Gamme pythagoricienne

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Une gamme pythagoricienne est une gamme musicale construite exclusivement sur des intervalles de quintes pures. L'intervalle de quinte pure était l'intervalle considéré dans l'Antiquité comme le plus consonant après l'octave de par son rapport numérique simple (3/2) sur le monocorde[1].

La méthode de superposition des quintes permet de construire une gamme chromatique[2], c'est ainsi la plus ancienne manière d'accorder les instruments à sons fixes ; elle a été en usage jusqu'à la fin du Moyen Âge.

Cette gamme tient son nom du grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation de gammes musicales similaires remontent aux babyloniens vers le IVe millénaire av. J.-C.[3].

Construction[modifier | modifier le code]

En utilisant le monocorde, on construit un intervalle de quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde. À partir de cette nouvelle note on prend à nouveau les deux tiers de la corde, ce qui donne une deuxième quinte. En continuant ainsi, on retombe à la 12e quinte sur une note très proche de celle de départ (si on tient compte du principe d'équivalence des octaves).

En acoustique musicale, un intervalle de quinte pure se construit en multipliant la fréquence de la note de base par 3/2. Par exemple, si on part de la note ayant pour fréquence 200 Hz, la deuxième note aura une fréquence de 300 Hz. La suite des quintes donnera ensuite 450 Hz, 675 Hz, etc.

Pour construire une gamme musicale avec ces notes, on les ramène à une même octave, soit dans un intervalle de rapport 2/1. On peut choisir avec l'exemple précédent l'octave comprise entre 200 Hz et 400 Hz : il faut diviser par une puissance de 2 les fréquences se situant au-dessus des 400 Hz, ce qui donnera 337,5 Hz pour celle de 675 Hz (division par 2).

La gamme obtenue possède des intervalles assez réguliers pour servir de référence à l'accordage d'instruments de musique.

L'intervalle de 12 quintes représente une étendue légèrement supérieure à 7 octaves, la différence étant le comma pythagoricien[1]. La dernière quinte est raccourcie pour donner à l'ensemble un étendue valant exactement 7 octaves : elle forme la quinte dite « du loup » car elle est très dissonante.

Une telle gamme contient aussi des quartes pures, obtenues par renversement des quintes.

Notation[modifier | modifier le code]

Cycle des quintes avec le solfège : on descend chaque fois que possible d'une octave afin de rester dans la même (représentée en bleu ciel)

En utilisant le nom des notes issues du solfège, il est possible de construire une suite de quintes (en formant le cycle des quintes) et de donner un nom aux notes de la gamme pythagoricienne.

Dans la gamme tempérée, l'étendue d'une quinte juste vaut trois tons et demi : sur un piano on avance de quinte en quinte en se déplaçant chaque fois de 7 touches (touches noires comprises). En partant du do on obtient la suite :

do - sol - ré - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯ - ré♯ - la♯ - mi♯ - si♯ ...

Par convention, on utilise le dièse pour les notes altérées dans la suite des quintes ascendantes, et le bémol dans la suite des quintes descendantes[2].

Toujours en partant de do, la suite des quintes descendantes commence par :

do - fa - si♭ - mi♭ - la♭ - ré♭ - sol♭ - do♭ - fa♭ - si♭♭ - mi♭♭ - la♭♭ - ré♭♭ ...

Clavier à 19 touches par octave imaginé par Zarlino, distinguant dièses et bémols

Il n'y a pas d'enharmonie puisque cette gamme n'est pas tempérée : le do♯ n'a donc pas la même fréquence que le ré♭. Les deux demi-tons, qui sont identiques dans la gamme tempérée, sont nommés dans la gamme pythagoricienne :

  • apotome, pour l'intervalle formé par une note et sa version altérée ;
  • limma, pour l'intervalle formé par une note altérée et la note voisine ne portant pas le même nom.

Ces intervalles sont disposés ainsi :

  • do - apotome - do♯ - limma - , pour les quintes ascendantes ;
  • do - limma - ré♭ - apotome - , pour les quintes descendantes.

Dans la gamme pythagoricienne, les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes conjointes diésées, on en déduit l'ordre suivant : do - ré♭ - do♯ - ré.

Gammes[modifier | modifier le code]

La superposition de 5 quintes (do - sol - ré - la - mi) donne, après réduction à l'octave, une gamme pentatonique[2] : ré - mi - sol - la - do.

La superposition de 7 quintes (fa - do - sol - ré - la - mi - si) donne une gamme heptatonique diatonique[2] : ré - mi - fa - sol - la - si - do.

