Gamme naturelle

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La «gamme naturelle» ou «gamme des physiciens» est une gamme, ou un système d'accord, obtenue par des combinaisons d'intervalles purs (dits « naturels »)[1], en particulier de quintes et de tierces pures. Cette échelle a été décrite par Giuseppe Zarlino[2], par Joseph Sauveur[3], par Hermann von Helmholtz[4], etc.

Le concept de «gamme naturelle» est souvent confondu avec celui d'«intonation juste» (par exemple, le lien créé par Wikipédia pour la page en anglais correspondant à celle-ci renvoie à l'article Just intonation). L'intonation juste est le projet de jouer la musique avec tous les intervalles «justes» (ou «purs»), c'est-à-dire correspondant à des rapports simples (ou à des harmoniques). Il est cependant impossible de pratiquer une intonation juste sans disposer d'un très grand nombre (théoriquement infini) de degrés dans l'octave : c'est pourquoi l'intonation juste est souvent associée aux systèmes à micro-intervalles. L'informatique a rendu possible la construction d'instruments dont les degrés s'ajustent en temps réel aux intervalles environnants et qui semblent donc réaliser enfin l'utopie de l'intonation juste. Le problème, cependant, est que la fluctuation des degrés aboutit à une dérive du diapason (c'est-à-dire des hauteurs absolues). L'intonation juste, en bref, ne peut pas former une «gamme» stable.

Une autre définition parfois proposée de la gamme «naturelle» la décrit comme formée des harmoniques 8 à 16 de sa fondamentale. Les intervalles successifs correspondent alors par définition aux rapports entre les nombres entiers de 8 à 16 : 9:8, 10:9, 11:10, ... 15:14, 16:15. En d'autres termes, les intervalles successifs deviennent de plus en plus petits à mesure que l'on monte la gamme, avec des intervalles diminuant insensiblement du ton entier au demi-ton. Si la gamme est construite sur do, ses notes successives sont approximativement do, , mi, [fa♯], sol, [la♭], [si♭], si et do. Mais fa♯, qui divise l'intervalle mi-sol en deux parties inégales, est en réalité un quart de ton trop bas; si♭ de même, entre la et si, est un quart de ton trop bas; l'intervalle entre sol et [la♭] est un assez petit ton ou un assez grand demi-ton (plus précisément, 1,4 demi-ton); etc. Une telle gamme n'existe dans aucune tonalité connue, elle a trois notes (fa♯, la♭ et si♭) qui ne correspondent que d'assez loin aux notes réellement utilisées en musique (quel que soit l'accordage utilisé). Cette «gamme» est une construction purement théorique et artificielle, qui ne semble pas vraiment documentée historiquement; elle est décrite par exemple dans un diaporama de Lionel Chausson.

La gamme naturelle se construit en particulier de trois accords parfaits à distance de quinte juste, par exemple fa–la–do | do–mi–sol | sol–si–ré. C’est une construction essentiellement théorique, qui a sans doute joué un rôle dans l’établissement des fonctions harmoniques (les accords ci-dessus forment la sous-dominante, la tonique et la dominante de do majeur), mais qui est peu utilisable en pratique parce que les accords autres que ceux qui ont servi à sa construction ne sont pas justes. L’échelle décrite ici, par exemple, ne donne pas d’accord juste de mineur, parce que n’est pas une tierce mineure pure en dessous de fa.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le speculum musicae d'Euler, dans De harmoniae veris principiis, 1774. Pour une autre version, voir Tonnetz sur Wikipedia anglais
Transcription du speculum musicae
Le Tonnetz toroïdal

Pendant tout le Moyen Âge, le seul système musical décrit en théorie est le système pythagoricien, en chaînes de quintes justes provoquant des tierces majeures relativement trop grandes et des tierces mineures trop petites. Il est difficile de savoir dans quelle mesure ce système était réellement utilisé en pratique mais, dès le début du XVe siècle, plusieurs textes décrivent un procédé "pythagoricien" pour produire des tierces plus justes: il faut prolonger la chaîne des quintes justes vers les bémols, puis utiliser des notes telles que lab, b ou solb par enharmonie, respectivement comme sol#, do# ou fa#. Ces notes permettent alors d'excellentes approximations des tierces mi–sol#, la–do# ou ré–fa#[5]. Ces procédés donnent naissance au XVIe siècle à deux types de descriptions des systèmes: d'une part les tempéraments mésotoniques, qui diminuent (qui "tempèrent") les quintes de la chaîne pour produire des tierces plus justes, d'autre part des descriptions plus théoriques combinant les tierces justes avec les quintes justes.

