Paradoxe des jumeaux

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En physique, le paradoxe des jumeaux (parfois appelé paradoxe de Langevin et présenté par celui-ci au congrès de Bologne en 1911) est un paradoxe issu d'une expérience de pensée qui semble montrer que la relativité restreinte est contradictoire.

Présentation[modifier | modifier le code]

Le paradoxe[modifier | modifier le code]

Des jumeaux sont nés sur Terre. L'un fait un voyage aller-retour dans l'espace en fusée à une vitesse proche de celle de la lumière. D'après le phénomène de dilatation des durées de la relativité restreinte, pour celui qui est resté sur Terre la durée du voyage est plus grande que pour celui qui est parti dans l'espace. Ce dernier rentre donc plus jeune que son jumeau sur Terre. Mais celui qui voyage est en droit de considérer, les lois de la physique restant identiques par changement de référentiel, qu'il est immobile et que c'est son frère et la Terre qui s'éloignent à grande vitesse de lui. Il pourrait donc conclure que c'est son frère, resté sur Terre, qui est plus jeune à la fin du voyage. Ainsi chaque jumeau pense, selon les lois de la relativité restreinte, retrouver l'autre plus jeune que lui. Est-on tombé sur un véritable paradoxe qui, comme Painlevé l'a indiqué à Einstein en 1922, peut mettre en cause la cohérence interne de la théorie de la Relativité ?

Discussion du paradoxe[modifier | modifier le code]

Pour la plupart des commentateurs, le jumeau voyageur B a effectivement moins vieilli que son frère sédentaire A. Pour les autres, les deux jumeaux ont conservé le même âge ou le problème est sans signification[1]. La controverse tourne autour du fait que, du point de vue de la Relativité restreinte, les situations des jumeaux ne sont pas symétriques : A coïncide avec un seul repère galiléen (en général celui de la Terre, idéalisé comme inertiel, pour l'occasion) pendant toute la durée du voyage, tandis que B effectue un demi-tour et coïncide ainsi avec au moins deux repères galiléens successifs. Cette différence fait que la relativité restreinte s'applique différemment à l'un et à l'autre, notamment à cause de l'accélération permettant le retour de B, en provoquant un changement de repère galiléen. Si, pendant la partie du voyage à vitesse constante, B vieillit moins vite que A, il se pourrait qu'il vieillisse plus vite durant les phases d'accélération. On relève 54 points de vue sur le paradoxe, émis entre 1905 (Einstein) et 2001 (Hawking)[2]. A la suite de Marie-Antoinette Tonnelat, on peut classer les prises de position en trois catégories : (1) Les acceptants (AR), pour qui la Relativité restreinte permet de conclure que pour finir B est plus jeune que A ; (2) Les opposants (OR), pour qui la Relativité restreinte permet de conclure que A et B se retrouvent au même âge ; enfin les généralisateurs pour qui le paradoxe ne peut se résoudre qu'à la lumière de la Relativité générale. On peut affiner la classification de Tonnelat en distinguant la classe OG de ceux pour qui la Relativité générale conduit à des conclusions différentes de celles couramment acceptées, et la classe AG de ceux pour qui la Relativité générale confirme, mais avec des arguments différents, que B retrouve A en étant plus jeune que lui.

La classe AR[modifier | modifier le code]

Il s'agit de l'interprétation classique du paradoxe, qui regroupe la très grande majorité des commentateurs et entre autres J. Terrel, H. Arzeliès, H.E. Ives[3]. Pour eux les deux jumeaux auront vieilli différemment (dans un sens ou dans l'autre) justement du fait de la dissymétrie de leurs référentiels : celui de A est galiléen, contrairement à celui de B. Ce serait également la position d'Einstein au moment où Langevin lui a soumis le paradoxe (donc avant la création de la Relativité générale)[4].

La classe OR[modifier | modifier le code]

Parmi eux, suivant Tonnelat, on trouve les "Relativistes purs", tels Herbert Dingle[5] et E.G. Cullwick[6]. Pour eux, écrit Tonnelat, « il ne peut y avoir une modification des temps propres dans un mouvement qui ne met en jeu aucune accélération spécifique si l'on convient - comme c'est le cas - de les négliger ». V. Hlavaty[7], qui a des arguments différents, serait également classé dans OR car ce dernier, dit Tonnelat, « souligne que les concepts de "repos" et de "mouvement" qui alimentent le "paradoxe du voyageur" réintroduisent les absolus newtoniens au sein de la Relativité Restreinte. D'autre part, la dissymétrie que l'on souligne dans la situation physique des jumeaux, l'un sédentaire, l'autre itinérant, l'un lié à un système d'inertie, l'autre s'en affranchissant, est tout à fait subjective ».

