Paradoxe des jumeaux

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Paradoxe des jumeaux : histoire vue du jumeau fixe.
Paradoxe des jumeaux : histoire vue du jumeau voyageur. Qui a raison ?[1]

En physique, le paradoxe des jumeaux (parfois appelé paradoxe de Langevin et présenté par celui-ci au congrès de Bologne en 1911), ou paradoxe des horloges (Clock paradox) est un paradoxe issu d'une expérience de pensée qui semble montrer que la relativité restreinte est contradictoire.

Des jumeaux sont nés sur Terre. L'un fait un voyage aller-retour dans l'espace en fusée à une vitesse proche de celle de la lumière. D'après le phénomène de dilatation des durées de la relativité restreinte, pour celui qui est resté sur Terre la durée du voyage est plus grande que pour celui qui est parti dans l'espace. Ce dernier rentre donc plus jeune que son jumeau sur Terre. Mais celui qui voyage est en droit de considérer, les lois de la physique restant identiques par changement de référentiel, qu'il est immobile et que c'est son frère et la Terre qui s'éloignent à grande vitesse de lui. Il pourrait donc conclure que c'est son frère, resté sur Terre, qui est plus jeune à la fin du voyage. Ainsi chaque jumeau pense, selon les lois de la relativité restreinte, retrouver l'autre plus jeune que lui. Est-on tombé sur un véritable paradoxe qui, comme Painlevé l'a indiqué à Einstein en 1922, peut mettre en cause la cohérence interne de la théorie de la Relativité ?

La conclusion, admise par l'écrasante majorité des spécialistes, dit que le jumeau voyageur finit plus jeune que celui resté sur terre, et peut être considérée comme due à la dissymétrie entre les jumeaux car le voyageur change de référentiel galiléen pour revenir, alors que l'autre n'en change pas. Des observations, notamment sur les durées de vie (de la création à l’annihilation) de muons, sont considérées comme en accord avec cette conclusion.

Discussions du paradoxe[modifier | modifier le code]

Pour la plupart des commentateurs, le jumeau voyageur B a effectivement moins vieilli que son frère sédentaire A. Pour les autres, les deux jumeaux ont conservé le même âge ou le problème est sans signification[2]. La controverse tourne autour du fait que, du point de vue de la Relativité restreinte, les situations des jumeaux ne sont pas symétriques : A coïncide avec un seul repère galiléen (en général celui de la Terre, idéalisé comme inertiel, pour l'occasion) pendant toute la durée du voyage, tandis que B effectue un demi-tour et coïncide ainsi avec au moins deux repères galiléens successifs. Cette différence fait que la relativité restreinte s'applique différemment à l'un et à l'autre, notamment à cause de l'accélération permettant le retour de B, en provoquant un changement de repère galiléen. Si, pendant la partie du voyage à vitesse constante, B vieillit moins vite que A, il se pourrait qu'il vieillisse plus vite durant les phases d'accélération. On relève 54 points de vue sur le paradoxe, émis entre 1905 (Einstein) et 2001 (Hawking)[3]. À la suite de Marie-Antoinette Tonnelat, on peut classer les prises de position en trois catégories : (1) Les acceptants (AR), pour qui la Relativité restreinte permet de conclure que pour finir B est plus jeune que A ; (2) Les opposants (OR), pour qui la Relativité restreinte permet de conclure que A et B se retrouvent au même âge ; enfin les généralisateurs pour qui le paradoxe ne peut se résoudre qu'à la lumière de la Relativité générale. On peut affiner la classification de Tonnelat en distinguant la classe OG de ceux pour qui la Relativité générale conduit à des conclusions différentes de celles couramment acceptées, et la classe AG de ceux pour qui la Relativité générale confirme, mais avec des arguments différents, que B retrouve A en étant plus jeune que lui.

La classe AR[modifier | modifier le code]

Il s'agit de l'interprétation classique du paradoxe, qui regroupe la très grande majorité des commentateurs et entre autres J. Terrel, H. Arzeliès, H.E. Ives[4]. Pour eux les deux jumeaux auront vieilli différemment (dans un sens ou dans l'autre) justement du fait de la dissymétrie de leurs référentiels : celui de A est galiléen, contrairement à celui de B. Ce serait également la position d'Einstein au moment où Langevin lui a soumis le paradoxe (donc avant la création de la Relativité générale)[5].

