Gamme naturelle

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La «gamme naturelle» ou «gamme des physiciens» est une gamme, ou un système d'accord, obtenue par des combinaisons d'intervalles purs (dits « naturels »)[1], en particulier de quintes et de tierces pures, dont les rapports de fréquence par rapport à la fondamentale correspondent à des fractions simples, qui à l'oreille sonnent « juste ». Contrairement à la gamme de Pythagore, qui se fonde uniquement sur des cycles de quintes et des fractions comportant des puissances de deux et de trois, la gamme naturelle s'appuie également sur des cycles de tierces juste, et ses fractions comprennent également des puissances de cinq.

Cette échelle a été décrite par Gioseffo Zarlino[2], par Joseph Sauveur[3], par Hermann von Helmholtz[4], etc.

La contrainte imposant des fractions simples sur les rapports de fréquences par rapport à une note fondamentale ne peut pas être respectée par des instruments réglés sur cette gamme, quand ils changent de fondamentale et jouent une pièce transposée. Cette contrainte conduit notamment à distinguer, dans les altérations induites par des transpositions, entre la valeur d'un dièse et d'un bémol, voire entre la valeur d'un ton majeur ou mineur. Dans ce sens, la gamme naturelle est l'antithèse de la gamme tempérée, qui au contraire est construite pour être neutre par rapport à toute transposition, et pour laquelle les intervalles ne dépendent jamais de la note de départ.

Histoire[modifier | modifier le code]

Pendant tout le Moyen Âge, le seul système musical décrit en théorie est le système pythagoricien, en chaînes de quintes justes provoquant des tierces majeures relativement trop grandes et des tierces mineures trop petites. Il est difficile de savoir dans quelle mesure ce système était réellement utilisé en pratique.

La première évocation d'une gamme naturelle semble avoir été faite par Walter Odington, vers 1300, dans sa discussion de la justesse de la tierce majeure. L'école de l'ars subtilior intégra cette conception de la tierce dans sa conception de l'accord de trois notes ; et Bartolomé Ramos de Pareja repris cette avancée musicale dans son traité de 1482 sur le monocorde[5]. Cette idée d'une gamme naturelle fut ensuite plus largement diffusée par le traité de Lodovico Foglianos Musica Theorica (1529)[6].

En parallèle, dès le début du XVe siècle, plusieurs textes décrivent un procédé "pythagoricien" pour produire des tierces plus justes: il faut prolonger la chaîne des quintes justes vers les bémols, puis utiliser des notes telles que lab, b ou solb par enharmonie, respectivement comme sol#, do# ou fa#. Ces notes permettent alors d'excellentes approximations des tierces mi–sol#, la–do# ou ré–fa#[7].

Ces procédés donnent naissance au XVIe siècle à deux types de descriptions des systèmes: d'une part les tempéraments mésotoniques, qui diminuent (qui "tempèrent") les quintes de la chaîne pour produire des tierces plus justes, d'autre part des descriptions plus théoriques combinant les tierces justes avec les quintes justes.

Le speculum musicae d'Euler, dans De harmoniae veris principiis, 1774. Pour une autre version, voir Tonnetz sur Wikipedia anglais

Vers la deuxième moitié du XVIe siècle, Gioseffo Zarlino propose une construction par divisions successives: l'octave peut être divisée par la quarte et la quinte justes ; la quinte peut être divisée par la tierce mineure et la tierce majeure justes ; la tierce majeure se divise entre le ton mineur et le ton majeur.

Ce système a été diversement décrit ensuite comme système (ou gamme) «de Zarlino», «naturel(le)», «juste», «des physiciens», etc. Les physiciens en effet l'ont souvent décrit, parce qu'il paraît fondé sur la définition même des intervalles consonants: octave, quinte (et quarte), tierces majeure et mineure :

« La physique moderne a généralisé la loi de Pythagore, en l'étendant des longueurs de cordes aux nombres de vibrations, et la rendant applicable aux sons de tous les instruments ; on a trouvé aussi, pour les consonnances moins parfaites des tierces, des rapports numériques simples, les rapports de 4 à 5, de 5 à 6. »[8]

Leonhard Euler, en particulier, en a proposé une présentation graphique remarquable, le speculum musicae, qui a donné naissance à un réseau souvent utilisé en théorie musicale, le Tonnetz («réseau tonal»). Comme le montre la transcription ci-contre, les notes sont alignées verticalement en quintes, horizontalement en tierces majeures. Euler a fait usage de cette figure notamment pour montrer que chacune des lignes horizontales est à un comma de distance de la précédente: si on ajoutait La à droite (et à la quinte) de sur la première ligne, il serait un comma plus haut que La de la deuxième ligne, à la tierce majeure de Fa.

