Transformations de Galilée

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Les transformations de Galilée désignent le groupe de transformations qui permet de lier deux systèmes de coordonnées de deux référentiels galiléens, c'est-à-dire en mouvement relatif uniforme en mécanique newtonienne.

Équations[modifier | modifier le code]

Soient (x, y, z, t) les coordonnées d'un point dans un référentiel R, et soient (x', y', z', t') les coordonnées de ce même point dans un autre référentiel R'. Si R' est en mouvement uniforme de vitesse v dans la direction x, relativement à R, alors on a :


\begin{align}
t'&=t\\
x'&=x - vt\\
y'&=y\\
z'&=z
\end{align}

Ces équations de la transformation sont le cas particulier (et beaucoup plus simple) des transformations de Lorentz où le paramètre c, la vitesse de la lumière, serait infinie. On sait que ce n'est pas le cas, mais elles restent suffisamment bonnes (et, par conséquent, la mécanique newtonienne reste valable) tant que la vitesse relative des référentiels est assez petite par rapport à la vitesse de la lumière. Sinon, il faut revenir au groupe des transformations de Lorentz et adopter la relativité restreinte.

Dans le cas où la vitesse v est quelconque, la transformation devient :


\begin{align}
\vec{x'} &= \mathrm A \vec x - t \vec v + \vec u \\
t' &= t + \tau
\end{align}

où la matrice orthogonale A et le quadrivecteur  (\vec u, \tau) correspondent au changement de base dans l'espace affine  \mathbb R^4 qu'il faut opérer pour qu'au temps t = 0, le repère R soit envoyé sur le repère R'.

Cela a pour conséquence que le groupe de transformation des référentiels galiléens - le groupe de Galilée - est isomorphe au groupe  (\mathrm O(3) \ltimes \mathbb R^3) \ltimes \mathbb R^4. C'est donc un groupe bien plus dur à étudier que le groupe de Poincaré.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]