Métrique de Schwarzschild

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Un article spécifique concernant le trou noir de Schwartschild existe : Trou noir de Schwarzschild
Karl Schwarzschild (1873-1916).
Article numérisé original de Karl Schwarzchild en allemand.

En astrophysique, dans le cadre de la relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une solution des équations d'Einstein. Elle décrit la géométrie de l'espace-temps lorsqu'elle est déformée par le champ gravitationnel d'une masse sphérique, statique (sans rotation) et non chargée entourée de vide. Cette masse peut être une étoile, une planète ou un trou noir de Schwarzschild.

On ne prend pas en compte ici, le rayon de la sphère, ni même sa densité, on considère juste que la masse est concentrée en dessous de r (distance radiale), la métrique est donc valide uniquement à l’extérieur de la sphère.
Cette solution a été découverte par l'astrophysicien allemand Karl Schwarzschild[1] en décembre 1915[2]. C'est la première solution exacte des équations d'Einstein comprenant une masse.

La métrique de Schwarzschild[modifier | modifier le code]

Représentation de la déformation de l'espace-temps en présence d'une masse centrale. Plus la déformation est forte et plus on s'éloigne du plan euclidien.

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la géométrie de l'espace-temps (sa courbure), et donc le champ gravitationnel, en donnant l'expression de l'intervalle d'espace-temps en tout point, dans des coordonnées sphériques centrée sur la sphère massive. Cet intervalle, qui a la dimension d'une longueur, est représentatif de la courbure de l'espace temps en donnant la longueur d'un déplacement infinitésimal à partir d'un point considéré. Cette longueur est égale à celle du théorème de Pythagore quand la courbure est nulle (espace euclidien), et en diffère quand la courbure est non-nulle.

Dans ce système de coordonnées sphériques, la métrique de Schwarzschild a la forme :


{d s}^{2} =
\left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right),

  • (t, r, θ, φ) sont les coordonnées dites "de Schwarzschild " d'un point P dans l'espace-temps.
    • t est la coordonnée de temps auquel on considère le point (mesuré par une horloge située à une distance infinie de l'objet massif),
    • r est la coordonnée radiale du point (mesurée comme la circonférence, divisée par 2π, de la sphère centrée sur l'objet massif et passant par le point),
    • θ est la colatitude du point (enradians),
    • φ est la longitude du point (en radians)
  • {d s} est l'intervalle d'espace-temps d'un déplacement infinitésimal (dt, dr, , ) à partir du point P.
  • r_s = \frac {2GM}{c^2} est le rayon de Schwarzschild de l'objet massif, avec G la constante gravitationnelle, M la masse de l'objet, et c la vitesse de la lumière.

Interprétation physique de la métrique[modifier | modifier le code]

Métrique statique[modifier | modifier le code]

L'absence du paramètre t dans l'expression de la métrique signifie que celle-ci ne varie pas avec le temps et est statique. La courbure en un point de l'espace temps reste la même quel que soit t. De même, l'absence de termes mixtes avec le temps (comme dθdt par exemple) indique que le champ gravitationnel ne provoque pas de mise en rotation de l'espace temps (comme dans l'effet Lense-Thirring), ce qui est cohérent avec la supposition initiale que l'astre n'est pas en rotation[3].

Conséquence sur la définition de r, qui n'est pas une véritable distance[modifier | modifier le code]

Si on prend dr=0 et dt=0 (r constant et t constant), alors la métrique se réduit à r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right) qui n'est autre que la distance sur une sphère de rayon r dans un espace euclidien. Il s'ensuit que r doit être par définition mesuré de telle manière que cette expression soit vraie, et non pas par une mesure de la véritable distance entre le centre de la masse et le point[3]. Pour donner une mesure à la coordonnée de Schwarzschild r en un point, il faut partir de la mesure de la circonférence de la sphère centrée sur l'objet massif, et passant par le point, et diviser par 2π. Dans l'espace-temps déformé de la relativité générale, on ne retombe pas forcément par ce calcul sur la distance radiale R entre le centre et le point, où la circonférence d'un cercle peut être supérieure ou inférieure à 2πR, selon que la courbure est positive ou négative[3].

