Paradoxe du train

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le paradoxe du train est une expérience de pensée destinée à illustrer des effets paradoxaux de la relativité restreinte : non-pertinence des notions de simultanéité et d'antériorité absolues et contraction des longueurs.

Description du paradoxe[modifier | modifier le code]

La situation apparemment incohérente présentée par le paradoxe du train est la suivante. Considérons un train animé d'une vitesse v proche de celle de la lumière (ce qui est évidemment impossible à réaliser concrètement) et un tunnel ayant la même longueur propre (c'est-à-dire la longueur mesurée dans un repère au repos par rapport à l'objet mesuré). La relativité restreinte indique que si nous mesurons la longueur du train depuis la voie, le train apparaîtra plus court que le tunnel d'un facteur

\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}

La situation vue du train est différente. C'est maintenant le tunnel qui est plus court que le train, le premier n'étant donc pas susceptible de contenir le second dans toute sa longueur.

Il en résulte que pour les observateurs situés sur la voie, l'arrière du train sera déjà dans le tunnel quand l'avant en sortira. Pour les passagers du train, c'est l'inverse : l'avant sortira du tunnel alors que l'arrière n'y sera pas encore entré.

Imaginons alors l'expérience suivante. Une bombe est située à l'avant du train, prête à exploser au moment précis où le train sort du tunnel. En même temps cette bombe peut être désamorcée grâce à un signal émis à l'arrière du train au moment précis où la queue du convoi entre dans le tunnel. La bombe éclatera-t-elle ou non ?

Dans le repère de la voie, l'arrière du train entre dans le tunnel avant que l'avant soit sorti. Le signal de désamorçage est émis et neutralise l'explosion. La bombe n'explose pas.

Dans le repère du train l'avant du train sort avant que l'arrière soit entré. Donc le signal de désamorçage ne peut pas atteindre l'avant. La bombe explose.

La bombe ne peut pas à la fois exploser et ne pas exploser selon le repère choisi. La relativité restreinte serait-elle en défaut ?

Contraction des longueurs[modifier | modifier le code]

Paradoxe du train et du tunnel

Supposons que le tunnel soit équipé de deux détecteurs, un à l'entrée E et l'autre à la sortie S. Le train, supposé se déplacer à une vitesse proche de celle de la lumière, traverse ce tunnel. Le détecteur de sortie émet un signal lumineux A lorsque l'avant P du train sort du tunnel. Le détecteur d'entrée émet un signal lumineux B lorsque l'arrière Q du train entre dans le tunnel. Autrement dit, l'événement A consiste dans le passage du point P du train devant le point S de la voie et l'événement B dans le passage du point Q du train devant le point E de la voie.

La relativité restreinte indique que, vu de la voie, le train paraît raccourcir. Cela veut dire que, pour les observateurs fixes, lorsque l'arrière Q du train entre dans le tunnel, l'avant P n'en est pas encore sorti. Autrement dit, l'éclair A est émis après l'éclair B. Si l'observateur O sur la voie est à mi-distance des extrémités du tunnel, il recevra donc d'abord l'éclair B (et à cet instant tout le train sera à l'intérieur du tunnel) puis un bref instant après l'éclair A.

La vision des passagers du train est différente. Pour eux, c'est le tunnel qui paraît plus court que leur train. Cela revient à dire que lorsque l'avant P du train est sorti du tunnel (éclair A), l'arrière Q du train n'y est pas encore entré (éclair B). Par conséquent, l'ordre des événements A et B est inversé par rapport aux observateurs de la voie. L'événement A précède maintenant l'événement B. Un passager situé au milieu du train recevra l'éclair A avant l'éclair B.

Il n'y a rien d'incohérent à ces différences de point de vue entre l'observateur au repos et l'observateur en mouvement. La relativité restreinte affirme en effet que les notions d'antériorité et de simultanéité sont relatives, c'est-à-dire dépendent du référentiel dans lequel on fait les mesures. Elles n'ont pas de caractère absolu. Depuis la voie, A est postérieur à B tandis que depuis le train B est postérieur à A.

Résolution du paradoxe[modifier | modifier le code]

Revenons alors à la question posée. L'événement A correspond à l'explosion de la bombe placée à l'avant du train, l'événement B à celui de l'émission du signal de désarmement de la bombe. Dans le repère du train, il n'y a aucune ambiguïté : l'événement B étant postérieur à A, le signal de désamorçage B est émis alors que la bombe a déjà explosé. Dans le repère de la voie, le signal B est émis avant que la bombe n'explose. Mais ce signal aura-t-il le temps de parvenir jusqu'à l'avant du train ? La réponse est négative, de sorte que la bombe explosera. On peut le montrer de plusieurs façons.