La classe OR[modifier | modifier le code]

Parmi eux, suivant Tonnelat, on trouve les "Relativistes purs", tels Herbert Dingle[6] et E.G. Cullwick[7]. Pour eux, écrit Tonnelat, « il ne peut y avoir une modification des temps propres dans un mouvement qui ne met en jeu aucune accélération spécifique si l'on convient - comme c'est le cas - de les négliger ». V. Hlavaty[8], qui a des arguments différents, serait également classé dans OR car ce dernier, dit Tonnelat, « souligne que les concepts de "repos" et de "mouvement" qui alimentent le "paradoxe du voyageur" réintroduisent les absolus newtoniens au sein de la Relativité Restreinte. D'autre part, la dissymétrie que l'on souligne dans la situation physique des jumeaux, l'un sédentaire, l'autre itinérant, l'un lié à un système d'inertie, l'autre s'en affranchissant, est tout à fait subjective ».

La classe OG[modifier | modifier le code]

Pour eux, toujours selon Tonnelat, « il faut appliquer des principes plus généraux qui permettent de calculer le mouvement "libre" de B dans le système propre de A, et réciproquement ». V.A. Fock[9] fait les calculs en choisissant un champ de gravitation donnant lieu à une accélération constante, champ de la forme U=U_0+g(x_1-x) avec g=C^{te}. Il obtient alors que B vieillit moins que A si les temps d'accélération sont suffisamment courts et que ce phénomène s'inverse pour les temps d'accélération plus longs.

Pour J. Chazy et R. Dugas[10], dit Tonnelat, « les périodes d'accélération dont on devrait tenir compte permettraient de rétablir une égale longévité entre les deux voyageurs: B éprouverait un vieillissement brusque qui compenserait très exactement le rajeunissement du voyage uniforme ».

La classe AG[modifier | modifier le code]

Les représentants de cette classe (Born, Pauli, Tolman entre autres)[11] « ont vu, dans une généralisation du Principe de relativité, la méthode nécessaire pour résoudre au moins un aspect du problème (calcul des vieillissements dans le système propre de B) ».

Histoire[modifier | modifier le code]

Au sujet de la dilatation du temps prédite par la relativité restreinte, Albert Einstein indique en 1911 :

«  Si nous placions un organisme vivant dans une boîte… on pourrait s'arranger pour que cet organisme, après un temps de vol aussi long que voulu, puisse retourner à son endroit d'origine, à peine altéré, tandis que les organismes correspondants, qui sont restés dans leur position initiale auraient depuis longtemps cédé la place à de nouvelles générations. Car pour l'organisme en mouvement, la grande durée du voyage était un court instant, à condition que le mouvement ait été effectué quasiment à la vitesse de la lumière[12].  »

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La même année, Paul Langevin développe cette expérience de pensée sous une forme qui passe à la postérité[13] : « le boulet de Jules-Verne Langevin » où il relate les perceptions relatives d’un voyageur qui voyage à une vitesse proche de la lumière et d’un observateur resté sur Terre. Cet exposé, lors de la Conférence au Congrès de philosophie de Bologne en 1911, permet de populariser la notion du temps en relativité et d'illustrer la révolution philosophique qu'elle apporte[14].

Confirmations expérimentales[modifier | modifier le code]

Les conclusions de la relativité restreinte concernant les mesures de durées sont en accord avec la différence des durées de vie des muons ultra-relativistes créés dans la haute atmosphère à partir des rayons cosmiques et de ceux produits en laboratoire. Mais à partir de 1971, des vérifications directes du paradoxe furent possibles : des avions à réaction embarquèrent des horloges atomiques tandis que des horloges identiques restaient au sol. Au retour des avions partis dans le sens de la rotation terrestre, les horloges embarquées avaient retardé de quelques milliardièmes de seconde sur les horloges restées au sol, un écart en parfait accord avec la théorie de la relativité (des corrections plus fines liées à la relativité générale ont également été mesurées). Le décalage s'inverse si l'avion parcourt la Terre dans le sens opposé à sa rotation (pour bien comprendre ces expériences, il faut tenir compte de ce que le référentiel terrestre n'est lui-même pas galiléen). Toutes corrections faites, ces expériences n'ont fait que confirmer, avec une précision de plus en plus grande, les prédictions de la théorie[15].

