Espace pseudo-euclidien

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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, un espace pseudo-euclidien est une extension du concept d'espace euclidien dont la métrique n'est pas définie positive[pas clair]. L'espace de Minkowski est un exemple d'espace pseudo-euclidien.

La notion de métrique[modifier | modifier le code]

Dans les espaces euclidiens (et pseudo euclidiens),[Informations douteuses] les notions de métrique et d'orthogonalité sont construites par l'adjonction d'un produit scalaire à un espace vectoriel réel de dimension finie. Le carré de la norme d'un vecteur est égal au produit scalaire de ce vecteur par lui-même, ce qui permet de définir la notion de distance entre deux points. De plus, le produit scalaire usuel se formule dans la base canonique comme la somme des carrés des coordonnées du vecteur, et de cette façon, il est défini positif et la base canonique est automatiquement orthonormale.

En pratique, cependant, cette manière de calculer le produit scalaire n'est pas suffisante, car elle ne permet pas de changer de base. On doit dès lors considérer le produit scalaire usuel comme une forme bilinéaire représentée dans la base canonique par la matrice unité.

Changement de base[modifier | modifier le code]

Dans une base quelconque, la matrice du produit scalaire canonique est tP P, où P désigne la matrice de passage.

Les matrices de cette forme sont exactement les matrices définies positives.

La spécificité des espaces pseudo-euclidiens, c'est justement[pas clair] que les axes de la base canonique sont répartis en deux groupes, ceux dans lesquelles les distances sont positives, et ceux dans lesquelles les distance sont négatives. C'est en particulier ce qui permet à Minkowski, de proposer un système de coordonnées dans lequel, l'axe temporel est par essence différent des axes spatiaux.

Avec des tenseurs[modifier | modifier le code]

Quand la base n’est plus orthonormée, il est intéressant d'utiliser la notation tensorielle pour pouvoir facilement différencier les coordonnées contravariantes des coordonnées covariantes. Dans ce cas, l'orthogonalité et la norme sont définie par une forme bilinéaire g^{ab} appelée tenseur métrique, et le produit scalaire, tel qu'utilisé dans les exemples précédents, utilise son inverse : {g^{ab}}^{-1} noté g_{ab} et appelé tenseur métrique inverse.

Signature[modifier | modifier le code]

La signature d'un espace pseudo-euclidien est la signature de la forme quadratique dont il est équipé.