Nombre de Liouville

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :

pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers q_n > 1 et p_n tels que 0 < |x – p_n/q_n| < 1/q_nⁿ.

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra, en s'appuyant sur la théorie des fractions continues, que tous les nombres vérifiant cette propriété sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

Irrationalité des nombres de Liouville

Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville alors, pour tout réel μ, il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ : tous les (p_n, q_n) pour n ≥ μ (ils forment bien un ensemble infini puisque la suite des |x – p_n/q_n| est à valeurs non nulles et converge vers 0).

Or un critère élémentaire d'irrationalité assure que pour tout réel x, s'il existe un réel μ > 1 et une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ, alors x est irrationnel.

Cela s'applique aux nombres de Liouville, qui sont donc irrationnels.

Constante de Liouville

La constante de Liouville, mentionnée par Liouville pour illustrer son théorème, a été le premier exemple explicite de nombre réel transcendant. Il s'agit du réel

\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000...~.

C'est un nombre de Liouville. Plus généralement, pour tout entier b > 1 et toute suite $(a k) k >0$ d'entiers compris entre 0 et b – 1, le réel

x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}

est un nombre de Liouville.

Démonstration

Le réel $x$ est irrationnel (par non-périodicité de son développement en base b) et si l'on définit, pour tout entier $n > 0$ , les entiers $p n$ et $q n$ par

q_{n}=b^{n!},\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}},

alors

|x-p_{n}/q_{n}|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-1}}}\leq {\frac {1}{q_{n}^{n}}}.

L'ensemble des nombres de Liouville a donc la puissance du continu.

Mesure d'irrationalité d'un réel

La mesure d'irrationalité d'un réel x — ou « sa constante de Liouville-Roth »^[1] — mesure la manière d'approcher x par des rationnels.

Définition — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne supérieure^[2] de l'ensemble des réels $μ$ pour lesquels il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^$μ$.

Les nombres de Liouville sont donc les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie.

La mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1 (c'est ce qui nous a permis de montrer l'irrationalité des nombres de Liouville) et celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2^[1] (cf. § « Approximation par les rationnels » de l'article « Nombre irrationnel »).

On trouve dans les ouvrages de légères variantes : certains auteurs^[1] prennent (ce qui revient au même) la borne inférieure de l'ensemble des $μ$ pour lesquels il existe n'existe au contraire qu'un nombre fini de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^$μ$. Certains^[3]^,^[4]^,^[5]^,^[6] parlent des mesures d'irrationalité : ce sont tous les nombres supérieurs ou égaux à la mesure d'irrationalité définie ici. Enfin, certains^[2]^,^[3]^,^[4] ne la définissent que si x est un nombre irrationnel, ce qui leur évite de mentionner la minoration stricte de |x – p/q| par 0. Outre ces nuances, on trouve une définition différente^[4]^,^[5]^,^[6] mais équivalente^{[réf. souhaitée]} :

Définition équivalente — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne inférieure de l'ensemble des réels $μ$ pour lesquels il existe une constante A > 0 telle que, pour tout rationnel p/q ≠ x avec q > 0, on ait : |x – p/q| ≥ A/q^$μ$.

Preuve de l'équivalence

Notons respectivement X et Y les bornes de la première et de la seconde définition.

Soient $μ$ > Y et $ε > 0$ . Il existe alors A > 0 tel que $\forall p\in \mathbb {Z} ,\forall q\in \mathbb {N} ^{*},\quad {\frac {p}{q}}\neq x\Rightarrow \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {A}{q^{\mu }}}$ donc pour q assez grand, $\forall p\in \mathbb {Z} ,\quad {\frac {p}{q}}\neq x\Rightarrow q^{\mu +\varepsilon }\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq 1$ et pour chacun des q restants (qui sont en nombre fini), les entiers p qui ne vérifient pas cette inégalité sont bornés donc en nombre fini. On en déduit que $μ + ε$ ≥ X, et ce pour tout $μ$ > Y et tout $ε > 0$ , si bien que Y ≥ X.
Réciproquement, soit $μ$ > X. Il n'existe qu'un nombre fini de couples (p₁, q₁), … , (p_m, q_m) vérifiant 0 < |x – p_k/q_k| < 1/q_k^$μ$. En posant $A=\min \left(1,q_{1}^{\mu }\left|x-{\frac {p_{1}}{q_{1}}}\right|,\ldots ,q_{m}^{\mu }\left|x-{\frac {p_{m}}{q_{m}}}\right|\right)$ on obtient que pour tout rationnel p/q ≠ x avec q > 0, |x – p/q| ≥ A/q^$μ$ donc $μ$ ≥ Y, et ce pour tout $μ$ > X, si bien que X ≥ Y.

Transcendance des nombres de Liouville

Article détaillé : Théorème de Liouville (approximation diophantienne).

La transcendance des nombres de Liouville est un corollaire immédiat (cf. ci-dessous) du théorème suivant, démontré dans l'article détaillé.

Théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne^[7] — Si $α$ est un nombre réel algébrique de degré d > 1, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous entiers q > 0 et p, on ait : | $α$ – p/q| ≥ A/q^d.

La mesure d'irrationalité d'un tel $α$ est donc inférieure ou égale à d (le théorème de Roth montre qu'elle est en fait égale à 2). Les nombres de Liouville étant de mesure d'irrationalité infinie, ils sont par conséquent transcendants.