Le Tonnetz toroïdal

Le Speculum musicae d'Euler, sous la forme du Tonnetz tel qu'il est utilisé aujourd'hui en théorie musicale, notamment en théorie néo-riemannienne, est pensé au tempérament égal. Dans ce cas, chacune des colonnes du réseau d'Euler boucle sur elle-même: Do# par exemple, au bas de la première colonne, est aussi sous la forme b la tierce majeure de Fa en haut de cette même colonne. Les lignes de même bouclent après douze quintes. Le réseau entier devient alors toroïdal, comme dans la figure ci-contre où les lignes bleues indiquent les relations de quintes, les rouges celles de tierces majeures et les vertes celles de tierce mineure.

Utilisation de la gamme naturelle[modifier | modifier le code]

L'intonation juste est le projet de jouer la musique avec tous les intervalles «justes» (ou «purs»), c'est-à-dire correspondant à des rapports simples (ou à des harmoniques). La gamme naturelle correspond à un idéal de justesse pour les ensembles de chant, et les instruments qui n'ont pas d'accord fixe comme la famille des cordes (ou d'autres plus exotiques comme le trombone à coulisse ou la scie musicale).

Dans les écoles de chant chorale, on insiste depuis maintenant près de cinq cent ans sur la différence qu'il y a entre les différents demi-tons, et comment obtenir un accord le plus parfait possible. Ces indications de « légèrement plus haut » ou « un peu plus bas » correspondent exactement à ce que décrit la gamme naturelle : pour sonner juste, la tierce majeure doit être de 14 cents en-dessous de sa valeur tempérée, qui la joue trop « brillante » ; et la sixte doit être remontée de 16 cents par rapport à la gamme tempérée où elle est trop « sombre ».

Approche harmonique[modifier | modifier le code]

Consonnances harmoniques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Harmoniques.
Fichier audio
Comparaison d'un accord majeur en gamme naturelle et en gamme tempérée, avec un signal carré. (info)
Le premier accord est en gamme tempérée, le second en gamme naturelle, le troisième effectue une transition continue entre gamme tempérée et gamme naturelle. Avec le signal carré, on peut nettement entendre (au-delà du crachotement exécrable du signal carré) un léger battement de quelques hertz sur l'accord tempéré, qui disparaît avec l'accord naturel.

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La consonance d'un intervalle est indirectement liée à la simplicité du rapport harmonique en raison de la concordance entre les séries harmoniques des deux sons. Pour un intervalle de quinte, par exemple, le rapport est 3:2; on vérifie aisément qu'un son harmonique sur trois de la série du son le plus grave est en concordance avec un son harmonique sur deux de la série du plus aigu :

Do2   2   4   6   8   10   12   14   16   18   20   22   24   26   28   30   etc.
Sol2     3     6     9     12     15     18     21     24     27     30   etc.

Pour un rapport de tierce (5:4), un son harmonique sur cinq du son le plus grave est en concordance avec un sur quatre du plus aigu, etc. La perception de consonance, contrairement à une idée répandue, ne dépend pas du rapport entre les fondamentales des sons considérés, mais bien de la concordance entre les séries harmoniques de chacun des deux sons. Ce n'est que parce que la concordance entre les séries harmoniques est analogue au rapport entre les fondamentales que l'on peut considérer que le niveau de consonance correspond au niveau de simplicité du rapport.