On pourrait donner une expression de la même métrique utilisant la distance radiale, mais elle serait plus compliquée et moins utilisable. La relativité générale permettant l'utilisation de n'importe-quel référentiel, aucun n'étant physiquement supérieur à un autre, on est libre d'utiliser n'importe quel système de coordonnées pour décrire la métrique, où le critère de choix sera plutôt le caractère utilisable de la métrique. D'ailleurs, d'autres systèmes de coordonnées existent pour décrire cette métrique, comme les coordonnées de Kruskal-Szekeres, décrites plus loin, qui choisit de mélanger même l'espace et le temps dans ses coordonnées..

r et distance radiale[modifier | modifier le code]

r croit de manière monotone avec la distance radiale l, distance propre au centre de l'objet massif, dans le référentiel de l'objet massif. C'est à dire que si l est distance radiale correspondant à r et l' correspondant à r' alors r > r' \Leftrightarrow l > l'. Mais r croit plus lentement que l[TWM 1].

La relation qui relie les deux coordonnées est {d r} = \pm (1 - \frac {2 m(r)}{r}){d l}[TWM 1].

m(r) est la masse de l'objet incluse dans une sphère de rayon r (en coordonnées de Schwarzschild). m(r)\propto r^3 tant que r est inférieur au rayon de l'objet, et m(r) = M, masse de l'objet, si r est supérieur au rayon de l'objet. Pour un trou noir m(r) = M pour tout r > 0.

La fonction est monotone tant que \frac {2 m(r)}{r} < 1, ce qui est assuré pour un objet statique, ce qui est un des pré-requis pour la métrique de Schwarzschild[TWM 1]. Le facteur (1 - \frac {2 m(r)}{r}) n'a pas de singularité à r=2M, car m(r) décroit beaucoup plus vite que r[TWM 2].

Métrique minkowskienne à l'infini[modifier | modifier le code]

L'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat. Lorsque r \rightarrow \infty, la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski (on retrouve seulement le terme en r^2 qui est, comme on l'a vu au paragraphe précédent, la longueur sur une sphère dans un espace plat).

Le temps t[modifier | modifier le code]

La coordonnée temporelle t est choisie dans cette métrique de manière à être toujours orthogonales avec les dimensions spatiales (on a toujours drdt=0, dθdt=0 et dφdt=0), pour représenter une véritable coordonnée temporelle. Par conséquent, le temps est forcément le temps Minkowskien, défini par une horloge située à l'infini de l'objet massif[TWM 3].

Physiquement, on peut mesurer le temps de Schwarzschild t en n'importe quel point, en procédant de la manière suivante. On place une horloge en chaque point de l'espace-temps, et une horloge "maître" est placée à r=infini. Ces horloges suivent des lignes d'univers telles qu'elles sont immobiles les unes par rapport aux autre (photons reçus d'une horloge distante sans décalage vers le rouge). On règle (en rythme et en décalage) les horloges de proche en proche, par rapport à l'horloge "maître" par une synchronisation d'Einstein[TWM 3].

Cela signifie que le temps de Schwarzschild t a tendance à s'accélérer à mesure que on s'approche de r_s (le temps de l'horloge lointaine tourne de plus en plus vite).

L'horizon de Schwarzschild[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Rayon de Schwarzschild.
Animation de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild. La courbure croit avec la masse. Elle devient infinie uniquement au centre.

Lorsque r = r_s = \frac {2GM}{c^2}, le coefficient en dr^2 de la métrique tend vers l'infini. On nomme ce rayon l'horizon des événements. Lorsque r < r_s on peut voir que le rôle de r et t comme coordonnée spatiale et temporelle est inversé. Dans la région r > r_s, la direction de t est du type temps et celle de r de type espace. La direction s'inverse lorsqu'un observateur franchit l'horizon des événements. Cela signifie qu'à l'intérieur du rayon de Schwarzschild, la distance d'un observateur à r est une mesure temporelle !