La classe OG[modifier | modifier le code]

Pour eux, toujours selon Tonnelat, « il faut appliquer des principes plus généraux qui permettent de calculer le mouvement "libre" de B dans le système propre de A, et réciproquement ». V.A. Fock[8] fait les calculs en choisissant un champ de gravitation donnant lieu à une accélération constante, champ de la forme U=U_0+g(x_1-x) avec g=C^{te}. Il obtient alors que B vieillit moins que A si les temps d'accélération sont suffisamment courts et que ce phénomène s'inverse pour les temps d'accélération plus longs.

Pour J. Chazy et R. Dugas[9], dit Tonnelat, « les périodes d'accélération dont on devrait tenir compte permettraient de rétablir une égale longévité entre les deux voyageurs: B éprouverait un vieillissement brusque qui compenserait très exactement le rajeunissement du voyage uniforme ».

La classe AG[modifier | modifier le code]

Les représentants de cette classe (Born, Pauli, Tolman entre autres)[10] « ont vu, dans une généralisation du Principe de relativité, la méthode nécessaire pour résoudre au moins un aspect du problème (calcul des vieillissements dans le système propre de B) ».

Histoire[modifier | modifier le code]

Au sujet de la dilatation du temps prédite par la relativité restreinte, Albert Einstein indique en 1911 :

«  Si nous placions un organisme vivant dans une boîte … on pourrait s'arranger pour que cet organisme, après un temps de vol aussi long que voulu, puisse retourner à son endroit d'origine, à peine altéré, tandis que les organismes correspondants, qui sont restés dans leur position initiale auraient depuis longtemps cédé la place à de nouvelles générations. Car pour l'organisme en mouvement, la grande durée du voyage était un court instant, à condition que le mouvement ait été effectué quasiment à la vitesse de la lumière[11].  »

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La même année, Paul Langevin développe cette expérience de pensée sous une forme qui passe à la postérité[12] : « le boulet de Jules-Verne Langevin » où il relate de manière réaliste le déroulement de la vie de deux frères jumeaux dont l'un voyage à une vitesse proche de la lumière et l'autre reste sur Terre. Cet exposé, lors de la Conférence au Congrès de philosophie de Bologne en 1911, permet de populariser la notion du temps en relativité et d'illustrer la révolution philosophique qu'elle apporte[13].

Confirmations expérimentales[modifier | modifier le code]

Les conclusions de la relativité restreinte concernant les mesures de durées sont brillamment éclairées par la différence des durées de vie des muons ultra-relativistes créés dans la haute atmosphère à partir des rayons cosmiques et de ceux produits en laboratoire. Mais à partir de 1971, des vérifications directes du paradoxe furent possibles : des avions à réaction embarquèrent des horloges atomiques tandis que des horloges identiques restaient au sol. Au retour des avions partis dans le sens de la rotation terrestre, les horloges embarquées avaient retardé de quelques milliardièmes de seconde sur les horloges restées au sol, un écart en parfait accord avec la théorie de la relativité (des corrections plus fines liées à la relativité générale ont également été mesurées). Le décalage s'inverse si l'avion parcourt la Terre dans le sens opposé à sa rotation (pour bien comprendre ces expériences, il faut tenir compte de ce que le référentiel terrestre n'est lui-même pas galiléen). Toutes corrections faites, ces expériences n'ont fait que confirmer, avec une précision de plus en plus grande, les prédictions de la théorie[14].

Analyses approfondies[modifier | modifier le code]

Introduction[modifier | modifier le code]

Les présentations du paradoxe sont nombreuses. De temps en temps, le paradoxe n'est cité que pour mémoire. Dans les livres récents[15], le problème n'est souvent présenté que sur l'ombre d'une page, d'autres sont un peu plus diserts[16]. Le paradoxe est souvent le sujet d'exercices proposés aux étudiants abordant la relativité restreinte[17]. On citera comme sources de divers aspects des éclairages qui sont présentés ici le livre de J. H. Smith et celui de V. Ougarov[18]. Ce dernier livre contient en outre une introduction assez complète à l'Interprétation géométrique de la relativité restreinte utilisée ci-dessous pour la présentation des diagrammes de Minkowski.

