Diagramme de Minkowski

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Diagramme de Minkowski représentant la translation des coordonnées d'espace-temps (x,t) d'un observateur en celles (x', t') d'un second observateur (en bleu) en déplacement par rapport au premier à 40 % de la vitesse de la lumière.

Le diagramme de Minkowski est une représentation de l'espace-temps développée en 1908 par Hermann Minkowski, permettant une visualisation des propriétés dans la théorie de la relativité restreinte. Il est alors possible d'avoir une compréhension qualitative et intuitive de phénomènes comme la dilatation du temps, la contraction des longueurs ou encore la notion de simultanéité, sans utiliser d'équations mathématiques.

Le diagramme de Minkowski utilise une seule dimension spatiale. Il superpose deux systèmes de coordonnées correspondant à deux observateurs en translation rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre. Son objectif principal est de permettre de visualiser immédiatement les coordonnées d'un même événement dans un référentiel, à partir des coordonnées de l'autre référentiel, et de résoudre ainsi de nombreux problèmes et paradoxes apparents de la relativité restreinte. Ce diagramme permet également de montrer graphiquement la propriété de la vitesse de la lumière d'être une vitesse non dépassable.

La structure et les propriétés du diagramme résultent des postulats de la relativité restreinte et des propriétés de l'espace de Minkowski. Elles illustrent les relations profondes entre l'espace et le temps, découvertes par la théorie de la relativité restreinte.

Bases[modifier | modifier le code]

Ligne d'univers du photon. Les lignes d'univers des particules massives sont nécessairement au-dessus de cette droite.

Pour la lisibilité du diagramme, une seule dimension spatiale est représentée. Contrairement aux diagrammes distance/temps usuels, la coordonnée spatiale est en abscisse et le temps en ordonnée. Les objets décrits par ce diagramme peuvent être pensés comme se déplaçant du bas vers le haut à mesure que le temps passe. La trajectoire d'un objet dans ce diagramme est appelée ligne d'univers. Une particule immobile aura une ligne d'univers verticale.

Chaque point du diagramme représente une certaine position dans l'espace et le temps. Cette position est appelée un événement, indépendamment du fait qu'il se passe réellement quelque chose en ce point ou non.

Pour faciliter l'utilisation du diagramme, l'axe des ordonnées représente une quantité « ct » qui est le temps multiplié par la vitesse de la lumière « c ». Cette quantité est assimilable également à une distance. De cette manière, la ligne d'univers du photon est une droite de pente 45°, l'échelle des deux axes étant identique dans un diagramme de Minkowski.

Construction et règles de transformation des coordonnées[modifier | modifier le code]

Représentation asymétrique[modifier | modifier le code]

Règle de projection d'un événement A sur les axes (x,ct) et (x', ct')

Dans une représentation asymétrique (la plus commune), où un référentiel (x,ct) est considéré au repos et l'autre (x',ct') en mouvement avec une vitesse v (rectiligne et uniforme) par rapport à lui, le diagramme de Minkowski se construit en représentant le premier référentiel avec des axes orthogonaux.

Détermination des axes du second référentiel :

Le second référentiel est représenté avec un axe (O,ct') identifié avec la droite d'équation x=v.t \quad (ou encore x=\beta.ct, avec \beta = v/c) et (O,x') avec la droite symétrique par rapport à la droite d'équation x=ct, c'est-à-dire est d'équation x= (c^2/v) . t (ou encore x= \beta^{-1}.ct).
D'un point de vue angulaire, cela signifie que l'axe (O,ct') fait un angle \alpha par rapport à (O,ct) et (O,x') fait le même angle mais de sens opposé par rapport à (O,x), et que l'angle \alpha est tel que  \tan(\alpha) = \frac{v}{c} .