Cette singularité de la métrique quand r = r_s n'est qu'apparente car il s'agit d'une pathologie du système de coordonnées utilisé. Si nous étions en présence d'une véritable singularité, c'est-à-dire une région de l'espace-temps où les quantités physiques telles que l'énergie, la pression… deviennent infinies, alors la courbure de la métrique exprimée par le tenseur de Riemann serait elle-même infinie. Or cette courbure est parfaitement déterminée lorsqu'un observateur franchit le rayon de Schwarzschild. L'invariant de courbure K = M/r^3 est régulier. Les composantes du tenseur de courbure de Riemann sont infinies uniquement lorsque r = 0.

Il est possible d'établir un jeu de coordonnées, plus adaptées pour un observateur comobile s'approchant du corps céleste, dans lequel la métrique est parfaitement régulière au niveau de l'horizon. Un observateur traversant l'horizon ne détecterait donc pas d'évènement particulier. Un exemple est fourni par les coordonnées de Kruskal-Szekeres. Dans le cas idéalisé où le corps céleste est ponctuel au centre de la région interne à l'horizon, on peut montrer qu'il y existe une singularité réelle. À cet endroit un observateur détecterait nécessairement une divergence de toutes les quantités physiques observables.

Puisque l'horizon des événements dépend uniquement de la masse M, on peut déterminer les rayons de Schwarzschild des différents corps célestes usuels.

Paramètres physiques et rayon de Schwarzschild approximatif de quelques corps célestes.
Objet céleste Masse Rayon Rayon de Schwarzschild
Terre 6.10^{24} kg 6.10^{3} km 0,9 cm
Jupiter 2.10^{27} kg 7.10^{4} km 3 m
Soleil 2.10^{30} kg 7.10^{5} km 3 km
Pulsar 2.10^{30} kg 10 km 3 km
Sirius A 2 M_{\odot} 1,75 R_{\odot} 6 km

Au-delà de l'horizon: les coordonnées de Kruskal-Szekeres[modifier | modifier le code]

Éléments historiques[modifier | modifier le code]

Arthur Stanley Eddington (1882-1944).

Les équations d'Einstein étant covariantes, les physiciens et mathématiciens ont cherché de nouveaux systèmes de coordonnées sans singularité et surtout plus susceptibles de représenter la totalité de la géométrie de Schwarzschild. Paul Painlevé et Allvar Gullstrand ou encore Georges Lemaître ont publié plusieurs tentatives dans ce domaine. Mais c'est au physicien Arthur Eddington que l'on crédite l'ébauche de la création du premier système de coordonnées non singulier à r_g = {2GM \over c^2} en 1924[4]. En 1938, Georges Lemaître élabora une métrique synchrone (métrique de Lemaître (en)) ; Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958[5], et nommée aujourd'hui métrique d'Eddington-Finkelstein (en). Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild[6], tout comme celle de Lemaître.

Il faudra attendre les années 1960, pour qu'indépendamment l'un de l'autre, Martin Kruskal et George Szekeres réussissent à établir des coordonnées où les géodésiques peuvent traverser dans les deux sens la singularité apparente. Ce système est très souvent étudié car la variété de Kruskal-Szekeres est l'extension analytique maximale de la variété de Schwarzschild[7].

Les coordonnées de Kruskal-Szekeres[modifier | modifier le code]

Conventions mathématiques: on utilise les unités naturelles (G = c = 1). La signature de la métrique est (– + + +).

Kruskal et Szekeres utilisent des coordonnées sans dimension. u pour la coordonnée radiale. v pour la coordonnée temporelle. Elles reconstruisent r(u,v), t(u,v) par des fonctions transcendantes, dont le but est d'éliminer le terme (1-2M/r). Le rayon vérifie :

  • u^2-v^2 = (r/2M-1)e^{r/2M}

On distingue deux cas pour le temps :

  • si r(u,v) > 2M alors \tanh \frac{t}{4M} = \frac{v}{u} ;
  • si r(u,v) < 2M alors \tanh \frac{t}{4M} = \frac{u}{v}.

