Flux (mathématiques)

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En analyse vectorielle, on appelle flux d'un champ vectoriel deux quantités scalaires analogues, selon qu'on le calcule à travers une surface ou une courbe.

Flux à travers une surface[modifier | modifier le code]

On appelle flux (ou intégrale de surface) du champ vectoriel \mathbf{F} de \R^3 à travers la surface orientée \Sigma la quantité scalaire

\Phi\equiv\int_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

\mathrm{d}\mathbf{S} représente un vecteur normal élémentaire et \cdot le produit scalaire. Si la surface est donnée par le paramétrage \sigma(u,v) (où u et v varient dans un ouvert \Omega), ce vecteur est fourni par

\mathrm d\mathbf S = \left[\frac{\partial\sigma}{\partial u}\times\frac{\partial\sigma}{\partial v} \right] \mathrm du\,\mathrm dv

et le flux est alors

\Phi = \iint_\Omega \mathbf F\bigl(\sigma(u,v)\bigr) \cdot  \left[\frac{\partial\sigma}{\partial u}\times\frac{\partial\sigma}{\partial v} \right] \mathrm du\,\mathrm dv = \iint_\Omega \det\left(\mathbf F,\tfrac{\partial\sigma}{\partial u},\tfrac{\partial\sigma}{\partial v} \right) \mathrm du\,\mathrm dv

Si \Sigma est une surface fermée (on dit aussi sans bord) entourant un volume[1] V alors le flux peut être déterminé d'une autre manière, en invoquant le théorème de flux-divergence :

\Phi=\oint_{\Sigma}\mathbf{F}\cdot{\rm d}\mathbf{S}=\iiint_{\mathcal{V}}\operatorname{div}\,\mathbf{F}\;{\rm d}^3V

Flux à travers une courbe[modifier | modifier le code]

De la même manière, on définit le flux du champ \mathbf F=(P,Q) de \R^2 à travers la courbe \Gamma la quantité

\Psi = \int_{\Gamma} \mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf n = \iint_\Gamma (P\,\mathrm dy-Q\,\mathrm dx)

\mathrm d\mathbf n = (\mathrm dy, -\mathrm dx) représente un vecteur normal élémentaire. Cela revient à définir le flux de \mathbf F comme la circulation (ou intégrale curviligne) du champ orthogonal \mathbf G=(-Q,P) :

\Psi = \int_\Gamma \mathbf G\cdot \mathrm d\mathbf r

avec \mathrm d\mathbf r = (\mathrm dx,\mathrm dy). Le flux d'un champ à travers une courbe, à l'inverse de sa circulation, ne dépend que de sa composante normale à la courbe.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. \Sigma est alors le bord de V et on note \partial V=\Sigma.