Cette coïncidence des harmoniques peut être volontairement renforcée et mise en évidence par des chanteurs pratiquant le chant diphonique. C'est pour cette raison que dans la paghjella corse on peut parfois avoir l'impression d'une quatrième voix flottant au-dessus des voix d'hommes. Si un groupe par exemple prolonge l'émission d'un accord majeur (Do0-Mi0-Sol0), le chanteur bassu peut par exemple renforcer et stabiliser son harmonique cinq (Do0x5=Mi2) et le terza son harmonique quatre (Mi0x4=Mi2) pour créer l'impression d'un Mi aigu deux deux octaves au-dessus de la mélodie - ou toute autre combinaison. Un tel harmonique commun, quand il est effectivement renforcé, est alors perçu par l'auditeur comme une note assez pure, semblable à un très léger effet Larsen, et d'autant plus perceptible que les harmoniques communes renforcées ne sont pas les notes de l'accord initial. Dans ce cas, l'accord Do-Mi est « juste » quand il produit cet effet, c'est à dire que les harmoniques sont effectivement en unisson, et donc que le rapport de fréquence entre le Do du bassu et le Mi du terza est exactement de 4/5.

Sans pratiquer le chant diphonique, ce même renforcement d'harmoniques communs peut être obtenu par un chœur prolongeant un accord juste ; mais faute de stabiliser l'émission renforcée d'harmoniques, les renforcements mutuels sont alors aléatoires, beaucoup plus brefs et de combinaisons changeantes, donnant une impression de scintillement et de richesse dans l'accord obtenu.

Mais ces effets ne peuvent apparaître que si les voix de base sont dans un rapport de fréquence simple, c'est à dire si le chant suit une gamme naturelle, et si l'accord des chanteurs est particulièrement juste.

Intervalles harmoniques[modifier | modifier le code]

Fichier audio
Harmoniques naturels de rangs 2, 3, 4, 5 et 6, joués sur la corde de LA d'un violon (info)

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Les intervalles purement harmoniques sont ceux pour lesquels le rapport de fréquence est celui de deux petits nombres entiers ; ce sont ces intervalles qui apparaissent les premiers dans la série harmonique :

  • du premier au second harmonique il y a un intervalle d'une octave (do0-do1), correspondant au rapport 2:1 ;
  • du second au troisième il y a une quinte (do1-sol1), correspondant au rapport 3:2 ;
  • du troisième au quatrième une quarte (sol1-do2), correspondant au rapport 4:3 ;
  • du quatrième au cinquième une tierce majeure (do2-mi2), correspondant au rapport 5:4 ;
  • du troisième au cinquième une sixte (sol1-mi2), correspondant au rapport 5:3 ;
  • du cinquième au sixième il y a une tierce mineure (mi2-sol2), correspondant au rapport 6:5.

L'intervalle suivant, septième ou seconde (multiplication ou division par sept, 7:4 ou 8:7) ne correspond pas à l'usage musical habituel, qui veut que la septième (mineure dans ce cas) soit à la tierce mineure de la quinte; la septième dite parfois «naturelle», celle de l'harmonique 7, est 0,3 demi-tons trop bas (30 cents). De même l'harmonique 11 ne produit aucun intervalle usité en musique : il tombe exactement à mi-chemin entre la quarte et la quarte augmentée. Ce sont ces deux notes qui font paraître un peu faux les airs de cor de chasse.

« Bien que la série des harmoniques contienne implicitement tous les intervalles utilisables en musique, la plupart sont surtout un rapport entre harmoniques et non avec le son fondamental. Ils ne constituent pas à proprement parler une gamme musicale. Ainsi le ton majeur (Ut Ré = 9/8) est-il le rapport du huitième au neuvième harmonique, le ton mineur (Ré Mi = 10/9) le rapport du neuvième au dixième harmonique, le demi ton mineur (25/24) est le rapport du vingt-quatrième au vingt-cinquième harmonique, etc. »[9]

L'ensemble des intervalles usuellement considérés comme consonant peut être restitués par des facteurs qui ne font intervenir que 2, 3 et 5,... certains considèrent aussi le facteur 7 comme consonant, produisant la septième dite «naturelle». Il serait faux par contre de considérer que la gamme par ton implique l'harmonique 7, puisqu'elle est fondée par définition sur des intervalles égaux valant chacun un sixième d'octave, soit 2 4 6 8 10 12 demi-tons, alors que la septième «naturelle» vaut approximativement 9,7 demi-tons.

