec E \cdot \vec v pour une charge.

On est dans le cas de N charges :

\frac{\partial W_{Electrique}}{\partial t} = Nq \vec E \cdot \vec v or Nq\vec v = \vec j

donc \frac{\partial W_{Electrique}}{\partial t}=\vec j \cdot \vec E

Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :

-\iiint_{V}\frac{\partial W_{em} }{\partial t} d\tau = \iiint_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec P \mathrm d\tau + \iiint_{V} \vec j \cdot \vec E \mathrm d\tau

Donc finalement on a :

-\frac{\partial W_{em} }{\partial t} =\vec{\nabla} \cdot \vec P  + \vec j \cdot \vec E équation de l'énergie du champ électromagnétique

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Michel Dubesset, Le manuel du Système international d'unités: lexique et conversions, Éd. Technip, 2000. Lire en ligne

Article connexe[modifier | modifier le code]