Zarlino propose une construction par divisions successives: l'octave, rapport 2:1, peut être divisée par la quarte et la quinte justes, rapports 4:3:2; la quinte, rapport 3:2, peut être divisée par la tierce mineure et la tierce majeure justes, rapports 6:5:4; la tierce majeure, rapport 5:4, se divise en le ton mineur et le ton majeur, rapports 10:9:8[6]. Ce système a été diversement décrit ensuite comme système (ou gamme) «de Zarlino», «naturel(le)», «juste», «des physiciens», etc. Les physiciens en effet l'ont souvent décrit, parce qu'il paraît fondé sur la définition même des intervalles consonants: octave, quinte (et quarte), tierces majeure et mineure. Leonhard Euler, en particulier, en a proposé une présentation graphique remarquable, le speculum musicae, qui a donné naissance à un réseau souvent utilisé en théorie musicale, le Tonnetz («réseau tonal»). Comme le montre la transcription ci-contre, les notes sont alignées verticalement en quintes, horizontalement en tierces majeures. Euler a fait usage de cette figure notamment pour montrer que chacune des lignes horizontales est à un comma de distance de la précédente: si on ajoutait La à droite (et à la quinte) de sur la première ligne, il serait un comma plus haut que La de la deuxième ligne, à la tierce majeure de Fa. Anton Bruckner, qui pensait que la musique se pratiquait en système naturel, enseignait à Vienne que «nous savons qu'il n'y a pas de quinte juste sur le 2e degré: il s'agit chez nous de La que nous devrons préparer et résoudre»[7]. Il pensait à Ré-La du diagramme d'Euler, où La, tierce de Fa, est en effet théoriquement un comma trop bas pour servir à l'accord de mineur. Mais pour cette raison précisément, la musique réelle ne fait pas usage de la gamme naturelle.

Le Speculum musicae d'Euler, sous la forme du Tonnetz tel qu'il est utilisé aujourd'hui en théorie musicale, notamment en théorie néo-riemannienne, est pensé au tempérament égal. Dans ce cas, chacune des colonnes du réseau d'Euler boucle sur elle-même: Do# par exemple, au bas de la première colonne, est aussi sous la forme b la tierce majeure de Fa en haut de cette même colonne. Les lignes de même bouclent après douze quintes. Le réseau entier devient alors toroïdal, comme dans la figure ci-contre où les lignes bleues indiquent les relations de quintes, les rouges celles de tierces majeures et les vertes celles de tierce mineure.

Théorie[modifier | modifier le code]

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Les sons harmoniques ou partiels[modifier | modifier le code]

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Un son musical invariable continu résulte de la superposition (ou combinaison) d'un son simple et de ses sons harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de sa propre fréquence. On appelle second harmonique le son de fréquence double, troisième le son de fréquence triple etc. Pour un son variable inharmonique, on appelle ses composantes sons partiels. Ils sont très proches (généralement plus aigus) des fréquences harmoniques, mais ne sont pas des multiples entiers du son fondamental.

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Harmoniques naturels de rangs 2, 3, 4, 5 et 6, joués sur la corde de LA d'un violon (info)

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Écouter la série des 16 premiers harmoniques (en gamme tempérée, donc très approximative... et tout à fait fausse dans les six dernières notes) (info)
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Si l'on part du DO 0 en prenant sa fréquence comme unité :