On obtient la métrique diagonale :

ds^2 = \frac{32M^3}{r}e^{-r/2M}(du^2 - dv^2) + r^2(d\theta^2 + sin^2\theta d \phi^2)

qui est définie pour tout r(u,v)>0. Le temps t est par contre infini au rayon de Schwarzschild (u=\pm v).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Représentation en coordonnées de Kruskal-Szekeres.

À la pathologie singulière de la métrique de Schwarzschild à r = 0 est substituée la relation v^2-u^2=1.

On a donc maintenant deux singularités : \begin{cases} u = \sqrt{v^2-1} \\ u = - \sqrt{v^2-1} \end{cases}.

Les droites r = Cste en coordonnées de Schwarzschild sont les hyperboles u^2-v^2 = Cste en coordonnées de Kruskal. Leurs asymptotes sont les bissectrices u = v et u = -v. Les droites t = Cste en coordonnées de Schwarzschild sont les droites v/u = Cste passant par l'origine en coordonnées de Kruskal. Les singularités sont représentées par les frontières des zones hyperboliques grises sur le dessin ci-contre.

Les géodésiques de type lumière sont les lignes orientées à 45°. Il est facile de vérifier que pour ds = 0 , on a du^2 = dv^2.

La métrique de Schwarzschild différencie deux régions de l'espace-temps délimitées par l'horizon des événements. La région r > 2M est segmentée en deux avec la métrique de Kruskal-Szekeres.

La condition r > 2M correspond u^2 >v^2 à \begin{cases} u > |v| \\ u < - |v| \end{cases}.

La totalité de la géométrie de Schwarzschild est donc représentée par quatre régions différentes en coordonnées de Kruskal.

La singularité[modifier | modifier le code]

Dérivation de la métrique[modifier | modifier le code]

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Ce paragraphe montre comment la métrique de Schwarzschild est obtenue, à partir d'hypothèses mathématiques et physiques.

Conventions mathématiques[modifier | modifier le code]

On utilise le système de coordonnées  \left(t, r, \theta, \phi\right) désignant respectivement le temps, la distance radiale, la colatitude et la longitude. Ces variables peuvent prendre les valeurs suivantes.

\begin{cases} t\in\mathbb R \\ r\in\mathbb{R}^+ \\ \theta\in\left[0, \pi\right] \\ \phi\in\left[0, 2\pi\right] \end{cases}

Le cas considéré par Karl Schwarzschild est celui d'un espace symétrique, sphérique, statique, non chargé et vide à l'extérieur du corps central. Mathématiquement, cela signifie que :

  1. Un espace-temps avec symétrie sphérique, on dit aussi isotrope, est un espace-temps où toutes les composantes de la métrique sont inchangées lors d'une opération de rotation. Mathématiquement, les transformations \theta \rightarrow - \theta et \phi \rightarrow - \phi laissent la métrique inchangée.
  2. Un espace-temps est statique lorsque les composantes de la métriques sont indépendants du temps. Mathématiquement, la transformation t \rightarrow t+a n'a pas d'incidence sur la métrique. Cela implique que \part_t g_{\mu \nu} = 0\,, où l'on a utilisé la convention \part_t \equiv \frac {\part}{\part t}.
  3. Une solution dans le vide est une solution pour laquelle le tenseur énergie-impulsion de l'équation d'Einstein est nul : T_{\mu\nu}=0\, en dehors du corps central. Pour le cas d'une constante cosmologique nulle, cela implique que R_{\mu\nu}=0\,, où R_{\mu\nu}\, est le tenseur de Ricci.

On utilise par défaut la signature métrique LLSC[8] suivante (— + + +)[réf. nécessaire].

