Théorème de Poynting

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Le théorème de Poynting, énoncé par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre énergie électromagnétique, effet Joule et le flux du vecteur de Poynting.

-\iiint\frac{\partial W_{em} }{\partial t} \,\mathrm{d}\tau = \iiint\operatorname{div}\vec\Pi\cdot{\,\mathrm{d}\tau} + \iiint\vec{\jmath}\cdot\vec{E}{\,\mathrm{d}\tau}

soit, sous forme locale, pour un volume d\tau

-\frac{\partial}{\partial t}\left (\frac{\epsilon_{0}E^{2}}{2} + \frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\right ) = \operatorname{div} \left ( \frac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_{0}}\right ) + \vec{j}\cdot\vec{E}

soit dans le cas général

-\frac{\partial}{\partial t}\left (\frac{\vec{E}.\vec{D}}{2} + \frac{\vec{B}.\vec{H}}{2}\right ) = \operatorname{div} \left ( \vec{E}\wedge \vec{H}\right ) + \vec{j}\cdot\vec{E}

avec:

  • \vec{E}, champ électrique
  • \vec{H}, champ magnétique
  • \vec{B}, induction magnétique
  • \vec{D}, induction électrique
  • \vec{j}, densité de courant
  • \epsilon_{0}, permittivité dans le vide
  • \mu_{0}, perméabilité dans le vide


En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.

Démonstration à partir des équations de Maxwell[modifier | modifier le code]

 \mathrm{div}\; \mathbf \Pi = \mathrm{div}\; \frac{\mathbf E \times \mathbf B}{\mu_0} = -\frac{1}{\mu_0} \mathbf E\cdot\mathbf{rot}\; \mathbf B + \frac{1}{\mu_0} \mathbf B\cdot\mathbf{rot}\; \mathbf E en utilisant la formule d'analyse vectorielle.

 \mathrm{div}\; \mathbf \Pi = -\frac{1}{\mu_0} \mathbf E\cdot\left( \mu_0 \mathbf j + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \right) + \frac{1}{\mu_0} \mathbf B\cdot\left( -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\right ) en utilisant les équations de Maxwell - Ampère et Maxwell - Faraday.

 \mathrm{div}\; \mathbf \Pi = -\; \mathbf j \cdot\mathbf E - \varepsilon_0 \mathbf E\cdot\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} - \frac{1}{\mu_0} \mathbf B\cdot\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}

 \mathrm{div}\; \mathbf \Pi = -\; \mathbf j \cdot\mathbf E - \frac{\partial u}{\partial t}

avec  u = \frac{\varepsilon_{0} \mathbf E^{2}}{2} + \frac{\mathbf B^{2}}{2\mu_{0}} la densité volumique d'énergie électromagnétique.


Voir aussi[modifier | modifier le code]