Différentes solutions au paradoxe[modifier | modifier le code]

Introduction[modifier | modifier le code]

La conclusion largement partagée par les spécialistes est que le jumeau voyageur est plus jeune que son frère à son retour sur Terre. Les manières d'arriver à cette conclusion sont nombreuses et mettent parfois l'accent sur des éléments différents.

De temps en temps, le paradoxe n'est cité que pour mémoire. Dans les livres récents[16], le problème n'est souvent présenté que sur l'ombre d'une page, d'autres sont un peu plus diserts[17]. Le paradoxe est souvent le sujet d'exercices proposés aux étudiants abordant la relativité restreinte[18]. On citera comme sources de divers aspects des éclairages qui sont présentés ici le livre de J. H. Smith et celui de V. Ougarov[19]. Ce dernier livre contient en outre une introduction assez complète à l'Interprétation géométrique de la relativité restreinte utilisée ci-dessous pour la présentation des diagrammes de Minkowski.

D'un point de vue concret, les phases d'accélérations sont nécessaires au départ depuis la Terre, au retournement à l'arrivée au point d'éloignement maximal et à l'arrêt du voyageur en fin de course. Toutefois, la majorité des spécialistes tombe d'accord pour minimiser l'importance à attribuer aux effets de ces accélérations[réf. nécessaire], mis à part le changement de référentiel inertiel par le jumeau voyageur et donc de la simultanéité associée. La conclusion est souvent considérée comme due à la non-conservation de la simultanéité lors de ce changement de référentiel galiléen.

Certains spécialistes affirment que les dilatations des durées dans le cadre du paradoxe des jumeaux sont dues aux trajets en mouvement uniforme qui peuvent être aussi longs que voulu, minimisant le rôle des accélérations quant aux valeurs numériques[17],[20]. D'autres que « en toute rigueur c'est à la relativité générale qu'il faut faire appel pour parler de ces accélérations [...] cependant on peut discuter du problème de manière satisfaisante dans le cadre de la seule relativité restreinte[21] ».

Dilatation du temps pour l'aller simple[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dilatation du temps.

Le jumeau voyageur transporte son horloge de la Terre à la planète A, et pour lui la durée du voyage est \Delta\tau.

Le jumeau immobile (dans son référentiel inertiel) voit le voyageur aller de T à A avec la vitesse constante V (donc lui aussi dans un référentiel inertiel), de plus il a une horloge sur Terre, synchronisée avec une autre sur A, ce qui est possible puisque A est supposée immobile par rapport à T, la Terre. Pour le jumeau immobile, avec ses deux horloges synchronisées, le voyage a duré \Delta{t} et la distance parcourue est \Delta{L}\,=V \Delta{t}\,.

La relativité restreinte affirme que le carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements (départ de T, arrivée en A) est le même dans les deux repères inertiels, donc on a l'égalité : c^2 \Delta\tau^2 \,=\, c^2 \Delta{t}^2 - \Delta{L}^2\,=\, c^2 \Delta{t}^2 - V^2 \Delta{t}^2\,.

D'où l'égalité \Delta \tau =\Delta t\;\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}, qui permet de remarquer \Delta \tau < \Delta t\;. Donc durant le trajet de T vers A, le jumeau voyageur a moins vieilli que le jumeau immobile.

Lev Landau souligne qu'en disposant de plusieurs horloges dans un référentiel et d'une seule dans un autre « le processus n'est pas symétrique par rapport aux deux référentiels[22] », et que « l'horloge qui retarde est toujours celle que l'on compare avec plusieurs horloges de l'autre référentiel[22] » : c'est la différence entre le temps propre et un temps impropre entre deux événements. C'est à ce phénomène auquel on se réfère pour expliquer l'observation de la dilatation des durées de vie de muons traversant l'atmosphère à grande vitesse[23].