  • partiel no 1 : fondamental ou harmonique de rang 1 (=DO 0)
  • partiel no 2 : harmonique de rang 2 (=DO 1)
  • partiel no 3 : harmonique de rang 3 (≈SOL 1)
  • partiel no 4 : harmonique de rang 4 (=DO 2)
  • partiel no 5 : harmonique de rang 5 (tierce pure, proche de MI 2)
  • partiel no 6 : harmonique de rang 6 (≈SOL 2)
  • partiel no 7 : harmonique de rang 7 (ressemble à un Si♭ 2)
  • partiel no 8 : harmonique de rang 8 (=DO 3)
  • partiel no 9 : harmonique de rang 9 (très proche de RE 3)
  • partiel no 10 : harmonique de rang 10 (tierce pure, proche de MI 3)
  • partiel no 11 : harmonique de rang 11 (à mi-chemin entre Fa et Fa#)
  • partiel no 12 : harmonique de rang 12 (≈SOL 3)
  • partiel no 13 : harmonique de rang 13 (à mi-chemin entre Sol# et La)
  • partiel no 14 : harmonique de rang 14 (ressemble à un Si♭ 3)
  • partiel no 15 : harmonique de rang 15 (ressemble à un Si 3)
  • partiel no 16 : harmonique de rang 16 (=DO 4)

etc.

Les noms des notes ci-dessus correspondent aux hauteurs définies dans la gamme tempérée. Comme on le voit, la note SOL est un harmonique de la note DO, mais pas de celle qui la précède dans son octave : DO 0 pour SOL 1, DO 1 pour SOL 2 etc. Donc l'intervalle de quinte (rapport 3/2) relie deux notes — DO 1 et SOL 1 par exemple — dont la plus aiguë n'est pas un harmonique de la plus grave ; cependant les deux sont des harmoniques d'une même troisième note plus grave. C'est donc par un abus de langage, qu'autorise le principe de l'équivalence des octaves, que l'on peut énoncer que SOL est un harmonique de DO. C'est aussi par commodité que, de même, on considérera dans ce qui suit comme en rapport harmonique des sons dont les fréquences relatives sont en rapport rationnel l'une par rapport à l'autre : il existe alors une note suffisamment grave (mais peut-être inaudible !) dont elles sont toutes deux de vrais partiels.

Les intervalles purement harmoniques sont ceux pour lesquels le rapport de fréquence est un nombre entier. Les relations élémentaires sont celles qui s'entendent facilement dans les premiers harmoniques produits par un instrument à cordes ou un cuivre. Ces intervalles se définissent progressivement à partir de la note fondamentale par des rapports de plus en plus complexes:

  • L'octave (multiplication ou division par deux) ;
  • La quinte et son intervalle complémentaire la quarte (multiplication ou division par trois) ;
  • La tierce et son complémentaire la sixte (multiplication ou division par cinq).

L'intervalle suivant, septième ou seconde (multiplication ou division par sept) paraît un peu faux à l'oreille, et le nombre premier suivant (multiplication ou division par onze) tombe exactement à mi-chemin entre la quarte et la quarte augmentée.

Complexité d'un intervalle naturel

Les intervalles harmoniques sont d'autant plus évidents à l'oreille que le facteur de multiplication ou de division est un facteur premier petit. Exemple: Un rapport de quinte (3/2) est plus simple qu'un rapport de tierce (5/4).

En pratique, l'oreille tend à assimiler les intervalles à des rapports de faible complexité. De ce fait, la totalité des intervalles usuellement considérés comme consonant peuvent être restitués par des facteurs qui ne font intervenir que 2, 3 et 5,... certains considèrent aussi le facteur 7 comme consonant (notamment les amateurs de la gamme par tons de Debussy... gamme qui, même tempérée, met en valeur, et fait "sentir" des intervalles comme 7/5 voire 7/4 ), et le facteur 11 est d'une complexité beaucoup plus grande et très rarement utilisé en harmonie.

Intervalles harmoniques[modifier | modifier le code]

En répétant ces intervalles élémentaires qui correspondent à des facteurs 2, 3 et 5 (et éventuellement 7), et en privilégiant systématiquement les rapports de complexité faible, on peut obtenir un certain nombre d'intervalles, pythagoriciens (quintes et quartes), et autres intervalles naturels - essentiellement construits sur la tierce et la sixte (en pratique occidentale, les multiples de 7 sont peu utilisés, il le sont surtout par des théoriciens arabes. Les multiples de 11 sont encore moins utilisés, uniquement par certains rares compositeurs contemporains).