Si les phases d'accélération sont absolument nécessaires au départ depuis la Terre, au retournement à l'arrivée au point d'éloignement maximal et à l'arrêt du voyageur en fin de course, les effets de dilatation des durées décrits dans le cadre du paradoxe des jumeaux sont dus aux trajets en mouvement uniforme qui peuvent être aussi longs que voulu, minimisant le rôle des accélérations quant aux valeurs numériques [16] [19].

La présentation du paradoxe des jumeaux peut prendre plusieurs formes.

On peut commencer par comparer les analyses que peuvent faire le voyageur et l'observateur terrestre du voyage aller, et ce dans leur propre référentiel, puis en déduire les caractéristiques de l'aller-retour.

Une autre façon d'aborder le problème est s'attacher aux analyses que peuvent faire chacun des jumeaux en considérant ce qu'ils observent de la vie de leur frère.

Finalement il est bon de s'intéresser directement au lien entre l'équivalence des référentiels galiléens et l'observation des vieillissements différents. Ceci est directement lié à la non-conservation de la simultanéité lors d'un changement de référentiel galiléen.

Plutôt que de procéder à un exposé entièrement formel, il est plus simple d'introduire éventuellement un exemple d'application. Tout d'abord définissons les personnages intervenant dans l'histoire. Sur Terre (T) va rester Fixe (F), un des deux jumeaux, tandis qu'un assistant (A) est chargé d'effectuer des constats sur Alpha Centauri à environ L= 4 a.l. (années-lumière) de la Terre. Supposons que l'autre jumeau, Mobile (M), parte de la Terre (T) à la vitesse constante V = 0,8c vers A. On admettra que la Terre et Alpha Centauri sont immobiles l'une par rapport à l'autre et matérialisent un référentiel galiléen (R), leurs horloges pouvant être sans problème synchronisées. Le référentiel, galiléen, de Mobile est (R').

Le paradoxe des jumeaux et la contraction des longueurs[modifier | modifier le code]

Vu de la Terre le voyage aller est prévu pour durer \Delta t = L/V, soit 4/0,8 = 5 ans et l'aller-retour (en ne considérant pas la phase d'accélération associée au changement de sens de la direction du voyageur) 2 \Delta t, donc 10 ans.

Qu'en est-il pour le voyageur ? Pour lui, T s'éloigne à la vitesse V mais la distance que la Terre va parcourir par rapport à lui tandis qu'il se rapproche de A est L corrigée du phénomène de la contraction des longueurs, soit :

L\;\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}.

Ce qui fait que la distance à parcourir est 4×0,6 = 2,4 années-lumière.

Pour le voyageur, ce voyage aller dure donc :

\Delta \tau = \frac{L\;\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{V}=\Delta t\;\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}.

Avec les valeurs choisies, la durée du voyage aller pour le voyageur est de : 2,4/0,8 = 5×0,6 = 3 ans.

Le retour s'effectue dans les mêmes conditions et l'on retrouve ainsi l'expression classique du paradoxe. C'est bien sûr exactement le même phénomène auquel on se réfère pour éclairer le phénomène de la dilatation des durées de vie de muons traversant l'atmosphère. Dans le référentiel des muons les quelques kilomètres d'atmosphère, vus de la Terre, ne mesurent que quelques centaines de mètres[20].

Paradoxe des jumeaux et effet Doppler[modifier | modifier le code]

Diagramme de Minkowski. Les jumeaux envoient à fréquence identique des signaux lumineux vers leur frère. À la vitesse de 0,8c, les fréquences de réception par chacun montrent l'asymétrie de la situation, entre le voyageur et son frère resté immobile.