De plus, Landau fait remarquer que si l'on ne dispose que d'une horloge dans chacun des deux référentiels, et qu'une des deux revient à son point de départ, alors elle exécute un mouvement qui n'est pas rectiligne uniforme : le raisonnement précédent n'est pas adapté[22]. Lev Landau montre alors par une intégrale que « le temps propre d'un objet mobile est toujours inférieur à l'intervalle de temps correspondant dans le système fixe[22] », fixe signifiant immobile dans un référentiel inertiel.

Échanges de signaux et effet Doppler[modifier | modifier le code]

Diagramme de Minkowski : Les jumeaux envoient régulièrement des signaux lumineux vers leur frère. Les fréquences de réception par chacun montrent l'asymétrie de la situation, entre le voyageur et son frère resté immobile.

Cette approche a été suggérée par Langevin dès 1911[13], pour exhiber une dissymétrie entre les deux jumeaux, et résoudre le paradoxe, qui n'existe que si la situation des jumeaux est considérée comme symétrique. Elle a été étudiée pour la première fois en détail par Charles Galton Darwin (en), en 1957[24],[25]. Cette approche met en œuvre la transmission de signaux lumineux (ou radio, voyageant à la vitesse de la lumière, vitesse maximale possible et identique dans chaque référentiel inertiel, pour la relativité restreinte), émis régulièrement (selon leur propre horloge) au même rythme convenu d'avance par chaque jumeau, à destination de l'autre. Cette approche montre que chaque jumeau va recevoir les signaux de l'autre selon une histoire différente, montrant ainsi que la situation des jumeaux n'est pas symétrique[26],[DR 1]. De plus, en comptant les signaux reçus, chaque jumeau aura une indication du temps écoulé pour l'autre jumeau : le jumeau voyageur aura eu le temps d'émettre moins de signaux que le jumeau fixe[27].

Perception et comptage des signaux[modifier | modifier le code]

Cette approche montre que le jumeau fixe reçoit d'abord une série de signaux à un rythme régulier lent, puis (après que le jumeau mobile a fait demi-tour) à un rythme régulier beaucoup plus rapide (voir signaux "Vue de Fixe" dans le diagramme ci-contre). Le temps q, à l'horloge terrestre, après lequel le jumeau fixe reçoit les signaux à un rythme plus rapide est q=T(1+\frac{V}{c}), si les jumeaux se rencontrent au temps 2T à l'horloge terrestre. Ce temps est d'autant plus proche du temps du retour (2T) que la vitesse du jumeau mobile est proche de la vitesse de la lumière[DR 1].

Réciproquement, le jumeau mobile fait le même constat : il constate que les signaux envoyés par le jumeau fixe lui arrivent d'abord à un rythme régulier lent, puis après qu'il a fait demi-tour, à un rythme régulier plus rapide. Le signal envoyé par le jumeau fixe, reçu au moment du demi-tour, a été envoyé au temps p de l'horloge fixe, avec p=T(1-\frac{V}{c}), et est d'autant plus proche du temps de départ que la vitesse du voyage est proche de celle de la lumière[DR 1] ("Vue de Mobile" dans le diagramme ci-contre).

Même si les deux jumeaux font le même constat que l'autre commence à vieillir plus lentement, puis en accéléré, le jumeau fixe reçoit des signaux ralentis pendant la quasi-totalité du voyage, tandis que le jumeau mobile en reçoit pendant seulement la moitié du voyage, où il constate que le jumeau fixe a atteint l'âge p, presque égal au temps de départ. C'est la raison pour laquelle Bohm conclut l'analyse de cette approche en constatant que du point de vue du jumeau mobile, l'effet du ralentissement du temps du jumeau fixe est plus que contrebalancé par la période ou son vieillissement est plus rapide, et il ne sera pas surpris de le trouver plus vieux que son âge au retour, et réciproquement[Bo 1].

Étude du vieillissement différentiel[modifier | modifier le code]

Diagramme de Minkowski des trajets de chaque jumeau, avec les plans de simultanéité du voyageur : droites bleues pour l'aller, et droites rouges pour le retour.