La superposition de 12 quintes donne une gamme chromatique[2].

Gamme pythagoricienne majeure[modifier | modifier le code]

À partir d'une suite de 12 quintes pures, on désigne les notes de la gamme chromatique obtenue par les noms suivants :

mi♭ - si♭ - fa - do - sol - ré - la - mi - si - fa♯ - do♯ - sol♯

La quinte du loup sera placée dans l'intervalle le moins utilisé, souvent sol♯ - mi♭. Selon le choix de la note de départ, on obtiendra différents modes pour les sept notes de base. La gamme majeure se définit selon les rapports suivants :

Gamme pythagoricienne majeure
Note do mi fa sol la si do
Rapport 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1
Ecarts 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Cette gamme particulière peut aussi se définir par ses écarts (en plus ou en moins) par rapport au tempérament égal, exprimés en cents :

Note Do Do♯ Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si
Écarts 0 +9.78 -3.91 +5.87 -7.82 +1.96 ± 11.73 -1.96 +7.82 -5.87 +3.91 -9.78


Construction mathématique[modifier | modifier le code]

À partir d'une note donnée, pour monter d'une octave, il faut multiplier sa fréquence par 2.

De manière analogue, pour monter d'une quinte pure, il faut multiplier sa fréquence par 3/2.

Ainsi, monter de 7 octaves revient à multiplier la fréquence par[1] :

2^7 = 128.

et monter de 12 quintes revient à multiplier la fréquence de la note de départ par[1] :

(3/2)^{12} \approx 129,75


L'écart entre 12 quintes et 7 octaves est donc de seulement (129,75-128)/128 = 1,36 % soit environ 23,46 cents. Cet écart est nommé comma pythagoricien.


Le rapport des notes successives du cycle des 12 quintes est donc en partant de 1 :

Rapports des fréquences pour 12 quintes pures successives[1]
Quintes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Rapports 1 3/2 32/22 33/23 34/24 35/25 36/26 37/27 38/28 39/29 310/210 311/211 312/212


On ramène ensuite toutes les notes dans la même octave en divisant les rapports par une puissance de deux. (Ici 0,0,1,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6 → facteurs d'échelle symétrique). Puis on trie les rapports résultants dans l'ordre croissant pour obtenir une échelle musicale, ce qui donne le tableau ci-dessous. On arrondit le dernier rapport (correspondant à 12 quintes, et ramené à 312/212/26, soit environ 2.027) à 2 pour former une octave (c'est le raccourcissement de la dernière quinte).

On calcule aussi l'écart entre deux notes successives.


Rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2] et triés
Quintes 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 12
Rapports 1 37/211 32/23 39/214 34/26 311/217 36/29 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2
Écarts 37/211 28/35 37/211 28/35 37/211 28/35 28/35 37/211 28/35 37/211 28/35 28/35

On s'aperçoit qu'il n'y a que deux valeurs différentes pour les écarts :

  • le plus grand est l'apotome, qui vaut 37/211 (environ 1,0679),
  • le plus petit est le limma, qui vaut 28/35 (environ 1,0535).

On constate ainsi que l'arrondi de 312/212/26 à 2 aboutit précisément à transformer un intervalle de 37/211 en un intervalle de 28/35. Ainsi, la différence entre ces deux intervalles vaut exactement le comma pythagoricien : (37/211)*(35/28) = 312/219.

La somme de ces deux intervalles vaut un ton : (37/211)*(28/35) = 32/23 = 9/8.


En repérant les tons (couples apotome + limma) et les demi-tons diatoniques (limmas seuls), on peut donner aux notes les noms de la gamme naturelle, avec les notes dièsées puisque l'on a utilisé uniquement des quintes ascendantes.

Nom des notes
Quintes 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 12
Rapports 1 37/211 32/23 39/214 34/26 311/217 36/29 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2
Écarts apo. lim. apo. lim. apo. lim. lim. apo. lim. apo. lim. lim.
Noms do do♯ ré♯ mi fa fa♯ sol sol♯ la la♯ si do

Cette gamme possède deux inconvénients :

  • l'intervalle de quinte renversée, la quarte pure, n'apparaît pas ;
  • la quinte du loup se trouve dans l'intervalle fa - do.

Ce problème sera corrigé dans la gamme majeure.