Fixe et Mobile conviennent de s'envoyer des flashes lumineux respectivement l'un vers l'autre à chaque fois que leurs horloges respectives, identiques (mais quelconques : comtoises, horloge atomique, battement de cœur…), sonneront l'unité de temps, définissant la période, notée simplement ici T_0, cf. le schéma ci-contre. Les signaux lumineux arrivent à leurs objectifs après avoir parcouru les cônes de lumières (différenciés sur le schéma : couleur verte de Mobile vers Fixe, et rouge de Fixe à Mobile). On remarque clairement que les périodes des réceptions dépendent, bien sûr, des phases du mouvement, séparant clairement l'aller du retour (le phénomène est vrai pour chacun des observateurs). Par exemple, pour le cas figuré ici, la vitesse de Mobile par rapport à fixe étant V=0,8c la comparaison des fréquences de réception et d'émission est particulièrement simple. Notant T la fréquence des signaux que reçoit un des jumeaux, signaux envoyés par son frère en déplacement par rapport à lui, on vérifie que cette période est

T=T_0\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\;;\quad \beta = \frac{V}{c}\;,

lors de la phase d'éloignement, et

T=T_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\;,

pour la phase de rapprochement. Ces équations sont juste la traduction du phénomène de dilatation des durées, dilatation portant sur l'unité de temps de (R') lue avec les horloges de (R), combinée avec la cinématique des photons entre le point d'émission (M, respectivement F) et le point de réception (F respectivement M).

Il est important de remarquer que l'on ne fait pas intervenir ici le changement de fréquence de la lumière utilisée lors du flash (lumière dont la fréquence sera vue différente entre émission-réception puisque la source et le récepteur sont mobiles par rapport à l'autre). Les équations ci-dessus sont pourtant celles qui décrivent l'effet Doppler longitudinal, associé ici à un phénomène qui peut être mécanique (comtoise) ou biologique (battements de cœur), observé à distance par l'utilisation d'un vecteur portant l'information se déplaçant dans chacun des référentiels à la vitesse c.

L'asymétrie entre Mobile et Fixe est alors reportée sur le nombre de signaux que chacun aura l'occasion d'émettre durant la totalité du voyage[21],[22], et sur la répartition de ces événements "réception" au cours du voyage (ou, autrement dit, le nombre de flashes correspondant à la fréquence basse et à fréquence haute). Mobile reçoit moins de signaux à grande période (en fait un seul pour l'exemple choisi) que n'en reçoit Fixe. Mobile s'aperçoit que le changement de fréquence des signaux qu'il reçoit de Fixe a eu lieu à la mi-temps de son voyage ; il n'en est nullement de même pour Fixe.

Une approche de la résolution du paradoxe des jumeaux par l'effet Doppler a été réalisée par Hermann Bondi en 1964, à partir de sa méthode didactique de présentation de la relativité restreinte, dite en anglais Bondi k-calculus.

Article détaillé : Diagramme de Bondi.

Le paradoxe des jumeaux et l'équivalence des référentiels galiléens[modifier | modifier le code]

La symétrie de la marche des horloges, révélée par les coordonnées des événements[modifier | modifier le code]

La relativité insiste sur la symétrie parfaite entre les référentiels galiléens. En particulier les horloges du référentiel (R') du voyageur doivent toutes retarder par rapport à celles du référentiel (R) associé à Fixe et A ; réciproquement les horloges du référentiel de F et A doivent toutes retarder par rapport à celle du référentiel lié au voyageur. Ceci peut se vérifier en suivant l'analyse du mouvement du voyageur vers A et de façon analogue du mouvement de A se rapprochant du voyageur[18].

Le point essentiel est le suivant : les horloges de T et A, synchronisées dans le référentiel (R), ne le sont plus dans le référentiel (R'). Quand Mobile quitte Fixe, à l'instant t=0, un observateur du référentiel (R'), dont l'horloge indique t'=0 et coïncidant avec A sur alpha centauri, s'apercevra que l'horloge de A n'indique pas t=0[pas clair].

Diagramme de Minkowski. Lignes d'univers et indications des horloges de la Terre et du mobile. À la vitesse de 0,8c, les durées du voyage sont respectivement 10 et 6 unités de temps. Les unités sont obtenues en utilisant le tracé des courbes invariantes x^2-c^2t^2=\pm 1.