Mais on peut faire remarquer que l'observation de changement de fréquence des signaux résulte d'un effet Doppler et n'est qu'une impression visuelle due à un éloignement (ou un rapprochement) et une vitesse de transmission des signaux finie, qui ne témoigne pas forcément d'un écoulement différent du temps. Tout comme l'audition de fréquences aiguës, puis graves, pour un effet Doppler acoustique, ne témoigne pas d'un changement dans l'écoulement du temps.

Les différences de perception des signaux entre les deux jumeaux suffit à mettre en évidence une asymétrie, ce qui est un des buts recherchés, mais il faut rendre compte de la différence d'âge qu'auront réellement les deux jumeaux au retour du jumeau mobile.

Un point important est qu'un jumeau n'a aucun moyen direct de connaitre le temps actuel de l'autre jumeau, tout ce qu'il peut faire est de calculer le temps simultané théorique de l'autre jumeau[Bo 2]. En relativité restreinte, les événements définis comme simultanés à un observateur sont ceux compris dans un hyperplan (à trois dimensions), "orthogonal"[29] à la ligne d'univers de l'observateur. Sur un diagramme de Minkowski, réduit à deux dimensions, cet "hyperplan orthogonal" est représenté par une droite perpendiculaire à la ligne d'univers de l'observateur si l'observateur est fixe (ligne verticale), mais si on considère une ligne d'univers correspondant à un mouvement, son hyperplan de simultanéité ("orthogonal") est représenté par une droite oblique par rapport à cette deuxième ligne d'univers[30].

Évolution de l'heure "synchrone" du jumeau fixe, en fonction de l'heure du jumeau mobile, dans son référentiel.

Un moyen de rendre compte du vieillissement différentiel est de "suivre" l'âge du jumeau fixe "simultané" à l'âge du jumeau mobile, indépendamment de la propagation de signaux et de l'effet Doppler, par l'utilisation des plans de simultanéité.

Sur le diagramme ci-contre à droite, les lignes de simultanéité du jumeau mobile sont en bleu lors du voyage aller, et en rouge lors du voyage retour. Quand le jumeau mobile arrive au point au point de demi-tour E, l'âge simultané du jumeau fixe est r, moins avancé que le jumeau mobile, et compatible du fait que - d'un point de vue relativiste - c'est le jumeau fixe qui est en mouvement par rapport au jumeau mobile et vieillit donc plus lentement. Mais, après le demi-tour du jumeau mobile, l'âge "simultané" du jumeau fixe a augmenté soudainement jusqu'à la valeur s, bien supérieur à l'âge actuel du jumeau mobile : dans son nouveau référentiel, les plans de simultanéité (lignes en rouge) ont des orientations nettement différentes de celles du précédent (lignes en bleu). Cela illustre la relativité de la simultanéité, qui n'est pas une notion absolue en relativité et qui dépend du mouvement relatif des objets considérés. Ensuite, l'âge du fixe vu du mobile augmente de nouveau plus lentement que l'âge du mobile, de la même manière et symétriquement au voyage aller, mais ne pourra jamais compenser le grand différentiel (s-r) qui rend compte du différentiel d'âge des deux jumeaux au retour[Bo 1],[DR 1].

Autre approche[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Diagramme de Bondi.

Une approche de la résolution du paradoxe des jumeaux par l'effet Doppler a été réalisée par Hermann Bondi en 1964, à partir de sa méthode didactique de présentation de la relativité restreinte, dite en anglais Bondi k-calculus.

Paradoxe des jumeaux et mouvement accéléré[modifier | modifier le code]

Rôle de l'accélération dans l'étude du paradoxe en relativité restreinte[modifier | modifier le code]

Dans le cadre des études du paradoxe en relativité restreinte (espace-temps plat, possédant une géométrie de Minkowski), les auteurs insistent sur le fait que les accélérations que subit le jumeau mobile n'a pas d'influence directe sur la différence d'âge. L'influence est indirecte, car l'accélération est indispensable pour que le jumeau mobile passe d'un référentiel galiléen à un autre (du trajet aller, au trajet retour), et c'est ce changement de référentiel subi par un seul jumeau qui est directement responsable de vieillissement asymétrique, et de sa quantité. De ce fait, le paradoxe peut être traité dans le cadre de la relativité restreinte[27],[31],[32],[Pe 1],[Sa 1].