Note: Le tempérament égal donne des quintes et des quartes presque pures (à 2 cent près), mais des tierces trop hautes (donc trop "dures" ou "brillantes") par rapport à l'harmonique, et au contraire des sixtes trop basses (trop "sourdes" ou "ternes").

La construction d'une gamme naturelle[modifier | modifier le code]

  • La quinte et la quarte :

L'harmonique le plus simple, la quinte (intervalle DO - SOL, rapport de fréquences = 3/2) est la base de l'accord pythagoricien qui est très ancienne et probablement à l'origine de notre division de l'octave en sept notes : DO – RE – MI – FA – SOL – LA – SI. La quinte a pour intervalle complémentaire la quarte (intervalle SOL – DO dont on déduit l'intervalle DO – FA, rapport de fréquences = 4/3).

L'octave, la quinte et la quarte ont donc des rapports de fréquence qui sont tous de la forme (n+1)/n - n étant un nombre entier.

  • La seconde (majeure) :

L'intervalle qui sépare la quarte et la quinte est le ton ou seconde majeure (intervalle FA - SOL dont on déduit l'intervalle DO - RE, rapport de fréquences = (3/2)/(4/3), soit 9/8) : on remarque qu'il est de la même forme (n+1)/n.

  • La tierce majeure :

La méthode de Pythagore produit un intervalle de tierce qui sonne relativement faux (rapport de fréquences 81/64), d'où l'idée de lui substituer un intervalle de la forme (n+1)/n qui en soit très proche, soit 5/4 - la tierce majeure « pure ». Ainsi détermine-t-on MI par l'intervalle DO - MI valant 5/4.

L'écart entre ces deux intervalles est le comma syntonique (voir plus bas) ; sa valeur est égale à leur rapport algébrique : (81/64)/(5/4) = 81/80, soit 1,0125, légèrement inférieure au comma pythagoricien.

  • La sixte :

Partant de cette nouvelle tierce majeure, on en déduit directement l'intervalle de sixte majeure, juxtaposition d'une quarte et d'une tierce majeure : (intervalle DO – LA, rapport de fréquences = 4/3 x 5/4 soit 5/3 ).

  • La septième :

L'intervalle de septième est la juxtaposition d'une quinte et d'une tierce majeure (intervalle DO – SI, rapport de fréquences = 3/2 x 5/4 soit 15/8).

Nous avons ainsi déterminé les sept notes de la gamme diatonique.

  • La tierce mineure :

L'intervalle entre la tierce majeure et la quinte se calcule par le rapport (3/2)/(5/4)=6/5. Cet intervalle est nommé tierce mineure. Ainsi l'intervalle de quinte est-il la juxtaposition d'une tierce majeure et d'une tierce mineure.

Ces deux intervalles vont jouer un rôle de premier plan, avec l'octave et la quinte, dans la construction des gammes naturelles.

La construction des gammes dites « naturelles » consiste donc à diviser l'octave, de la manière la plus "régulière" possible, en utilisant pour intervalles les rapports rationnels (au sens mathématique de ce terme) simples.

Les nombres sept (notes diatoniques) et douze (notes chromatiques) dégagés par la gamme de Pythagore — chronologiquement la première théorie consistante de division de l'octave — ont été de façon plus ou moins consciente des nombres à retrouver dans l'établissement des gammes naturelles : le hasard y a effectivement pourvu...


Gioseffo Zarlino (15171590) élabore une des multiples gammes naturelles possibles en reconnaissant une place importante à l'intervalle de tierce « pure ».

Pour construire la gamme de Zarlino, nous allons exprimer les intervalles recherchés en fonction « pythagoricienne » de la tierce majeure puis appliquerons la formule obtenue à la tierce majeure « pure » (5/4).

Nous disposons déjà des intervalles, notes et rapports suivants
intervalle note rapport suivant
Fondamentale DO 1
Ton majeur 9/8
Tierce mineure MI♭ 6/5
Tierce majeure MI 5/4
Quarte FA 4/3
Quinte SOL 3/2
Sixte (majeure) LA 5/3
Septième (majeure) SI 15/8
Octave DO 2


Nous avons vu que la seconde majeure vaut 9/8. Sachant que la tierce majeure vaut 5/4, l'écart entre ces deux intervalles vaut : (5/4)/(9/8)=10/9. Zarlino considère donc que la tierce correspond à la juxtaposition de secondes (ou tons) de valeurs inégales (contrairement à Pythagore). Nous aurons donc un ton majeur de 9/8 (intervalle DO - RE) et un ton mineur, légèrement plus petit, valant 10/9 (intervalle RE - MI).