Procédons à une analyse des événements que sont le départ de Mobile depuis la position de Fixe et l'arrivée à la position de A, événements vus depuis le référentiel (R). Puis observons les événements associés au mouvement de A vu du référentiel de Mobile. C'est lors de cette analyse que se révèle la symétrie annoncée. Les horloges mobiles retardent toujours sur les horloges fixes. Ce qui ne pose aucun problème en relativité galiléenne prend ici un aspect un peu inattendu du fait de la non conservation de la notion de simultanéité lors d'un changement de référentiel en relativité restreinte. Rappelons tout d'abord les relations des transformations de Lorentz :

 \begin{cases}
x \,=\, \gamma (x' + v t') \quad\quad\qquad ; \qquad x' \,=\, \gamma (x - v t)\quad;\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\;\\
t \,=\, \gamma [t' + (v/c^2)x'] \qquad ; \qquad t' \,=\, \gamma [t - (v/c^2)x]
\end{cases}


Exprimons donc les composantes des événements départs et arrivées dans les deux repères (R) et (R'). Ce sont ces coïncidences entre Mobile et Fixe, puis entre Mobile et A que l'on décrit.

Départ : Mobile coïncide avec Fixe.
Arrivée : Mobile coïncide avec A.

Evénement départ

E_{de} \begin{cases}
x \,=\, 0 \qquad ; \qquad x' \,=\,0\\
t \,=\, 0 \qquad ; \qquad t' \,=\, 0
\end{cases}

Evénement arrivée

 E_{ar} \begin{cases}
x \,=\,L \qquad \qquad ; \qquad x' \,=\, 0\\
t \,=\, \frac{L}{V} (5 ans) \qquad ; \qquad t' \,=\, \frac{L}{\gamma\,V} (3 ans)
\end{cases}

La comparaison des marches de l'horloge de Mobile, vue de (R) et (R') est facilement obtenue à partir des événements ci-dessus. Pour Mobile, il s'est écoulé la durée de 3 ans \Delta \tau = L/(\gamma \, V)=\frac{L}{V} \times \sqrt{1-\beta^2}, tandis que dans le référentiel de fixe, il s'est écoulé une durée de 5 ans \Delta t = \frac{L}{V} : le voyageur a donc moins vieilli que ses collègues fixes.


Occupons nous maintenant du mouvement de A vu depuis le référentiel de Mobile.

Le départ correspond à l'événement : "dans (R'), A est à la position x'_A(depart) = L/\gamma à l'instant t'=0" [il s'agit d'exprimer la relation de contraction de la distance TA, observée depuis (R')], et l'événement "rencontre de A avec Mobile" est l'événement E_{ar} cité ci-dessus. Pour évaluer la durée du voyage de A vers M, vue du référentiel (R), il nous faut transformer les coordonnées de son départ, connues dans (R') :

 E_{A,t'=0}\begin{cases}
x' \,=\, L/ \gamma\ (2,4\ a.l.)\quad\quad\qquad ; \qquad x \,=\, L\  (4\ a.l.)\\
t' \,=\, 0 \quad\quad\qquad \qquad \qquad\quad\quad ; \qquad t \,=\, \gamma \,\frac{V(L/\gamma)}{c^2}\,=\,\frac{VL}{c^2} (3,2\ ans)
\end{cases}

La valeur de l'instant t=(VL)/c^2 est ici essentielle, elle est simplement la traduction du fait que les horloges synchrones de (R), horloges de Fixe et A, par exemple, ne sont plus synchrones lorsqu'elles sont vues du référentiel de Mobile.
L'arrivée correspond à l'événement : "dans (R'), A est à la position x'_A(arrivee) = 0 à l'instant t'=3 ans"

 E_{A,t'=3 ans}\begin{cases}
x' \,=\, 0 \quad\quad\qquad \qquad \qquad ; \qquad x \,=\, \gamma \,t'\,=\, L \ (4\ a.l.) \\
t' \,=\, \frac{L}{\gamma\,V} (3 ans) \quad\quad\qquad ; \qquad t \,=\, \gamma \,t'\,=\,\frac{L}{V} \ (5 ans)
\end{cases}

La durée du voyage de A vers Mobile, exprimée dans les coordonnées de (R) est donc la différence entre l'instant d'arrivée et l'instant de départ :

\Delta \tau_A\,=\,\frac{L}{V}-\frac{VL}{c^2}\,=\,\frac{L}{V}\;(1-\frac{V^2}{c^2})\;=\;\Delta\tau \times \sqrt{1-\beta^2}
\Delta \tau_A\,=\, 5 ans - 3,2 ans \,= 1,8 ans\, alors que la durée du voyage de A vers Mobile, exprimée dans les coordonnées de (R') est plus longue: 3 ans.