Gamme majeure[modifier | modifier le code]

La gamme pythagoricienne majeure contient la quarte pure (rapport 4/3). On remarque dans la gamme construite précédemment, qu'en remplaçant l'intervalle le plus proche de la quarte (celui de 11 quintes de rapport 311/217) par la quarte elle-même, on retrouve apotomes et limmas :

Gamme majeure (incluant la quarte juste)
Quintes 0 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 12
Rapports 1 37/211 32/23 39/214 34/26 4/3 36/29 3/2 38/212 33/24 310/215 35/27 2
Écarts apo. lim. apo. lim. lim. apo. lim. apo. lim. apo. lim. lim.
Noms do do♯ ré♯ mi fa fa♯ sol sol♯ la la♯ si do

Cette substitution déplace la quinte du loup dans l'intervalle la♯ - fa, ce qui est plus judicieux du point de vue musical (on a bien (4/3) / (310/215) = 217/311, et en multipliant par deux pour se remettre dans l'octave [1 ; 2] on retrouve la valeur de la quinte du loup). On remarque qu'en plus, l'intervalle fa - do retrouve son écart originel de 3/2.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma étant plus court que l'apotome d'un comma.

Intervalles de la gamme pythagoricienne.svg

Le diagramme ci-dessus propose une approximation en donnant à l'apotome une valeur de 5 commas, et au limma une valeur de 4 commas. Cette commodité donne à l'octave une valeur 53 commas (5 apotomes + 7 limmas = 5 * 5 + 7 * 4 commas). Or, les 53 commas dépassent légèrement le rapport d'octave :

(\frac{3^{12}}{2^{19}})^{53} \approx 2,0507

Si on considère le tableau suivant qui donne les rapports des intervalles valant de 1 à 9 commas (en valeur approchée) :

Commas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rapports 1,013 1,027 1,041 1,056 1,070 1,085 1,100 1,115 1,130

on peut choisir les approximations suivantes :

  • le ton, qui vaut exactement 9/8 = 1,125, s'approche le plus des 9 commas,
  • l'apotome, qui vaut exactement 37/211 soit environ 1,068, s'approche le plus des 5 commas,
  • le limma, qui vaut exactement 28/35 soit environ 1,054, s'approche le plus des 4 commas.

Le « comma de Holder » divise exactement 53 fois l'octave. Ce comma, qui vaut environ 22,6415 cents, est très proche du comma pythagoricien. Il est à la base d'un tempérament par division multiple.

Intervalles caractéristiques[modifier | modifier le code]

Quinte du loup et comma sur le cercle représentant sept octaves

La gamme pythagoricienne comporte[4]:

  • 11 quintes pures, plus la quinte du loup
  • 8 tierces majeures pythagoriciennes plus grandes que la tierce pure d'un comma syntonique, et 4 tierces majeures très consonantes plus petites que la tierce pure d'un schisma.

Comma pythagoricien[modifier | modifier le code]

Article détaillé : comma pythagoricien.

Le comma pythagoricien, ou comma ditonique, représente la différence entre 12 quintes pures et 7 octaves. Soit une étendue de 1,36 % sur l'ensemble des sept octaves. Ce comma est aussi l'écart entre une quinte pure et la quinte du loup. Bien que très faible, il est tout à fait audible. Il est quasiment égal à 23,46 cents, soit presque un huitième de ton[2].

Quinte du loup[modifier | modifier le code]

La douzième quinte dépassant légèrement l'octave (d'un comma ditonique), la dernière quinte du cycle est réduite pour former l'octave juste. Cette quinte plus petite est inutilisable en musique : elle sonne faux. On dit qu'elle hurle, et se nomme « quinte du loup ». C'est l'un des inconvénients à l'origine de la recherche de nouveaux tempéraments.

Dans la pratique, les musiciens qui préfèrent utiliser des octaves pures accordent leurs instruments sur une gamme pythagoricienne en reportant la quinte du loup dans un intervalle peu utilisé, comme par exemple sol♯ - mi♭. Les intervalles englobant la quinte du loup sonneront faux aussi, il faut donc soigneusement l'éviter.

Le rapport de la quinte du loup se calcule en enlevant 11 quintes justes aux 7 octaves considérées :

\frac{2^7}{\frac{3^{11}}{2^{11}}}=\frac{2^{18}}{3^{11}}\approx 1,480, à comparer avec 1,5 pour une quinte juste.

Apotome[modifier | modifier le code]

L'apotome est l'intervalle compris entre une note et son altération. Il a toujours la même étendue et a pour rapport 37/211. L'apotome est avec le limma l'un des deux demi-tons de la gamme pythagoricienne. Ces deux demi-tons n'étant pas égaux, il est difficile de transposer (jouer un même morceau avec une note tonique différente) ou de moduler (changement, même temporaire, de tonalité au cours du même morceau) dans cette gamme.