Les autres intervalles se calculent (de façon analogue à Pythagore mais avec les rapports calculés ci-dessus), à base de juxtapositions et de calculs d'écarts entre tierces majeures (T = 5/4), quintes (Q=3/2) et octaves (O=2). Nous traiterons, à titre d'illustration, les notes DO♯ et RE♯, avec un symbolisme simplifié que l'on interprétera aisément :

DO♯ : écart entre deux tierces et une quinte : 2T-Q d'où DO♯(Z) = 25/24
RE♯ : 2T + Q - O = 75/64

etc.

Ensemble des intervalles, notes et rapports de la gamme de Zarlino
intervalle note rapports de la
gamme de Zarlino
Fondamentale DO 1
Demi-ton chromatique DO♯ 25/24
Demi-ton diatonique RÉ♭ 16/15
Ton majeur 9/8
Seconde augmentée RÉ♯ 75/64
Tierce mineure MI♭ 6/5
Tierce majeure MI 5/4
Tierce augmentée MI♯ 125/96
Quarte diminuée FA♭ 32/25
Quarte FA 4/3
Quarte augmentée FA♯ 45/32
Quinte diminuée SOL♭ 64/45
Quinte SOL 3/2
Quinte augmentée SOL♯ 25/16
Sixte mineure LA♭ 8/5
Sixte majeure LA 5/3
Sixte augmentée LA♯ 225/128
Septième mineure SI♭ 9/5
Septième majeure SI 15/8
Septième augmentée SI♯ 125/64
Octave diminuée DO♭ 48/25
Octave DO 2


Certaines notes, qui peuvent paraître inutiles (exemples : MI♯, DO♭ etc.) trouvent leur utilisation dans l'élaboration des modes musicaux et pour la modulation.

La gamme de Zarlino n'est pas la seule gamme « naturelle » envisageable : par exemple, Zarlino n'a pas inclus, dans sa gamme, de rapports harmoniques comportant le chiffre 7 (premier nombre premier après 2, 3 et 5), car à son époque, on commençait seulement à s'intéresser physiquement à la justesse des tierces. Pour exemple, un FA♯ fondé sur le rapport 7/5 (soit 1,4) est un rapport harmonique beaucoup plus simple que les rapports approchant, déduits de Pythagore (729/512), et de Zarlino (45/32). Par la suite, d'autres théoriciens ont proposé leur propre système, sans qu'aucun puisse vraiment présenter d'avantages décisifs.

Après avoir déterminé ces intervalles, on peut vérifier les valeurs des différentes tierces et quintes de la gamme de Zarlino :

  • les tierces sont toutes justes (rapport de fréquences = 5/4) sauf la tierce SOL♭-SI♭ dont le rapport est 81/64, légèrement supérieur ;
  • les quintes sont justes (rapport de fréquences = 3/2) sauf trois d'entre elles (rapport 40/27) qui ne le sont pas (valeur inférieure) : RE-LA, FA♯-DO♯, SI♭-FA.

Par ailleurs, il faut se souvenir que dans cette gamme, il y a un ton majeur et un ton mineur de valeurs différentes. On appelle comma zarlinien l'intervalle entre ces deux tons : il vaut 81/80 soit 1,0125 ; c'est le comma syntonique.

Le comma syntonique

La succession des 7 intervalles constituant une octave est la suivante :

  1. ton majeur
  2. ton mineur
  3. 1/2 ton diatonique
  4. ton majeur
  5. ton mineur
  6. ton majeur
  7. 1/2 ton diatonique

Ce qui précède montre que la gamme de Zarlino ne peut être utilisée dans la pratique lorsqu'on doit transposer ou moduler.

Prenons l'exemple très simple de la transposition de do majeur à sol majeur. L'intervalle DO-RE dans la première tonalité a pour correspondant l'intervalle SOL-LA dans la seconde, or DO-RE est un ton majeur, et SOL-LA un ton mineur.