Nous obtenons ainsi une parfaite symétrie de description. Le voyage dure toujours plus longtemps dans le référentiel par rapport auquel le voyageur [dans le cas présent A] se déplace (on peut faire sans difficulté l'analyse identique en ce qui concerne les indications de l'horloge de Fixe, lues sur les horloges de (R') entre le moment où Fixe quitte Mobile et le moment où A rencontre Mobile). Quant au voyageur, quel qu'il soit, la durée de son voyage, lue à l'aide d'une seule horloge sera la plus courte de tous les intervalles de temps correspondant aux mêmes événements.

Le voyage de retour s'effectue dans les mêmes conditions. En dehors du changement de référentiel galiléen nécessaire pour que Mobile prenne la direction de Fixe, Mobile ne mesure les durées qu'à l'aide d'une seule horloge, la sienne. Fixe quant à lui utilisera bien une seule horloge pour évaluer la durée de l'aller-retour mais les indications de son horloge ne sont que l'addition de durées de deux parties de voyage, l'aller puis le retour, dont les durées individuelles sont lues par deux horloges différentes (celle de Fixe et celle de A, puis l'inverse).

En reprenant notre exemple , le changement de référentiel galiléen nécessaire pour que Fixe prenne la direction de Mobile, implique que les horloges de Fixe et A ne soient plus synchrones lorsqu'elles sont vues du référentiel de Mobile :
Au départ de Mobile, l'horloge de Fixe indiquera 8,2 ans (5 ans + 3,2 ans) vue du référentiel de Mobile, alors que Mobile verra son horloge toujours à 3 ans. Au cours du voyage retour , Fixe vieillira moins vite de 1,8 ans alors que Mobile vieillira de 3 ans.(vérification de la symétrie de description). À la rencontre de Fixe et de Mobile, Fixe constatera que le voyage de son jumeau a duré 10 ans, alors que celui çi n'aura vieilli que de 6 ans.

La symétrie de la marche des horloges, révélée par les diagrammes de Minkowski[modifier | modifier le code]

Considérons les lignes d'univers des jumeaux, Fixe et Mobile, durant la totalité du voyage. Le diagramme de Minkowski prend ici comme référence naturelle le repère de Fixe (R), restant sur Terre. Mobile, lui, accompagne un référentiel (R') dont il est le centre jusqu'à son arrivée en A, à la distance L=4 unités de Fixe, distance mesurée dans (R) ; sa vitesse par rapport à (R) est V=0,8c, choix permettant des valeurs très simples pour les résultats numériques des divers effets présentés ci-dessous. Arrivé en A, Mobile saute dans un référentiel (R") [vitesse -V par rapport à (R)], dans lequel il emporte sa montre. Dans l'exemple lors de son demi-tour sa montre indique 3 unités de temps [le référentiel (R") peut être choisi de façon à ce que ses horloges indiquent le même instant que la montre de Mobile lorsque celui-ci saute de (R') dans (R") en A : à l'instant t=0 le centre de (R") est alors le symétrique de Fixe par rapport à A, soit pour le schéma le point d'abscisse x=8, son horloge est alors réglée à t"=0].

L'on sait que la relativité restreinte ne conserve la notion de simultanéité qu'à l'intérieur d'un référentiel galiléen (quel qu'il soit). Ceci est la clef des observations concernant la durée du voyage.

Diagramme de Minkowski des trajets de chaque jumeau, avec les plans de simultanéité du voyageur. La vitesse du voyageur mobile vaut 0,8c, sur une distance de 4 unités de longueur de (R), permettant l'obtention de valeurs simples.

Le schéma montre les lignes d'univers de deux points fixes (Fixe, situé au centre du référentiel (R) et, A, point final du voyage aller de Mobile). Les horloges de Fixe et A, synchrones, indiqueront les mêmes instants, au bout des mêmes durées. Ainsi, par exemple, indiqueront-elles toutes les deux 5 lors de l'arrivée de Mobile en A. Sur ce schéma, les hyperplans de simultanéité du référentiel (R) sont des droites horizontales (par exemple l'axe Ox, à l'instant t=0). Dans le cas du référentiel de Mobile, (R') lors de l'aller, les plans de simultanéité sont parallèles à l'axe O'x' : ils sont matérialisés par les segments bleus du schéma (et leurs prolongements) pour les instants t'=(0), 1, 2 et 3. Leurs intersections avec la ligne d'univers de Fixe montrent clairement que l'horloge de Fixe, vue du repère (R') va retarder (l'instant t=1 de cette horloge ayant lieu entre les instants 1 et 2 de l'horloge de (R') qui coïncidera avec Fixe, à cet instant là - ce faisant elle retardera avec toutes les horloges de (R'). De même la projection horizontale (parallèle à l'hyperplan spatial Ox) de l'instant t'=1, montre que l'horloge de Mobile retarde sur toutes les horloges de (R).