Graduation des axes (O,ct') et (O,x') :

Les transformations de Lorentz nous donnent les relations c \Delta t = \gamma \left( c \Delta t' + \beta \Delta x' \right) \, ; \Delta x = \gamma \left( \Delta x' + \beta c \Delta t' \right) \, , avec \beta = \frac{v}{c} et \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\, .
Pour le point de coordonnées (0';1') (donc x'=0 et ct' = 1), on a : ct=\gamma >0 et x=\gamma \beta >0 qui forment un couple de solutions positives de l'équation c^2t^2-x^2= 1.
De même, pour le point (1';0') (donc x'=1 et ct' = 0), on a : ct=\gamma \beta >0 et x=\gamma >0 qui forment un couple de solutions positives de l'équation c^2t^2-x^2= -1.
En fait, cette détermination de la graduation utilise l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel : c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2=\pm 1.
Géométriquement, pour placer les points (0';1') et (1';0'), il suffit de considérer le point commun de coordonnées positives de (O,ct') et de la courbe c^2t^2-x^2=1, d'une part, et le point commun de coordonnées positives de (O,x') et de la courbe c^2t^2-x^2=-1, d'autre part.

Détermination des coordonnées d'un point :

Les coordonnées (x,ct) et (x',ct') d'un même événement A se trouvent par projection sur chaque axe, parallèlement à l'autre axe du référentiel, conformément aux règles usuelles des coordonnées cartésiennes.

Cette représentation est alors apte à décrire un certain nombre de raisonnements qualitatifs et quantitatifs : dilatation des durées, contraction des longueurs, combinaison des vitesses... combinaison de transformation de Lorentz successives (unidimensionnelles).

Représentation symétrique[modifier | modifier le code]

Représentation symétrique, avec les lignes de simultanéité pour chaque observateur.

Il existe une représentation symétrique du diagramme de Minkowski (appelée également diagramme de Loedel d'après le physicien Enrique Loedel Palumbo qui a introduit le premier cette représentation symétrique) où aucun référentiel n'est privilégié. Les deux systèmes d'axes sont représentés symétriquement par rapport aux directions orthogonales, et sont séparés par un angle \beta tel que :

\sin(\beta) = \frac{v}{c} .

Contrairement à la représentation asymétrique, l'échelle et la graduation des axes des deux référentiels est la même, ce qui facilite l'interprétation des figures. Cette représentation apparaît plus proche de l'esprit de la relativité où aucun référentiel n'est privilégié : en effet, dans la représentation asymétrique, le fait de prendre les axes Ot et Ox orthogonaux est arbitraire, alors que dans la représentation symétrique, l'orthogonalité de Ot avec Ox' et de Ot' avec Ox résulte des symétries, et donne immédiatement l'invariance de la distance de Minkowski entre deux événements.

Lignes de simultanéité[modifier | modifier le code]

Par définition, tous les événements situés sur l'axe (0,x) sont simultanés (possèdent le même temps t = 0). En conséquence, toutes les droites parallèles à (O,x) sont des lignes de simultanéité de l'observateur situé dans le référentiel (x,t). De même, toutes les droites parallèles à (O,x') sont les lignes de simultanéité pour l'observateur situé dans le référentiel (x',t'). Tous les événements situés sur ces droites se passent "au même instant" pour un observateur donné. Cette simultanéité de 2 événements distants spatialement et qui dépendent du référentiel correspond bien à celle proposée par Einstein à l'aide de signaux lumineux.


Le diagramme de Minkowski illustre la relativité de la simultanéité. La théorie de la relativité restreinte stipule en effet que deux événements peuvent être vus comme simultanés pour un observateur, et non simultanés pour un autre en déplacement par rapport au premier. Il est même possible, quand les deux événements sont séparés par un intervalle de genre espace que deux événements soient vus dans un certain ordre par un observateur, et dans l'ordre inverse par un autre.