La relativité restreinte définit le carré de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements A et B séparés par une distance temporelle Δt et une distance spatiale Δs par la formule

\,c^2\Delta \tau^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta s^2

et énonce que cette quantité est indépendante du repère dans lequel elle est évaluée. En particulier, elle peut être positive ou négative mais ce caractère ne dépend pas du système de coordonnées choisi. Si la quantité est négative, cela signifie que l'intervalle est du type « espace » (la distance spatiale est plus grande que la distance temporelle) et que les événements A et B sont indépendants l'un de l'autre. Or puisque nous venons de voir que B n'a pas pu agir sur A quand on se place dans le repère du train, il en est nécessairement de même dans le repère de la voie ferrée[note 1]. Cela veut dire à son tour que le signal émis par l'arrière du train n'aura pas le temps d'arriver à l'avant pour empêcher l'explosion de la bombe. Dans le repère de la voie, les observateurs fixes concluent également que la bombe explosera.

Il n'y a pas de contradiction dans l'analyse de la relativité restreinte.

Les calculs suivants développent quantitativement ce raisonnement et fournissent tous les détails du problème.

Calcul algébrique[modifier | modifier le code]

Illustration graphique du paradoxe[modifier | modifier le code]

Diagramme d'espace-temps[modifier | modifier le code]

Attention ! La contraction des longueurs est considérablement exagérée : elle correspondrait à une vitesse d'environ 0,6 c totalement irréalisable en pratique. Le diagramme montre que l'événement A est situé hors de la zone d'influence de B.

Le schéma ci-contre représente le passage du train dans le tunnel dans un diagramme espace-temps. Y sont représentées les lignes d'univers d'une part de l'avant P du train et de l'arrière Q du train, et d'autre part de la sortie S du tunnel et de son entrée E.

Lorsque l'avant P du train coïncide avec la sortie S, c'est l'événement A. Lorsque l'arrière Q du train coïncide avec l'entrée E du tunnel, c'est l'événement B. Les coordonnées (xt) correspondent au repère fixe de la voie. Les coordonnées (x′t′) sont relatives au train. L'origine des coordonnées peut être choisie de façon arbitraire. (Pour fixer les idées on peut prendre l'événement B comme origine avec tB = t′B = 0.)

Le temps tA ou t′A correspondant à l'événement A est obtenu en menant de A la parallèle à l'axe x ou x′ et en notant où cette parallèle coupe l'axe temporel. On remarque immédiatement que tA est supérieur à tB tandis que t′A est inférieur à t′B. Autrement dit l'événement A est postérieur à l'événement B pour les observateurs situés sur la voie tandis que l'inverse est vrai pour les passagers du train, ces derniers jugeant que l'événement A est antérieur à B. On a démontré précédemment, algébriquement, que l'écart temporel entre A et B est le même en valeur absolu dans les deux repères, bien que le signe diffère.

Le diagramme montre encore que l'événement A est situé à l'extérieur du cône de lumière issu de l'événement B. Autrement dit les événements A et B ne peuvent pas être liés par un quelconque lien de cause à effet. La distance spatiale les séparant est trop grande devant leur distance temporelle de sorte qu'un signal issu de A ne peut pas atteindre l'événement B avant que ce dernier se produise (et réciproquement).

La droite joignant les événements A et B représente l'axe des abscisses dans un repère particulier, celui où ces deux événements ont lieu au même instant[note 2]. La vitesse w de ce repère par rapport à la voie ferrée est inférieure à la vitesse du train. Dans un autre repère, quelconque, l'événement A sera antérieur à B si sa vitesse est supérieure à w (c'est le cas du train) et sera postérieur à B si sa vitesse est inférieure à w (c'est le cas du repère de la voie ferrée).

la lumière issue de l'arrière du train ne peut pas rejoindre à temps l'avant

Pour éviter les fausses interprétations des effets de relativité restreinte, redisons que la contraction de longueur évoquée ici n'est pas réaliste pour un vrai train ! Les effets de relativité restreinte dépendent du fameux facteur de Lorentz γ et ne deviennent notables que lorsque les vitesses approchent celle de la lumière, ce qui n'est pas le cas de la vitesse d'un train, qui reste inférieure à 3×10-7 c.

Animation[modifier | modifier le code]

Le dessin animé ci-contre montre le passage du train dans le tunnel dans chacun des deux repères.

La partie d'en-bas décrit le passage du train dans le repère du tunnel : le premier signal indique l'entrée de l'arrière du train dans le tunnel alors que le second marque la sortie de l'avant du train. Le signal émis par l'arrière du train n'a pas le temps d'atteindre l'avant.

La partie d'en-haut décrit la suite des événements dans le repère du train, dont les passagers voient arriver le tunnel vers eux : le premier signal concerne cette fois la sortie de l'avant du train, avant que le second signal se déclenche lorsque l'arrière du train passe dans le tunnel. Ce dernier signal, émis après le premier, ne peut évidemment pas rejoindre l'avant du train.

Dans les deux analyses la bombe située à l'avant du train explose.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On peut encore raisonner par continuité. Puisque A est antérieur à B dans un repère et postérieur à B dans un autre, il existe un repère de vitesse intermédiaire dans lequel A et B sont simultanés. Dans ce repère particulier, le carré de l'intervalle spatio-temporel vaut -Δx2 : il est donc négatif, et restera négatif dans tout repère.
  2. Il s'agit du repère dans lequel le train et le tunnel ont la même vitesse et qui, subissant de ce fait le même raccourcissement, sont vus de même longueur.

Références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]