Pour aller au-delà des valeurs numériques simples présentées ici, appelons \Delta T_0 les unités de temps des horloges (identiques) de Fixe et Mobile. Leur durées respectives dans les référentiels de leurs collègues sont donc respectivement

\Delta T_M =\gamma \Delta T_0 pour l'horloge de Mobile vue de (R)
\Delta T'_F =\gamma \Delta T_0 pour l'horloge de Fixe vue de (R').

Il s'agit maintenant d'observer comment il s'avère que la durée du voyage est plus courte vue par Mobile que vue de Fixe ou de A. Intéressons-nous pour cela au voyage de A vers Mobile. À t'=0, Mobile sait que A est en x'=L/\gamma ce qui correspond à l'événement exprimé dans (R)

 \begin{cases}
x \,=\, L\\
t \,=\, \frac{VL}{c^2}
\end{cases}

Cet événement est représenté sur le diagramme par l'intersection de la ligne d'univers (verticale) de A et l'axe Ox' (plan de simultanéité t'=0). Mobile sait que pour obtenir l'indication de l'horloge de A lors de leur rencontre il doit ajouter au temps indiqué ci-dessus la durée de temps propre de A correspondant à la durée du voyage de A vers lui, qui regarde A depuis (R') [durée égale à L/\gamma\,V, évaluée dans (R')]. Tandis qu'à sa propre montre Mobile lit T\,'=L/(\gamma\,V) il vérifie lors de son croisement avec A que l'horloge de A synchronisée avec celle de Fixe indique

T = \frac{1}{\gamma}\,\frac{L}{\gamma\,V}+ \frac{VL}{c^2}=\frac{L}{V}\;>\frac{L}{\gamma\,V}\;.

Et c'est cette durée de temps propre qui est bien la plus courte dans chacun des cas, que l'on regarde le mouvement de A depuis Mobile ou le mouvement de Mobile vu par Fixe.

Paradoxe des jumeaux et mouvement accéléré[modifier | modifier le code]

Les présentations ci-dessus sont en pratique des analyses à "l'emporte pièce" souvent critiquées car si elles révèlent bien l'asymétrie des observateurs Fixe et Mobile, puisque l'un va changer de référentiel lors de son changement de sens, la présentation néglige totalement le côté physique du saut. En particulier, quel est le comportement de l'horloge de Mobile lors de ce retournement ?

Une solution usuelle consiste à traiter l'aller et retour de Mobile comme un voyage comportant des phases d'accélération, pour quitter Fixe, puis se retourner en A et finalement se trouver au repos auprès de son frère, permettant ainsi une comparaison des horloges à tête reposée.

Les phases d'accélération peuvent bien sûr être séparées par des phases de mouvement rectiligne uniforme (aussi longues que l'on veut) pour lesquelles les dilatations des durées analysées ci-dessus sont directement applicables. De plus les durées d'accélération (vues par le référentiel mobile et par le référentiel fixe) sont reliées par une généralisation des formules ci-dessus, à savoir par exemple pour la phase d'accélération de départ, entre les instants 0 et t_1 du référentiel de la Terre:

\tau=\int_0^{t_1}\,\frac{dt}{\gamma(t)}\;,\,\!


\gamma(t) est le facteur de correction relativiste correspondant à la vitesse (uniforme) qu'a acquise Mobile à l'instant t et qu'il conserve durant la durée dt, accompagnant son référentiel galiléen coïncidant.

En ce sens là la relativité restreinte est parfaitement capable de traiter des problèmes où interviennent des accélérations. Il n'en reste pas moins que se pose le problème du comportement de l'horloge lors du changement de référentiel brusque, mais à la limite infinitésimal, lié au passage d'un référentiel galiléen coïncidant à celui qui lui est infiniment proche. Il s'agit là d'un postulat que l'on accepte souvent implicitement[20]. Les expériences concernant la dilatation des durées des horloges embarquées dans des avions, ou plus généralement les prévisions (vérifiées) d'effets apparaissant dans le cas de référentiels accélérés (précession de Thomas) ont validé ce postulat.