+  \mathbf{g} = -(\mathbf{x}^0)^2 + (\mathbf{x}^1)^2 + (\mathbf{x}^2)^2 + (\mathbf{x}^3)^2

Diagonalisation de la métrique[modifier | modifier le code]

Les conditions sur l'espace-temps décrites plus haut permettent de simplifier la métrique. Par exemple, la condition d'un espace-temps statique impose que si l'on applique la transformation de coordonnées (t, r, \theta, \phi) \rightarrow (-t, r, \theta, \phi), les coefficients de la métrique changent de la manière suivante :

g_{\mu t}'=\frac{\part x^{\alpha}}{\part x^{'\mu}} \frac{\part x^{\beta}}{\part x^{'t}} g_{\alpha \beta}= - g_{\mu t} (\mu \ne t).

Mais, on a imposé que g'_{\mu t}=g_{\mu t}. Ce qui implique que :

g_{\mu t}=\, 0 (\mu \ne t).

De manière similaire, les transformations de coordonnées (t, r, \theta, \phi) \rightarrow (t, r, -\theta, \phi) et (t, r, \theta, \phi) \rightarrow (t, r, \theta, -\phi) donnent respectivement :

g_{\mu \theta}=\, 0 (\mu \ne \theta) ;
g_{\mu \phi}=\, 0 (\mu \ne \phi).

En combinant tous ces résultats, on obtient :

g_{\mu \nu }=\, 0 ( \mu  \ne \nu ).

En conséquence, la métrique a la forme suivante :

ds^2=\, g_{tt} dt ^2 +  g_{rr}d r^2 + g_{\theta\theta} d \theta ^2 + g_{\phi\phi} d \phi ^2

où les quatre composantes de la métrique (g_{tt},  g_{rr}, g_{\theta\theta} et  g_{\phi\phi}) sont indépendantes de la coordonnée de temps.

Simplification des composantes de la métrique[modifier | modifier le code]

Sur chaque hypersurfacet, \theta et \phi sont constants (i.e. sur chaque ligne radiale), g_{rr} ne doit dépendre que de r (par la condition de symétrie sphérique). Donc g_{rr} est une fonction d'une seule variable :

g_{rr}=A\left(r\right).

Un argument similaire appliqué à g_{tt} implique que :

g_{tt}=B\left(r\right).

Sur les hypersurfaces où t et r sont constants, on impose à la métrique d'être celle d'une 2-sphère et d'être indépendante du temps :

dl^2=r_{0}^2(r) (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2).

En choisissant une de ces hypersurfaces (celle avec un rayon r), les composantes de la métrique restreintes à cette surface (que l'on dénotera \tilde{g}_{\theta\theta} et \tilde{g}_{\phi\phi}) doivent être inchangées sous les opérations de rotation de \theta et \phi (de nouveau, par symétrie sphérique). Ainsi, comparant les formes de la métrique de cette hypersurface, on obtient :

\tilde{g}_{\theta\theta}\left(d \theta^2 + \frac{\tilde{g}_{\phi\phi}}{\tilde{g}_{\theta\theta}} d \phi^2 \right) = r_{0}^2(r) (d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2)

ce qui implique immédiatement :

\tilde{g}_{\theta\theta}=r_{0}^2(r) et \tilde{g}_{\phi\phi}=r_{0}^2(r) \sin ^2 \theta.

Classiquement on effectue le changement de variable  r\rightarrow r_0(r) et, pour ne pas surcharger la notation, on continue de noter  r cette nouvelle variable  r_0
 ; on conserve aussi la même notation pour les fonctions  A et B .

Ainsi, la métrique peut être écrite sous la forme :

ds^2= B\left(r\right) dt^2 + A\left(r\right)dr^2+r^2d \theta^2+r^2 \sin^2 \theta d \phi^2

A et B sont des fonctions de r encore à déterminer. A et B doivent être non-nulles partout (ou alors la métrique serait singulière en ces points).