En répétant les intervalles élémentaires correspondant aux facteurs 2, 3 et 5 (et éventuellement 7), et en privilégiant systématiquement les rapports simples, on obtient un certain nombre d'intervalles «naturels» - essentiellement construits sur la quinte, la quarte, la tierce et la sixte.

Construction de la gamme naturelle[modifier | modifier le code]

A partir de ces six premier harmoniques et des intervalles justes qu'ils définissent, il est possible de construire de proche en proche une gamme naturelle. Après le rapport d'octave (2/1), l'harmonie la plus simple est le rapport de quinte (3/2) et son intervalle complémentaire la quarte (4/3). C'est ce rapport harmonique qui est à la base de l'accord pythagoricien, qui est très ancienne et probablement à l'origine de notre division de l'octave en sept notes : DO – RE – MI – FA – SOL – LA – SI. La cinquième harmonique conduit aux intervalles consonnants de tierce majeure (5/4) et de sixte (5/3) ; et la sixième harmonique permet d'introduire facilement la tierce mineure.

La gamme naturelle est formée à ce stade par les notes suivantes, qui suffisent à construire des mélodies simples :

intervalle note rapport au Do écart au tempérament égal (cent) rapport à la note précédente
Fondamentale DO 1 - -
Tierce mineure MIb 6/5 +16 (6/5)
Tierce majeure MI 5/4 -14 demi-ton 25/24
Quarte FA 4/3 -2 demi-ton 16/15
Quinte SOL 3/2 +2 ton 9/8
Sixte (majeure) LA 5/3 -16 ton 10/9
Octave DO 2 - (6/5)

On voit dès ce stade que pour que les notes soient justes en terme de rapport de fréquence, les intervalles entre notes successives ne sont alors pas égaux. L'écart Fa-Sol est un « ton majeur » de 9/8, tandis que l'écart Sol-La est un « ton mineur » légèrement plus petit de 10/9. L'écart entre ces deux intervalles est le comma syntonique (voir plus bas) ; sa valeur est égale à leur rapport algébrique : (81/64)/(5/4) = 81/80, soit 1,0125, légèrement inférieure au comma pythagoricien. De même, l'écart entre Mib et Mi est de 25/24, un « demi-ton chromatique », alors que celui entre Mi et Fa est de 16/15, un « demi-ton diatonique » ; l'écart entre ces deux demi-tons étant de 128/125, soit un « comma enharmonique ».

La conséquence de cette différence est que si un instrument est correctement accordé sur une gamme naturelle, par exemple en « Do » comme ci-dessus, il n'est pas possible d'y jouer un air transposé : partant d'une autre note les intervalles s'écarteront de quelques commas de leur valeur naturelle et sonneront faux. Le tempérament égal répond à la logique inverse de la gamme naturelle : pour rester totalement neutre par rapport aux transpositions, il donne des quintes et des quartes presque pures (à 2 cent près), mais des tierces et des sixtes trop hautes (donc trop "dures" ou "brillantes") par rapport à l'harmonique, et au contraire des tierces mineures trop basses (trop "sourdes" ou "ternes").

Ces écarts doivent être cependant relativisés. La capacité de l'oreille musicale à discriminer des écarts d'harmonie est de l'ordre du comma, soit une dizaine de cent. Les écarts donnés ci-dessus pour les tierces et la sixte sont donc à la limite de l'audible, d'où les qualificatifs très subjectifs de « terne » ou « brillant » auxquels ils sont associés. En revanche, pour la quarte et la quinte, l'écart de deux cents entre les notes tempérées et les notes naturelles n'est pas audible par lui-même ; il ne peut être détecté qu'en prêtant attention aux légers battements qu'ils induisent dans les accords, quand ces accords sont stables, prolongés, et dans un environnement par ailleurs silencieux.

Articles détaillés : Comma (musicologie) et Cent et savart.

Modulations en gamme naturelle[modifier | modifier le code]

NB: Dans toute la discussion qui suit, le Do ne correspond pas à une fréquence particulière, mais constitue une référence arbitraire, par rapport à laquelle les autres notes sont définies par des fractions simples (rapports de fréquence).