D'une façon plus générale, le paradoxe peut être présenté dans le cadre précis de la relativité générale, où les accélérations (du référentiel de Mobile) sont interprétées (d'après le principe d'équivalence) comme des déformations de la métrique de l'espace-temps.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Tonnelat, Chap. VII, §9.
  2. Al Kelly, Challenging Modern Physics: Questioning Einstein's Relativity Theories, Brown Walker Press, 2005
  3. J. Terrel, Relativistic observations and the clock problem, Nuovo Cimento, 1960, p. 457 ; H. Arzeliès, La Cinématique Relativiste, Gauthier-Villars, 1955 ; H.E. Ives, Nature, 1951, 168, 246.
  4. Voir aussi A. Einstein, Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie, Die Naturwissenschaften 48, pp. 697-702, 29 November 1918.
  5. Voir p. 933, 2ème §, de Herbert Dingle, « A Problem in Relativity Theory », Proc. Phys. Soc., vol. 69,‎ 1956 (lire en ligne). Voir également la réponse de W.H. MacCrea, « A Problem in Relativity Theory: Reply to H. Dingle », Proc. Phys. Soc., vol. 69,‎ 1956 (lire en ligne).
  6. Herbert Dingle, Nature, 1957, 179, 806 ; E.G. Cullwick, Electricity and Magnetism, Longmans Green Consp., 1957, p. 70.
  7. V. Hlavaty, Medelingen van d. Kon. Vlaam. Acad. Wet., XXVIII, n°9, 1965, p. 1
  8. V.A. Fock, The Theory of Space Time and Gravitation, Pergamon Press, 1959
  9. J. Chazy, Théorie de la Relativité et de la Mécanique Céleste, Gauthier-Villars, t. II, 1930; R. Dugas, Histoire de la Mécanique, Dunod, 1950, p. 481.
  10. M. Born, Einstein's Theory of Relativity; W. Pauli, Theory of Relativity, Dover, p. 152; R.C. Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, p. 194.
  11. (en) Albert Einstein, 1911, cité par (en) Robert Resnick et David Halliday, Basic Concepts in Relativity, New York, Macmillan,‎ 1992
  12. (fr)Paul Langevin, « L’évolution de l’espace et du temps », Scientia, no 10,‎ 1911, p. 31-54 (lire en ligne)
  13. (fr) Michel Paty, « Paul Langevin (1871-1946), la relativité et les quanta », Bulletin de la Société Française de Physique, no 119,‎ mai 1999, p. 15-20 (lire en ligne)
  14. Article de Loïc Villain sur le site de Futura-Science
  15. Hans Stephany, Relativity, Cambridge University Press, 3e édition (2004) ISBN 0-521-01069-1.
  16. a et b M. Lambert, Relativité restreinte et électromagnétisme, édition Ellipses, Paris (2000) ISBN 2-7298-0096-4.
  17. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, édition Freeman, New York (1973), § 6 Accelerated Observers.
  18. a et b V. Ougarov, Théorie de la relativité restreinte, édition MIR, Moscou (1974), § 59 Paradoxe des jumeaux.
  19. J.-M. Vigoureux, L'univers en perspective, Relativité restreinte, Ellipses, Paris (2006), p. 119 le rôle du demi-tour de la fusée
  20. a et b Y. Simon Relativité restreinte, Vuibert, Paris (2004) ISBN 2-7117-7099-0
  21. H. Arzeliès, La cinématique relativiste, Gauthier-Villars, Paris (1955), § 96 Le voyageur de Langevin.
  22. T. A. Debs and M. L. G. Redhead, The twin "paradox" and the conventionality of simltaneity,Am. J. Phys. 64 (4) 384-91 (1994).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • James H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions (1968). 2e édition avec exercices corrigés (1979) ISBN 2-7296-0088-4. Réédité par Masson (Dunod - 3e édition - 1997), ISBN 2-225-82985-3.
  • (en) T.A. Debs & M. Redhead The twin "paradox" and the conventionality of simultaneity, Dept. of History of Science, Cambridge University (lire en ligne)
  • Marie-Antoinette Tonnelat, Histoire du principe de Relativité, Flammarion,‎ 1971

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]