Études du paradoxe en relativité restreinte, avec des accélérations finies[modifier | modifier le code]

Les présentations ci-dessus sont souvent critiquées car si elles révèlent bien l'asymétrie des observateurs Fixe et Mobile, puisque l'un va changer de référentiel lors de son changement de sens, la présentation néglige totalement le côté physique du saut. En particulier, quel est le comportement de l'horloge de Mobile lors de ce retournement ?

Une solution usuelle consiste à traiter l'aller et retour de Mobile comme un voyage comportant des phases d'accélération, pour quitter Fixe, puis se retourner en A et finalement se trouver au repos auprès de son frère, permettant ainsi une comparaison des horloges à tête reposée.

Les phases d'accélération peuvent bien sûr être séparées par des phases de mouvement rectiligne uniforme (aussi longues que l'on veut) pour lesquelles les dilatations des durées analysées ci-dessus sont directement applicables. De plus les durées d'accélération (vues par le référentiel mobile et par le référentiel fixe) sont reliées par une généralisation des formules ci-dessus, à savoir par exemple pour la phase d'accélération de départ, entre les instants 0 et t_1 du référentiel de la Terre:

\tau=\int_0^{t_1}\,\frac{dt}{\gamma(t)}\;,\,\!


\gamma(t) est le facteur de correction relativiste correspondant à la vitesse (uniforme) qu'a acquise Mobile à l'instant t et qu'il conserve durant la durée dt, accompagnant son référentiel galiléen coïncidant.

En ce sens là la relativité restreinte est parfaitement capable de traiter des problèmes où interviennent des accélérations. Il n'en reste pas moins que se pose le problème du comportement de l'horloge lors du changement de référentiel brusque, mais à la limite infinitésimal, lié au passage d'un référentiel galiléen coïncidant à celui qui lui est infiniment proche. Il s'agit là d'un postulat que l'on accepte souvent implicitement[23]. Les expériences concernant la dilatation des durées des horloges embarquées dans des avions, ou plus généralement les prévisions (vérifiées) d'effets apparaissant dans le cas de référentiels accélérés (précession de Thomas) ont validé ce postulat.

D'une façon plus générale, le paradoxe peut être présenté dans le cadre précis de la relativité générale, où les accélérations (du référentiel de Mobile) sont interprétées (d'après le principe d'équivalence) comme des déformations de la métrique de l'espace-temps.