Tons et demi-tons intermédiaires[modifier | modifier le code]

Pour couvrir l'ensemble des demi-tons de la gamme classique, il suffit de transposer les intervalles précédents par les notes de la gamme déjà trouvées, ce qui musicalement permet de moduler les mélodies dans les tonalités correspondantes. Ceci donne:

intervalle x 3/2 x 4/3 x 5/4 x 5/3
Gamme Do Sol Fa Mi La
Unisson 1/1 = Do 3/2 = Sol 4/3 = Fa 5/4 = Mi 5/3 = La
Tierce m 6/5 = Mib 9/10 = Sib 8/5 = Lab 3/2 = Sol 2/1 = Do
Tierce M 5/4 = Mi 15/8 = Si 5/3 = La 25/16 = Sol# 25/24=Do#
Quarte 4/3 = Fa 2/1 = Do 16/9 = Sib 5/3 = La 10/9 = Ré
Quinte 3/2 = Sol 9/8 = Ré 2/1 = Do 15/8 = Si 5/4 = Mi
Sixte 5/3 = La 5/4 = Mi 10/9 = Ré 25/24 = Do# 25/18 = Fa#

On retrouve sur ce tableau la difficulté signalée pour la transposition : le Ré ne peut pas être le même suivant qu'il est considéré comme la quinte du Sol (9/8) ou comme la sixte du Fa (10/9). De même, le Lab n'est pas le même suivant qu'il est à la tierce mineure du Fa (8/5) ou à la tierce majeure du Mi (25/16), et le Sib suivant qu'il est à la tierce mineure du Sol (9/10) ou à la quarte du Fa (16/9).

Le choix du demi-ton à retenir dépend du type d'harmonie dans laquelle la gamme sera utilisée.

Gamme majeure[modifier | modifier le code]

A ce stade, la gamme se présente ainsi :

Note Do Do# Mib Mi Fa Fa# Sol Sol# Lab La La# Sib Si
Rapport de fréquence 1/1 25/24 10/9 9/8 6/5 5/4 4/3 25/18 3/2 25/16 8/5 5/3 16/9 9/5 15/8
Écart au tempérament égal (cent) 0 -29 -18 4 16 -14 -2 -31 2 -27 14 -16 -4 18 12

Si l'on utilise la gamme précédente pour une pièce polyphonique arbitrairement écrite en Do majeur, on voit que les principaux accords utiliseront des tierces et quintes naturelles et par conséquent sonnent juste : Do majeur par définition, Fa et Sol par construction (à condition de prendre le Ré 9/8 à la quinte du Sol, donc le ton majeur), mais également La mineur (La-Do-Mi), La majeur (La-Do#-Mi) et Mi mineur (Mi-Sol-Si) ou majeur. Les considérations harmoniques imposent ensuite le choix des valeurs pour lesquelles deux constructions sont envisageables:

  • Pour que les accords de Mi7 (transition vers La mineur) sonnent juste il faut retenir le Sol dièse à 25/16 ;
  • Pour que les transitions de Do7 vers Fa sonnent juste il faut retenir un Si bémol à la quarte du Fa, soit 16/9.

Avec ces choix, la gamme naturelle devient :

Note Do Do# Mib Mi Fa Fa# Sol Sol# La Sib Si
Rapport de fréquence 1/1 25/24 9/8 6/5 5/4 4/3 25/18 3/2 25/16 5/3 16/9 15/8
Écart (cent) 0 -29 4 16 -14 -2 -31 2 -27 -16 -4 12

Sur une telle gamme, toutes les harmonisations sur des accords simples sonneront juste et se feront sans difficultés particulières - sauf sur les passages en Ré (majeur ou mineur).