Certains réels (en fait presque tous) sont transcendants sans être de Liouville. Par exemple^[1], la mesure d'irrationalité de $e$ est égale à 2 et celle de $π$ est inférieure^[8] à 7,61.

Théorème d'Erdős

Paul Erdős a démontré^[9] que tout nombre réel non nul peut s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. A posteriori, cela s'explique par une propriété générale des G_δ denses et le fait que l'ensemble L des nombres de Liouville en est un^[10] puisque

L=\cap _{n\in \mathbb {N} ^{*}}U_{n}\quad {\rm {avec}}\quad U_{n}=\bigcup _{p,q\in \mathbb {Z} ,q\geq 2}\left]{\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right[\setminus \left\{{\frac {p}{q}}\right\}{\text{ ouvert dense}}

et que ℝ est un espace de Baire.

Négligeabilité

L'ensemble des nombres de Liouville, en dépit de leur « abondance » du point de vue de la cardinalité et de la topologie, est négligeable et même :

sa dimension de Hausdorff est nulle^[11] ;
presque tout réel est de mesure d'irrationalité égale à 2, d'après un théorème de Khinchin^[12].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville number » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b c et d} (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, CUP, 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 171-172.
↑ ^{a et b} (en) R. Avanzi et F. Sica, « Scalar Multiplication on Koblitz Curves Using Double Bases », dans Phong Q. Nguyen, Progress in Cryptology: VIETCRYPT 2006, Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (n^o 4341), 2006 (ISBN 978-3-540-68799-3, lire en ligne), p. 134.
↑ ^{a et b} (en) Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer, 2000 (ISBN 978-0-38798911-2, lire en ligne), p. 298.
↑ ^{a b et c} (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (n^o 4), 2010 (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 141.
↑ ^{a et b} (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP, 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne), p. 27-28.
↑ ^{a et b} (en) Chaohua Jia et Kohji Matsumoto, Analytic Number Theory, Springer, 2002 (ISBN 978-1-40200545-9, lire en ligne), p. 360.
↑ Il existe d'autres théorèmes de Liouville.
↑ (en) V. Kh. Salikhov, « On the irrationality measure of $π$ », Uspekhi Mat. Nauk., vol. 63, n^o 3(381),‎ 2008, p. 163-164.
↑ (en) P. Erdős, « Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers », Michigan Math. J., vol. 9, n^o 1,‎ 1962, p. 59-60 (lire en ligne).
↑ Bugeaud 2004, p. 23.
↑ (en) Ludwig Staiger, « The Kolmogorov Complexity of Liouville Numbers », CDMTCS Research Report Series, n^o 096,‎ mars 1999 (lire en ligne).
↑ (en) Andrei B. Shidlovskii, Transcendental Numbers, Walter de Gruyter, 1989 (ISBN 978-3-11011568-0, lire en ligne), p. 17.

Liens externes

Communication du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum
(en) The Beginning of Transcendental Numbers par Michael Filaseta, de l'université de Caroline du Sud

Arithmétique et théorie des nombres

[Finch-1] {a b c et d} (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, CUP, 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 171-172.

[AS-2] {a et b} (en) R. Avanzi et F. Sica, « Scalar Multiplication on Koblitz Curves Using Double Bases », dans Phong Q. Nguyen, Progress in Cryptology: VIETCRYPT 2006, Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (n^o 4341), 2006 (ISBN 978-3-540-68799-3, lire en ligne), p. 134.

[Ribenboim-3] {a et b} (en) Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer, 2000 (ISBN 978-0-38798911-2, lire en ligne), p. 298.

[Duverney-4] {a b et c} (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (n^o 4), 2010 (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 141.

[Bugeaud-5] {a et b} (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP, 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne), p. 27-28.

[JM-6] {a et b} (en) Chaohua Jia et Kohji Matsumoto, Analytic Number Theory, Springer, 2002 (ISBN 978-1-40200545-9, lire en ligne), p. 360.

[7] Il existe d'autres théorèmes de Liouville.

[8] (en) V. Kh. Salikhov, « On the irrationality measure of $π$ », Uspekhi Mat. Nauk., vol. 63, n^o 3(381),‎ 2008, p. 163-164.

[9] (en) P. Erdős, « Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers », Michigan Math. J., vol. 9, n^o 1,‎ 1962, p. 59-60 (lire en ligne).

[10] Bugeaud 2004, p. 23.

[11] (en) Ludwig Staiger, « The Kolmogorov Complexity of Liouville Numbers », CDMTCS Research Report Series, n^o 096,‎ mars 1999 (lire en ligne).

[12] (en) Andrei B. Shidlovskii, Transcendental Numbers, Walter de Gruyter, 1989 (ISBN 978-3-11011568-0, lire en ligne), p. 17.

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v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Entier relatif ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Nombre décimal ( $\scriptstyle \mathbb {D}$ ) Nombre rationnel ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Nombre réel ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Nombre complexe ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sédénion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{2}$ ) Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{n}$ $\scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ ) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique ( $\scriptstyle \mathbb {Q} _{p}$ ) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi ( $π$ ) Racine carrée de deux ( $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire ( $i$ ) Constante de Neper ( $e$ ) Aleph-zéro (ℵ₀) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini ( $\infty$ ) Chiffre significatif