Les autres gammes naturelles ont des inconvénients analogues.

Comme pour la gamme de Pythagore, ces problèmes musicaux ont incité les théoriciens à envisager de nouveaux principes de division de l'octave.

Tableau de synthèse[modifier | modifier le code]

Note Intervalle
depuis Do
Fréquence f (Hz) Rapport
f/f_Do
Cents
depuis Do
Cents
(gamme tempérée)
Do Unisson 264,00 1/1 = 1 0 0
Do ♯ ½ ton chromatique 275,00 25/24 ≃ 1,042 71 100
Ré ♭ ½ ton diatonique 281,60 16/15 ≃ 1,067 112
Ré bas ton mineur 293,33 10/9 ≃ 1,111 182 200
ton majeur 297,00 9/8 = 1,125 204
Ré ♯ seconde augmentée 309,98 75/64 ≃ 1,172 275 300
Mi ♭ tierce mineure 316,80 6/5 = 1,2 316
Mi tierce majeure 330,00 5/4 = 1,25 386 400
Fa ♭ quarte diminuée 337,92 32/25 = 1,28 427
Mi ♯ tierce augmentée 343,75 125/96 ≃ 1,302 457 500
Fa quarte juste 352,00 4/3 ≃ 1,333 498
Fa ♯ quarte augmentée 371,25 45/32 ≃ 1,406 590 600
Sol ♭ quinte diminuée 375,47 64/45 ≃ 1,422 610
Sol quinte juste 396,00 3/2 = 1,5 702 700
Sol ♯ quinte augmentée 412,50 25/16 ≃ 1,563 773 800
La ♭ sixte mineure 422,40 8/5 = 1,6 814
La sixte majeure 440,00 5/3 ≃ 1,667 884 900
La ♯ sixte augmentée 464,06 225/128 ≃ 1,758 977 1000
Si ♭ septième mineure 475,20 9/5 = 1,8 1018
Si septième majeure 495,00 15/8 = 1,875 1088 1100
Do ♭ octave diminuée 506,88 48/25 = 1,92 1129
Si ♯ septième augmentée 515,63 125/64 ≃ 1,953 1159 1200
Do octave 528,00 2/1 = 2 1200

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Asselin 2000, p. 66
  2. Guiseppe Zarlino, Le istitutioni harmoniche, Venise, 1558, Livre II, chap. 39.
  3. Joseph Sauveur, Principes d’acoustique et de musique, Paris, 1701, p. 5
  4. Hermann von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, 4e éd., Brunswick, 1877, p. 449
  5. Mark Lindley, "Fifteenth-Century Evidence for Meantone Temperament", Proceedings of the Royal Musical Association 102/1 (1975), p. 37-51.
  6. La division s'obtient en multipliant le rapport par 2 et en insérant le moyen terme. Les intervalles de quinte, quarte et tierces justes correspondent aux rapports numériques les plus simples; ils sont souvent appelés aujourd'hui «intervalles purs», mais la dénomination «juste» est historiquement plus justifiée.
  7. Anton Bruckner, Vorlesungen über Harmonielehre und Kontrapunkt an der Universität Wien, E. Schwanzara ed., Vienne, Österreichischer Bundesverlag, 1950, p. 134.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie et sources[modifier | modifier le code]

  • Devie Dominique : Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
  • Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
  • Heiner Ruland, "Évolution de la musique et de la conscience - Approche pratique des systèmes musicaux", ÉAR, Genève 2005, (ISBN 2-88189-173-X)
  • Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, no 2 (1965), p. 241-243 - doi:10.2307/927346.
  • Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
  • Edmond Costère : Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
  • Franck Jedrzejewski : Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
  • Guerino Mazzola : "The Topos Geometry of Musical Logic" (dans Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, p. 199-213).
  • Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
  • François Nicolas : "Quand l’algèbre mathématique aide à penser (et pas seulement à calculer) la combinatoire musicale", Séminaire, Ircam, février 2003 (disponible en ligne à l’adresse : http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/TextesNic/mamux.html).
  • E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.
  • Pierre-Yves Asselin, Musique et tempérament, Éditions JOBERT,‎ 2000, 236 p. (ISBN 2-905335-00-9)