Équations de champ[modifier | modifier le code]

Afin de déterminer les fonctions A et B, on utilise l'équation d'Einstein dans le vide mentionnée plus haut :

R_{\mu\nu}=\, 0

R_{\mu\nu} est le tenseur de Ricci. Parmi ces équations, seules quatre sont non-triviales, et après simplification, on obtient :

  • 4 \part_r(A) B^2 - 2 r \part_r^2(B) AB + r \part_r(A) \part_r(B)B + r \part_r(B) ^2 A=0
  • r \part_r(A)B + 2 A^2 B - 2AB - r \part_r(B) A=0\,
  •  - 2 r \part_r^2(B) AB + r \part_r(A) \part_r(B)B + r \part_r(B) ^2 A - 4\part_r(B) AB=0

La quatrième équation est simplement la deuxième multipliée par \sin^2 \theta. En soustrayant la première et la troisième, on obtient :

\part_r(A)B +A \part_r(B)=0 \rightarrow A(r)B(r) =K\,

K est une constante non-nulle. En remplaçant A(r)B(r) \, =K dans la deuxième équation, et en simplifiant, on a :

r \part_r(A) =A(1-A)\,

dont la solution générale est :

A(r)=\left(1+\frac{1}{Sr}\right)^{-1}\,

avec une constante réelle non-nulle S. En conséquence, la métrique pour une solution statique, symétriquement sphérique et dans le vide, s'écrit :

ds^2=K \left(1+\frac{1}{S r}\right)dt^2 + \left(1+\frac{1}{S r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2).

Approximation du champ faible[modifier | modifier le code]

La communauté scientifique considère qu'elle est adaptée aux problèmes astrophysiques où le champ gravitationnel et le moment angulaire de la masse centrale sont faibles. Dans le système solaire par exemple, on peut parfaitement considérer la masse totale des planètes comme négligeable par rapport au Soleil. La vitesse de rotation du Soleil est elle-même quasiment nulle si on la compare à la vitesse de la lumière.

Pour calculer les constantes K et S, on utilise l'« approximation du champ faible ». C'est-à-dire que l'on se place loin du centre, là où le champ de gravitation est faible. On considère donc une condition aux limites. À l'infini, la métrique de Schwarzschild doit être identique à l'espace plat de Minkowski. En partant des résultats généraux de la relativité restreinte, toutes les composantes de la métrique peuvent être déterminées sans faire appel au calcul tensoriel[9].
G est la constante gravitationnelle, M est la masse de l'objet central, et c est la vitesse de la lumière.

  • Estimation de la première fonction g_{tt}.

On considère un événement fixe : dr=d\theta=d\phi=0. Le temps propre est alors donné par :

ds^2\equiv d\tau^2
d\tau^2=g_{tt}c^2dt^2

Le principe d'équivalence nous donne l'expression entre la coordonnée temporelle et le temps propre mesuré dans l'entourage de la distribution de masse.

d\tau\simeq \frac{cdt}{(1+\frac{GM}{c^2r})}=\frac{cdt}{(1+\frac{\Delta U}{c^2})}
d\tau^2\simeq (1-\frac{2GM}{c^2r})c^2dt^2

On considère maintenant une expérience de chute libre. Une particule tombe lorsqu'elle est soumise au champ de gravitation. Elle possède les vitesses v_A et v_B lorsqu'elle se situe aux points A et B. On applique la loi de conservation de l'énergie.

\frac{E}{M}=\frac{1}{2}v_A^2 + U_A=\frac{1}{2}v_B^2 + U_B
\frac{1}{2}(\frac{v_A^2}{c^2} - \frac{v_B^2}{c^2})=\frac{U_B-U_A}{c^2}=-\frac{\Delta U}{c^2}.

En relativité restreinte, si \tau représente le temps propre de notre particule, on a :

\frac{t_B}{t_A}=\frac{\tau \sqrt{1-\frac{v_B^2}{c^2}}}{\tau \sqrt{1-\frac{v_A^2}{c^2}}} \simeq 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{v_A^2}{c^2}-\frac{v_B^2}{c^2}\right) =- \frac{\Delta U}{c^2}.