Exemples d'application[modifier | modifier le code]

Dilatation temporelle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dilatation du temps.
Dilatation temporelle : les deux observateurs considèrent que le temps passe plus lentement dans l'autre référentiel

Selon la théorie de la relativité restreinte, une horloge animée d'une certaine vitesse par rapport à un référentiel qualifié de « fixe » sera observée comme battant le temps à un rythme plus lent que celui des horloges de ce référentiel.

Cette constatation est réciproque, c'est-à-dire que l'horloge dans le repère « fixe » sera également observée comme plus lente que celles du référentiel en mouvement, à partir de ce dernier référentiel, ce qui semble à première vue paradoxal.

Ceci peut être visualisé avec un diagramme de Minkowski. Pour un observateur en A (voir schéma ci-contre), le temps « simultané » de l'autre référentiel est le temps en B qui est inférieur à A[note 1]. L'observateur en A peut donc logiquement conclure que le temps se passe plus lentement dans l'autre référentiel. Réciproquement, pour un observateur en B, le temps « simultané » de l'autre référentiel est en C, qui est inférieur à B, et observe également un ralentissement du temps dans l'autre référentiel.

La vitesse de la lumière comme vitesse limite[modifier | modifier le code]

Emission d'un message vers le passé, à une vitesse supraluminique, de S à M' via O'.

Le diagramme de Minkowski permet de mettre en évidence les contradictions et paradoxes qui interviennent à partir du moment où on postule qu'une information peut se propager à une vitesse supérieure à celle de la lumière. Notamment, il serait possible dans ces conditions de transmettre une information dans son propre passé[1],[2].

Soit la ligne d'univers \Omega_2 dans le référentiel fixe. Il est possible pour un observateur sur cette ligne d'univers de transmettre une information à un observateur sur la ligne d'univers \Omega_1, en mouvement (avec une vitesse < c) par rapport au premier, au moment où les deux observateurs se rejoignent (point S).

L'observateur \Omega_1 émet alors, plus vite que la lumière, cette information vers un observateur sur la ligne d'univers \Omega_3 (flèche T1). L'information atteint \Omega_3 en O'. L'observateur \Omega_3 réémet alors l'information vers \Omega_2, plus vite que la lumière également[note 2], vers \Omega_2 (flèche T2). L'information atteint \Omega_2 en M', avant que \Omega_2 ne l'ait émise en S[1].

Chaque observateur \Omega_1 et \Omega_3 envoie une information vers son propre futur, comme le montre la direction des flèches T1 et T2 par rapport à la ligne de simultanéité de leur référentiel. Mais le déplacement relatif des deux observateurs, et la trajectoire de genre espace (en dehors du cône de lumière) de chaque émission, rend possible une émission vers le passé de \Omega_2.

De plus, pour l'observateur dans le référentiel mobile (en bleu), l'événement S a lieu avant l'événement O', alors que l'ordre temporel apparait inverse pour un observateur dans le référentiel fixe (en noir). Pour l'observateur mobile, S est la cause de O', alors que pour le fixe O' est la cause de S. Ceci est une violation du principe de causalité selon lequel la cause précède toujours l'effet.

Ces considérations montrent que la limite de la vitesse de la lumière est une conséquence des propriétés de l'espace-temps et de la notion de causalité, et non une conséquence liées aux propriétés physiques des objets eux-mêmes, comme des limites technologiques par exemple.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le temps observé en A sur une horloge de l'autre référentiel sera en fait encore inférieur à B, dû au temps mis par l'image de l'horloge pour aller d'un référentiel à l'autre à la vitesse de la lumière. Mais ceci ne change rien de fondamental au raisonnement.
  2. Le principe de relativité stipulant que les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels, si un observateur est en mesure d'émettre plus vite que la lumière dans le référentiel en mouvement, alors il est possible d'émettre plus vite que la lumière dans le référentiel fixe.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) David Bohm The Special Theory of Relativity, 1996, Routlege edition, p. 120-121
  2. (en) Roger Penrose The Emperor's New Mind, 1995, Oxford University Press, p. 213

Sources[modifier | modifier le code]