Limma[modifier | modifier le code]

Le limma est l'intervalle compris entre une note altérée et sa voisine ne portant pas le même nom (ré dièse et mi par exemple, ou bien mi bémol et ré). Il a toujours la même étendue et a pour rapport 28/35. Il est plus court que l'apotome d'un comma pythagoricien. C'est le demi-ton diatonique de la gamme pythagoricienne.

Ton pythagoricien[modifier | modifier le code]

Le ton pur pythagoricien a pour rapport 9/8 : deux quintes successives forment une neuvième, qui est une seconde redoublée. La neuvième réduite à l'octave donne le rapport : (3/2*3/2) / 2 = 9/8.

Tierce pythagoricienne[modifier | modifier le code]

La tierce majeure, qui vaut deux tons purs successifs, a pour rapport 9/8*9/8 = 81/64 dans la gamme pythagoricienne. Elle diffère légèrement de la tierce pure de rapport 5/4 = 80/64. La différence entre ces deux tierces est le comma syntonique.

Tableaux de synthèse[modifier | modifier le code]


Valeur des intervalles en apotomes et limmas
Intervalle Valeur
comma 1 apotome - 1 limma
ton 1 apotome + 1 limma
tierce 2 apotomes + 2 limmas (2 tons)
quarte 2 apotomes + 3 limmas
quinte du loup 2 apotomes + 5 limmas
quinte 3 apotomes + 4 limmas
octave 5 apotomes + 7 limmas
7 octaves 35 apotomes + 49 limmas
12 quintes 36 apotomes + 48 limmas


Rapports, fréquences et cents pour la gamme pythagoricienne majeure
Note Rapport avec do Fréquence pour la = 440 Hz Cents Cents gamme tempérée
do 1/1 (1,000) 260,74 0 0
ré♭ 256/243 (1,053) 274,69 90 100
do♯ 2187/2048 (1,068) 278,44 114
9/8 (1,125) 293,33 204 200
mi♭ 32/27 (1,185) 309,03 294 300
ré♯ 19683/16384 (1,201) 313,24 318
mi 81/64 (1,266) 330,00 408 400
fa 4/3 (1,333) 347,65 498 500
sol♭ 1024/729 (1,405) 366,25 588 600
fa♯ 729/512 (1,424) 371,25 612
sol 3/2 (1,500) 391,11 702 700
la♭ 128/81 (1,580) 412,03 792 800
sol♯ 6561/4096 (1,602) 417,66 816
la 27/16 (1,688) 440,00 906 900
si♭ 16/9 (1,778) 463,54 996 1000
la♯ 59049/32768 (1,802) 469,86 1020
si 243/128 (1,898) 495,00 1110 1100
do 2/1 (2,000) 521,48 1200 1200

Histoire[modifier | modifier le code]

L'école des pythagoriciens a théorisé la gamme heptatonique dans l'harmonie des sphères en utilisant les rapports de nombres entiers le plus simples sur le monocorde : l'octave (rapport 1/2, la corde est partagée en deux), la quinte (rapport 2/3, la corde vibre sur ses deux tiers) et la quarte (rapport 3/4). Ces intervalles étant alors considérés comme les seuls consonants.

Aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu, mais on retrouve chez Platon les termes du rapport du limma, soit 256/243[5]. Le plus ancien texte connu traitant du système pythagoricien est de Henri Arnault de Zwolle, écrit vers 1450[6].

Platon, dans le Timée, décrit comment le Démiurge façonne l'Âme du monde. J.-Fr. Mattéi résume : "Le démiurge va tirer de sa composition finale une structure harmonique suggestive dont les calculs témoignent d'une influence pythagoricienne. Elle est constituée par une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et de raison 3 (1, 3, 9, 27), qu'il est commode de disposer sur un diagramme en forme de lambda majuscule (Λ), selon un schéma que l'on trouve chez Proclus. Cette figure porte, sur chaque côté de l'angle, les nombres respectifs de la série paire et de la série impaire. Le dernier de ces nombres (27) est égal à la somme des six précédents (1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27)... La progression selon le facteur 2 donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4...), alors que la progression selon le facteur 3 forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = SI...). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète en s'aidant de deux proportions continues ou 'médiétés', l'une arithmétique (de type 1, 2, 3), l'autre harmonique (de type 3, 4, 6), bien connues des pythagoriciens, en particulier Archytas. L'intervalle des nombres de 1 à 2 sera composé des nombres 1 (Tonique), 4/3 (Quarte), 3/2 (Quinte) et 2 (Octave) ; le ton, dont la valeur est 9/8, se situe entre la quarte et la quinte, puisque 3/2 : 4/3 = 9/8. L'Âme du monde est ainsi composée de cinq tons majeurs égaux entre lesquels est intercalé comme 'reste', leimma, l'intervalle de 256/243 (= 1,053), mesure du demi-ton diatonique de la gamme naturelle de Pythagore, qui est un peu plus faible que notre demi-ton tempéré (16/15 = 1,066)"[7].

