Corps réel clos

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En mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Les corps suivants sont réels clos :

Caractérisation des corps réels clos[modifier | modifier le code]

Un corps commutatif F est réel clos (selon la définition de l'introduction) si et seulement s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes[2] :

  1. F est euclidien[3] et tout polynôme de degré impair à coefficients dans F admet au moins une racine dans F ;
  2. –1 n'est pas un carré dans F et F(-1) est algébriquement clos ;
  3. la clôture algébrique de F est une extension finie propre de F ;
  4. il existe un ordre sur F pour lequel le théorème des valeurs intermédiaires est vrai pour tout polynôme sur F.

Une démonstration de l'implication 1 ⇒ 2 (attribuée par Nicolas Bourbaki à Euler et Lagrange[4]) est donnée dans l'article consacré au théorème de d'Alembert-Gauss.

Théorème d'Artin-Schreier[modifier | modifier le code]

Emil Artin et Otto Schreier ont démontré en 1927[5] que pour tout corps totalement ordonné K, il existe un corps réel clos algébrique sur K et dont l'ordre prolonge celui de K. Cette extension, unique à isomorphisme près, est appelée la clôture réelle de K.

Par exemple, « la » clôture réelle de ℚ est le corps ℝ∩ des réels algébriques, d'après la caractérisation 2 ci-dessus. On peut remarquer[6] que d'après la caractérisation 3, c'est « l'unique » extension algébrique de ℚ dont « la » clôture algébrique est une extension finie propre.

Théorie des corps réels clos[modifier | modifier le code]

La théorie des corps réels clos est une théorie du premier ordre dont les symboles non logiques sont les constantes 0 et 1, les opérations arithmétiques +, ×, et la relation ≤ ; les formules sont construites à partir des formules atomiques via les connecteurs ⋀, ⋁, ⇒, et les quantificateurs ∀, ∃ ; les axiomes sont ceux qui expriment que la structure est précisément un corps réel clos.

Cette théorie admet l'élimination des quantificateurs, c'est-à-dire qu'il est possible, à partir d'une formule avec quantificateurs, de trouver une formule sans quantificateurs, avec les mêmes variables libres, et équivalente (c'est-à-dire que l'équivalence logique des deux formules, celle avant élimination et celle après élimination, se déduit des axiomes). Il existe des algorithmes qui mettent en œuvre cette élimination. Le premier, dû à Alfred Tarski[7], a une complexité non élémentaire, c'est-à-dire qui n'est pas bornée par une tour d'exponentielles 2^{2^{\dots^n}}, et a donc un intérêt principalement historique, mais donne un exemple d'une théorie axiomatique non triviale ne vérifiant pas le premier théorème d'incomplétude de Gödel.

James Davenport (en) et Joos Heintz ont montré en 1988 que le problème est intrinsèquement complexe : il existe une famille Φn de formules avec n quantificateurs, de longueur O(n) et de degré constant, telle que toute formule sans quantificateur équivalente à Φn doit mettre en œuvre des polynômes de degré 2^{2^{\Omega(n)}} et de longueur 2^{2^{\Omega(n)}}, avec les notations asymptotiques O et Ω.

Le logiciel QEPCAD et la fonction Reduce de Mathematica 5[8], par exemple, proposent des implémentations d'algorithmes d'élimination des quantificateurs pour les corps réels clos.

En raison de l'existence d'algorithmes d'élimination des quantificateurs, la théorie des corps réels clos est décidable : à partir de toute formule close, on peut obtenir algorithmiquement une formule équivalente sans quantificateurs ni variables libres, donc facilement décidable.

Une autre conséquence de l'élimination des quantificateurs (indépendamment du fait qu'elle soit réalisable algorithmiquement) est que cette théorie est complète, donc tout corps réel clos a la même théorie du premier ordre que ℝ.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) T. Y. Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS,‎ 2005 (ISBN 978-0-82181095-8), 236
  2. L'équivalence entre la définition de l'introduction et les caractérisations 1 et 2 est classique : voir par exemple Lam 2005, p. 240-242. L'équivalence entre 1 et 4 est démontrée dans (en) H. Salzmann, T. Grundhöfer, H. Hähl et R. Löwen, The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, CUP, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 112),‎ 2007 (ISBN 978-0-52186516-6, lire en ligne), p. 127-128. L'implication 2 ⇒ 3 est immédiate. Sa réciproque est démontrée dans (en) Keith Conrad (en), « The Artin-Schreier theorem ».
  3. I.e. : F peut être muni d'un ordre (au sens : ordre total et compatible avec les opérations) pour lequel tout élément positif est un carré. Sur un corps euclidien, il n'existe qu'un ordre (au sens précédent).
  4. N. Bourbaki, Algèbre, ch. 6 (Groupes et corps ordonnés), théorème 3 p. 25.
  5. (de) E. Artin et O. Schreier, « Algebraische Konstruktion reeller Körper », Hamb. Abh., vol. 5,‎ 1927, p. 85-99, traduction en français par le groupe de travail : « Aux sources de la Géométrie Algébrique Réelle » de l'IRMAR
  6. (en) Serge Lang, Algebra,‎ 1965 [détail des éditions], p. 278-279 ou p. 457 de l'édition de 2002, Example.
  7. Alfred Tarski, A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry, University of California Press, 1951 ; repris dans Quantifier Elimination and Cylindrical Algebraic Decomposition mentionné en bibliographie
  8. Mathematica documentation for Reduce, What's new in Mathematica 5: Reduce

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Real closed field » (voir la liste des auteurs)

Bibliographie[modifier | modifier le code]