Théorème de Roth

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En mathématiques, le théorème de Roth, ou théorème de Thue-Siegel-Roth, est un énoncé de théorie des nombres, concernant plus particulièrement l'approximation diophantienne.

Le résultat est le suivant[1] :

Pour tout nombre irrationnel algébrique α et pour tout ε > 0, l'inéquation d'inconnues q > 0 et p entiers :

\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{2+\varepsilon}}\,

n'a qu'un nombre fini de solutions (ce n'est plus le cas pour ε = 0, d'après le théorème d'approximation de Dirichlet).

Ou encore, sous les mêmes hypothèses[2],[3] : il existe une constante A > 0 (dépendant de α et ε) telle que

\forall p\in\Z,\forall q\in\N^*\quad\left|\alpha-\frac pq\right|\ge\frac A{q^{2+\varepsilon}}.

Ceci signifie que la mesure d'irrationalité d'un nombre irrationnel algébrique est égale à 2 et permet, par contraposition, de montrer la transcendance de certains nombres (cependant, le nombre e, qui est transcendant, échappe à ce critère[2] : sa mesure d'irrationalité est égale à 2). Ce théorème est d'ailleurs une généralisation du théorème de Liouville qui avait été historiquement le premier critère de transcendance connu.

Ce résultat a valu à Klaus Roth la médaille Fields en 1958.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, CUP,‎ 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 171-172
  2. a et b (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4),‎ 2010 (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 147
  3. (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP,‎ 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne), p. 28

Articles connexes[modifier | modifier le code]