Études du paradoxe en relativité générale[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Schémas d'après Tatsu Takeuchi An illustrated Guide to Relativity Cambridge University Press 2010, p. 149
  2. Tonnelat, Chap. VII, §9.
  3. Al Kelly, Challenging Modern Physics: Questioning Einstein's Relativity Theories, Brown Walker Press, 2005
  4. J. Terrel, Relativistic observations and the clock problem, Nuovo Cimento, 1960, p. 457 ; H. Arzeliès, La Cinématique Relativiste, Gauthier-Villars, 1955 ; H.E. Ives, Nature, 1951, 168, 246.
  5. Voir aussi A. Einstein, Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie, Die Naturwissenschaften 48, pp. 697-702, 29 November 1918.
  6. Voir p. 933, 2e §, de Herbert Dingle, « A Problem in Relativity Theory », Proc. Phys. Soc., vol. 69,‎ 1956 (lire en ligne). Voir également la réponse de W.H. MacCrea, « A Problem in Relativity Theory: Reply to H. Dingle », Proc. Phys. Soc., vol. 69,‎ 1956 (lire en ligne).
  7. Herbert Dingle, Nature, 1957, 179, 806 ; E.G. Cullwick, Electricity and Magnetism, Longmans Green Consp., 1957, p. 70.
  8. V. Hlavaty, Medelingen van d. Kon. Vlaam. Acad. Wet., XXVIII, n°9, 1965, p. 1
  9. V.A. Fock, The Theory of Space Time and Gravitation, Pergamon Press, 1959
  10. J. Chazy, Théorie de la Relativité et de la Mécanique Céleste, Gauthier-Villars, t. II, 1930; R. Dugas, Histoire de la Mécanique, Dunod, 1950, p. 481.
  11. M. Born, Einstein's Theory of Relativity; W. Pauli, Theory of Relativity, Dover, p. 152; R.C. Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, p. 194.
  12. (en) Albert Einstein, 1911, cité par (en) Robert Resnick et David Halliday, Basic Concepts in Relativity, New York, Macmillan,‎ 1992
  13. a et b (fr)Paul Langevin, « L’évolution de l’espace et du temps », Scientia, no 10,‎ 1911, p. 31-54 (lire en ligne)
  14. (fr) Michel Paty, « Paul Langevin (1871-1946), la relativité et les quanta », Bulletin de la Société Française de Physique, no 119,‎ mai 1999, p. 15-20 (lire en ligne)
  15. Article de Loïc Villain sur le site de Futura-Science
  16. Hans Stephany, Relativity, Cambridge University Press, 3e édition (2004) ISBN 0-521-01069-1.
  17. a et b M. Lambert, Relativité restreinte et électromagnétisme, édition Ellipses, Paris (2000) ISBN 2-7298-0096-4.
  18. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, édition Freeman, New York (1973), § 6 Accelerated Observers.
  19. V. Ougarov, Théorie de la relativité restreinte, édition MIR, Moscou (1974), § 59 Paradoxe des jumeaux.
  20. J.-M. Vigoureux, L'univers en perspective, Relativité restreinte, Ellipses, Paris (2006), p. 119 le rôle du demi-tour de la fusée
  21. Smith 1997, chapitre 6 Paradoxe des jumeaux, p 94
  22. a, b, c et d Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions] §3.
  23. a et b Y. Simon Relativité restreinte, Vuibert, Paris (2004) ISBN 2-7117-7099-0
  24. John B. Kogut Introduction to Relativity Harcourt Academic Press 2001, p. 38
  25. C.G. Darwin The Clock Paradox in Relativity Nature 180, 976 (1957)
  26. H. Arzeliès, La cinématique relativiste, Gauthier-Villars, Paris (1955), § 96 Le voyageur de Langevin.
  27. a et b Claude Semay, Relativité Restreinte, bases et applications, Dunod,‎ 2005, p. 64-67
  28. a et b Smith 1997, chapitre 6 Paradoxe des jumeaux, p 96-98
  29. l'orthogonalité étant définie par le produit scalaire de l'espace de Minkowski
  30. La droite orthogonale dans un espace de Minkowski n'est pas forcément à angle droit par rapport à la ligne d'univers, comme dans un espace euclidien. Elle est à angle droit pour les lignes d'univers fixes (verticales), mais forme un angle de plus en plus réduit avec la ligne d'univers, à mesure que la ligne d'univers se rapproche de la vitesse de la lumière.
  31. Richard T.W. Arthur Minkowski Proper Time and the Status of the Clock Hypothesis, in Space, Time, and Spacetime, Springer, 2010, p. 164
  32. Andrew M. Steane The Wonderful World of Relativity Oxford University Press, 2011, p. 163

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Paul Langevin, « L’évolution de l’espace et du temps », Scientia, no 10,‎ 1911, p. 31-54 (lire en ligne):
  • James H Smith, Introduction à la relativité, Masson,‎ 1997 (1re éd. 1968), 318 p. (ISBN 2-225-82985-3)
  • (en) T.A. Debs & M. Redhead The twin "paradox" and the conventionality of simultaneity, Dept. of History of Science, Cambridge University (lire en ligne):
  1. a, b, c et d p. 385
  • Marie-Antoinette Tonnelat, Histoire du principe de Relativité, Flammarion,‎ 1971
  • David Bohm, The Special Theory of Relativity, Routledge,‎ 1996 (1re éd. 1965):
  1. a et b p. 131
  2. p. 129
  • Leo Sartori, Understanding Relativity, University of California Press,‎ 1996:
  1. p. 193
  • Vesselin Petkov, Relativity and the Nature of Spacetime (2d edition), Springer,‎ 2009:
  1. p. 148

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Autres paradoxes en physique :

Lien externe[modifier | modifier le code]