Rapidité (relativité)

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En relativité restreinte, la rapidité est une mesure du mouvement. À faible vitesse, la rapidité et la vitesse sont égales (au coefficient multiplicateur c près), mais contrairement à la vitesse qui tend asymptotiquement vers la vitesse de la lumière, la rapidité continue à augmenter linéairement à l'infini. L'intérêt de la rapidité vient du fait que, de par son caractère linéaire, elle préserve la relation de la mécanique classique entre vitesse et accélération(un voyageur peut donc calculer sa rapidité en intégrant dans le temps, une mesure fournie par un accéléromètre). La rapidité permet aussi d'exprimer les transformations de Lorentz comme rotation hyperbolique dans l'espace de Minkowski.

La rapidité est rarement utilisée dans les calculs car elle est moins pratique que la quadri-vitesse dans les formules d'invariance de l'impulsion. De plus, elle nécessite de choisir un référentiel qui isole le vecteur vitesse ou de la différence des vitesses sur un seul axe.

La rapidité \ \phi d'un objet par rapport à un référentiel inertiel est l'angle hyperbolique défini par

\phi = \operatorname{argth}{\left( \frac{v}{c} \right) }\,

v est la vitesse dans ce référentiel,
c est la vitesse de la lumière, et
argth est la fonction inverse de la tangente hyperbolique.

Détails[modifier | modifier le code]

Un corps se déplaçant à la vitesse w\, par rapport à un référentiel R, qui lui-même se déplace à la vitesse v\, par rapport à un autre référentiel R', en supposant que \vec w // \vec v. La vitesse du corps par rapport à ce second référentiel est w'\,, calculée par : w' \,=\,  \frac{w+v}{1 + (w v/c^2)}\,.

En posant \frac{w}{c} = \operatorname{tanh} \left(\theta\right) \, , \frac{w'}{c}  = \operatorname{tanh} \left(\theta'\right) \, ,\frac{v}{c}  = \operatorname{tanh} \left(\phi\right) \, , on obtient, avec les formules de trigonométrie hyperbolique : \ \theta' =\theta + \phi.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • James H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions (1968). 2e édition avec exercices corrigés (1979) (ISBN 2-7296-0088-4). Réédité par Masson (Dunod - 3e édition - 1997), (ISBN 2225829853).
  • Notes de cours du professeur J.M. Raimond du Département de Physique de l’Ecole normale supérieure(ENS), Pages 88 à 90.