Avec les estimations précédentes, dans le cas où le champ est faible, on a : g_{tt} \simeq \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right).

  • Estimation des fonctions g_{rr}.

Faisons l'hypothèse que le déterminant du tenseur métrique est approximativement minkowskien.

Dans ce cas, il est diagonal et nous avons : \begin{cases} g = -1 & \text{en coordonnees cartesiennes}\\ g=-r^4sin^2\theta & \text{en coordonnees spheriques}\end{cases}.

Puisque la métrique est lorentzienne à l'infini, nous avons : g_{tt}g_{rr} =-1. L'approximation de g_{tt} fournit celle de g_{rr} g_{rr}=- (g_{tt})^{-1} \simeq - \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1}.

En utilisant par convention la signature (— + + +) les deux premières composantes du tenseur métrique sont :

g_{rr} =- (g_{tt})^{-1} \simeq \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1}.


  • Estimation des fonctions g_{\theta\theta} et g_{\phi\phi}.

Puisqu'en coordonnées sphériques : g = g_{tt}g_{rr}g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}=-r^4sin^2\theta , avec la même convention pour la signature métrique et les résultats obtenus pour les premières composantes, on déduit la relation : g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}= r^4sin^2\theta

g_{\theta\theta}= r^2 et g_{\phi\phi}= r^2sin^2\theta.

La métrique de Schwarzschild peut finalement s'écrire sous la forme suivante :

ds^2= - \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d \theta^2 +\sin^2 \theta d \phi^2).

En utilisant la convention G = c = 1 :

ds^2=- \left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d \theta^2 +\sin^2 \theta d \phi^2).

Une singularité est atteinte lorsque \left(1-\frac{2M}{r}\right) = 0, c'est-à-dire lorsque la coordonnée du rayon r vaut : 2M.

Ce rayon est appelé le rayon de Schwarzschild, le rayon gravitationnel, la surface de Schwarzschild, l'horizon de Schwarzschild, la sphère de Schwarzschild ou encore la singularité de Schwarzschild. Cette dernière expression, maintenant désuète, est surtout utilisée dans l'ancienne littérature scientifique.


Notes[modifier | modifier le code]

  1. Schwarzschild, K., Über das Gravitationsfeld eines Massepunktes nach der Einsteinschen Theorie, Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungberichte, 1916, p. 189-196 (lire en ligne une traduction en anglais).
  2. Johannes Droste, un élève de Hendrik Lorentz, a obtenu indépendamment mais surtout avant Schwarzschild la même solution. Cf. Einstein, A., Œuvres choisies, Relativités I, Ed. Le Seuil, CNRS, Coll. Sources du savoir, n. 9, p. 170. et Einstein, A., Œuvres choisies, Relativités II, n. 18, p. 47.
  3. a, b et c Bernard Schutz Gravity from the ground up Cambridge University Press, 2003, p. 287
  4. (en) A.S. Eddington, « A comparison of Whitehead's and Einstein's formulæ »,‎ Fevrier 1924 (DOI 10.1038/113192a0, Bibcode 1924Natur.113..192E), p. 192 url=http://www.strangepaths.com/files/eddington.pdf
  5. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], §102, note en bas de page.
  6. Synge, J. L., The gravitational field of a particule, 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
  7. Mavridès, S., L'Univers relativiste, Masson, 1973, p. 338.
  8. "Landau-Lifshitz Spacelike Convention" : Convention de type espace de Landau-Lifshitz.
  9. Cette approximation n'est pas la méthode utilisée par Karl Schwarzschild pour établir la métrique qui porte désormais son nom. Celui-ci a utilisé le calcul tensoriel.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Kip Thorne, John Archibal Wheeler, Charles Misner Gravitation W.H Freeman & Co, 1973 :
  1. a, b et c p. 612
  2. p. 614
  3. a et b p. 596

Lien externe[modifier | modifier le code]