La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au Moyen Âge lorsque l'on a commencé à considérer comme consonant l'intervalle de tierce. En particulier avec Gioseffo Zarlino qui donne une nouvelle définition de la tierce dans son Istitutioni Harmoniche en 1558. À propos de la gamme pythagoricienne, le musicologue Marc Texier explique : « Si pour l'essentiel de la musique médiévale, qui est vocale, la fausseté des tierces n'est pas un problème majeur, car bien sûr les chanteurs prennent instinctivement des libertés par rapport au carcan du tempérament en usage; Les limites du tempérament pythagoricien ont eu pour la musique instrumentale, et tout particulièrement la musique pour clavier, une incidence remarquable, retardant de près de trois siècles l'éclosion de la polyphonie sur ces instruments par rapport à la polyphonie vocale. Ce n'est qu'à partir du moment où de nouveaux tempéraments, multipliant les tierces justes, ont été utilisés que la littérature pour clavier a pu s'épanouir, à deux voix au XIVe siècle, à trois au XVe, alors que la musique vocale était à quatre parties dès la fin du XIIe. Le choix d'un tempérament n'est donc en rien négligeable, il induit pour des siècles l'évolution de la musique.»[8]

Newton (1704) était convaincu qu'il devait y avoir une parfaite correspondance entre les diverses couleurs et les notes de la gamme. Voltaire, dans les Éléments de philosophie de Newton (1738), p. 182, résume les résultats : "La plus grande réfrangibilité du violet répond à ré ; la plus grande réfrangabilité du pourpre répond à mi." Violet/ré, pourpre/mi, bleu/fa, vert/sol, jaune/la, orange/si, rouge/do (ut). Voltaire ajoute : "Cette analogie secrète entre la lumière et le son donne lieu de soupçonner que toutes les choses de la nature ont des rapports cachés que peut-être on découvrira quelque jour."[9]

Les propriétés mathématiques de la gamme pythagoricienne lui ont donné dans l'Antiquité un caractère magique, Jean-Philippe Rameau a même eu l'idée que la musique était la base des mathématiques.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e (fr) Frédéric Platzer, Abrégé de Musique, Ellipses, 1998, (ISBN 2-7298-5855-5), pages 63-65
  2. a, b, c, d, e et f (fr) Ulrich Michels, Guide illustré de la musique, Fayard, 1988, (ISBN 2-213-02189-9), page 89
  3. (en) West, M.L., "The Babylonian Musical Notation and the Hurrian Melodic Texts", Music & Letters, Vol. 75, no. 2., May, 1994, pages 161-179
  4. Pierre-Yves Asselin, Musique et Tempérament, Jobert, Paris, 2000 (ISBN 2905335009), Le système pythagoricien (p. 69)
  5. Platon, Timée, 36b texte intégral
  6. Pierre-Yves Asselin, Musique et Tempérament, Jobert, Paris, 2000 (ISBN 2905335009), Le système pythagoricien (p. 139)
  7. Jean-François Mattéi, Platon, PUF, coll. "Que sais-je ?", 2005, p. 73-74
  8. http://audiolabo.free.fr/revue1999/content/texier.htm#q
  9. Pierre Thuilier, La revanche des sorcières. L'irrationnel et la pensée scientifique, Belin, 1997, p. 62.

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pythagorean tuning » (voir la liste des auteurs)
  • Devie Dominique, Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
  • Roland de Candé, Dictionnaire de musique, Paris, Éditions du Seuil, coll. « Microcosme »,‎ 1961 (ISBN 978-2-02-000297-4)
  • Patrice Bailhache : Une histoire de l'acoustique musicale - CNRS Editions Paris 2001 - (ISBN 2-271-05840-6)
  • Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, N°2 (1965), pp. 241-243 - doi:10.2307/927346
  • Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
  • Edmond Costère : Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
  • Heiner Ruland, "Évolution de la musique et de la conscience - Approche pratique des systèmes musicaux", ÉAR, Genève 2005, (ISBN 2-88189-173-X)
  • Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
  • Guerino Mazzola : The Topos Geometry of Musical Logic (in Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, pp. 199-213).
  • Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
  • E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.) : Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.