Déterminant de Cauchy

En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un déterminant classique, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille $n$ et de terme général ${\frac {1}{a_{i}+b_{j}}}$, où les complexes $a_{1},\dots ,a_{n}$ et $b_{1},\dots ,b_{n}$ sont tels que pour tout $i$ et $j$, $a_{i}+b_{j}$ est non nul.

$D_{n}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n}}}\\{\frac {1}{a_{2}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{2}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{2}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {1}{a_{n}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n}+b_{2}}}&\dots &{\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}\end{vmatrix}}$

Lien avec un problème d'interpolation

On recherche une fraction rationnelle ayant exactement $n$ pôles simples, qui sont les $a_{i}$, et prenant des valeurs fixées en $n$ points distincts des $a_{i}$ (ce sont les opposés des $b_{j}$).

Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme

$F(X)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {r_{i}}{X-a_{i}}}$

alors les coefficients inconnus $r_{i}$ sont solutions d'un système de taille $n$, dont le déterminant est un déterminant de Cauchy.

Calcul du déterminant de Cauchy

$D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}={\frac {\mathrm {V} (a_{1},\dots ,a_{n})\mathrm {V} (b_{1},\dots ,b_{n})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}$ en notant $\mathrm {V} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ le déterminant de la Matrice de Vandermonde de la famille $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$.

Indications de démonstration

1. Multiplier toutes les colonnes par $a_{n}+b_{j}$.
2. Soustraire la dernière colonne à toutes les autres.
3. Factoriser par les termes communs aux lignes et aux colonnes et développer par rapport à la dernière ligne.

On trouve alors la relation de récurrence

$D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}$

On en déduit l'expression générale de $D_{n}$.

Détails de la démonstration

Stratégie: (valable de manière générale pour le calcul de déterminants «compliqués»)

1. Raisonner par récurrence sur la taille du déterminant.
2. Faire des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaître une ligne/colonne composée de $1$.
3. Soustraire les lignes/colonnes de manière à obtenir une ligne/colonne presque composée uniquement de $0$ sauf pour un seul coefficient.
4. Développer par rapport à cette dernière et obtenir une relation de récurrence sur le déterminant.

On raisonne par récurrence sur la taille du déterminant $n$.

Premièrement, faisons apparaître une ligne de $1$ en multipliant toutes les colonnes par $a_{n}+b_{j}$.

Par $n$-linéarité du déterminant,

$D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {a_{n}+b_{1}}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {a_{n}+b_{2}}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\1&1&\cdots &1\end{vmatrix}}.$

Ensuite, pour faire apparaître des $0$ à la fin des $(n-1)$ premières colonnes, soustrayons la dernière colonne à toutes les autres.

$\forall (i,j)\in \{1,\dots ,n-1\}^{2},\quad {\frac {a_{n}+b_{j}}{a_{i}+b_{j}}}-{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{i}+b_{n}}}={\frac {a_{n}b_{n}-a_{i}b_{n}-a_{n}b_{j}+a_{i}b_{j}}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}={\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{j})}{(a_{i}+b_{j})(a_{i}+b_{n})}}$

$D_{n}={\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})}}{\begin{vmatrix}{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{1}+b_{2})(a_{1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{1}+b_{n-1})(a_{1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{1}+b_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{1})}{(a_{n-1}+b_{2})(a_{n-1}+b_{n})}}&\cdots &{\frac {(a_{n}-a_{n-1})(b_{n}-b_{n-1})}{(a_{n-1}+b_{n-1})(a_{n-1}+b_{n})}}&{\frac {a_{n}+b_{n}}{a_{n-1}+b_{n}}}\\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.$

Factorisons par les termes communs aux lignes et aux colonnes.

$D_{n}={\frac {\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{n}-a_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(b_{n}-b_{i})}{\prod \limits _{i=1}^{n}(a_{n}+b_{i})\prod \limits _{i=1}^{n-1}(a_{i}+b_{n})}}{\begin{vmatrix}{\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{a_{n-1}+b_{1}}}&{\frac {1}{a_{n-1}+b_{2}}}&\cdots &{\frac {1}{a_{n-1}+b_{n-1}}}&\bigstar \\0&0&\cdots &0&1\end{vmatrix}}.$

Finalement, en développant par rapport à la dernière ligne on trouve la relation de récurrence: $D_{n}={\frac {1}{a_{n}+b_{n}}}{\Bigg (}\prod \limits _{i=1}^{n-1}{\frac {(a_{n}-a_{i})(b_{n}-b_{i})}{(a_{n}+b_{i})(a_{i}+b_{n})}}{\Bigg )}D_{n-1}$

Comme $D_{1}={\frac {1}{a_{1}+b_{1}}}$, on obtient par récurrence $D_{n}={\frac {\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})\prod \limits _{i<j}(b_{j}-b_{i})}{\prod \limits _{i,j}(a_{i}+b_{j})}}$.