Gamme mineure[modifier | modifier le code]

Le mode mineur s’obtient en démarrant la gamme précédente à partir du La, pris comme nouvelle référence de fréquence :

Note La La# Sib Si Do Do# Mib Mi Fa Fa# Sol Sol# Lab
Rapport par rapport à Do 5/6 8/9 9/10 15/16 1/1 25/24 10/9 9/8 6/5 5/4 4/3 25/18 3/2 25/16 8/5
Rapport par rapport à La (x6/5) 1/1 16/15 27/25 9/8 6/5 5/4 4/3 27/20 36/25 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8 48/25
Écart au tempérament égal (cent) 0 12 34 28 0 -13 -2 20 32 2 14 -17 18 -11 30

De même que précédemment :

  • Pour que les transitions de Do7 vers Fa sonnent juste il faut retenir un Si bémol à la quarte du Fa, soit 16/15.
  • Pour que les accords de Mi7 (transition vers La mineur) sonnent juste il faut retenir le Sol dièse à 25/16 par rapport au Do, donc à 15/8 par rapport au La ;

La différence est que ici, l'accord à privilégier par rapport au La mineur est l'accord de Ré mineur, qui doit démarrer à la quarte (donc à 4/3), imposant cette fois-ci le choix du « Ré 10/9 » en Do, un comma plus bas que celui de la gamme de Do majeur[10].

Avec ces choix, la gamme naturelle mineure est :

Note La Sib Si Do Do# Mib Mi Fa Fa# Sol Lab
Rapport par rapport à La 1/1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 36/25 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8
Écart au tempérament égal (cent) 0 12 28 0 -13 -2 32 2 14 -17 18 -11

Le principal point à retenir est que pour la gamme naturelle, le passage de Do majeur en La mineur entraîne une légère altération du Ré, qui baisse d'un comma et passe d'un ton majeur à un ton mineur par rapport au Do.

L'autre point à noter est que contrairement à la gamme majeure, où la sixte est encadrée par deux demi-ton décrits par des fractions complexes et donc peu harmoniques, ici la sixte diminuée et la septième diminuée correspondent également à des rapports peu complexes, respectivement 8/6 et 9/5. Cette indifférence de la sixte explique les trois formes du mode mineur.

Difficultés de modulation[modifier | modifier le code]

Dans une tonalité de Do, les accords de Ré (majeur ou mineur) ne peuvent sonner juste que s'il s'appuie sur le ton mineur (Ré 10/9). De ce fait, un instrument accordé en Do sur une gamme naturelle ne pourra pas faire sonner juste un accord de Ré, d'où la remarque de Anton Bruckner, qui pensait que la musique se pratiquait en système naturel, enseignait à Vienne que «nous savons qu'il n'y a pas de quinte juste sur le 2e degré: il s'agit chez nous de La que nous devrons préparer et résoudre»[11]. Le La, tierce de Fa, est en effet théoriquement un comma trop bas pour servir à l'accord de mineur. Mais cette difficulté n'en est pas une pour le chant, ou pour les instruments à cordes, où la note peut être ajustée dynamiquement d'un comma en fonction de son contexte harmonique.

Les accords et enchaînements plus complexes peuvent cependant entraîner des difficultés d'exécution. Ainsi, par exemple, un accord de Fa sixième (ou de Ré mineur septième) doit faire sonner le Ré propre de la tonalité de Fa, donc à 10/9 ; mais si cet accord se résout sur un Sol, le Ré doit changer de timbre, et monter d'un comma pour se replacer à 9/8, afin d'être correct par rapport au Sol. De tels ajustements peuvent être perturbants en chant choral, quand une voix reste sur la « même note » dans un enchaînement harmonique, mais doit néanmoins subir une hausse d'un comma pour continuer à sonner juste.

Dans une cadence préparée par un accord du quatrième degré (de type I - IV - V - I), on rencontre également une difficulté liée au Ré. Le passage de Do majeur à Fa majeur ne présente pas de difficulté de justesse, le Do étant un pivot fixe dans la transition harmonique ; de même que pour le passage final de Sol à Do, articulé sur le Sol. En revanche, à partir de l'accord de Fa majeur, la transition vers un Sol majeur est problématique : par rapport à une tonique qui est à présent passée sur le Fa, il faut normalement passer de la tonique à sa seconde, de la tierce à la quarte augmentée, et de la quinte à la sixte. Mais dans une gamme naturelle, du fait des deux valeurs possibles pour le ton, ces enchaînements peuvent se faire de différentes manières :

Note initiale Fréquence Note visée Fréquence/Fa Fréquence / Do Montée Résultat
Do 2/1 Sixte (nat.) à 5/3 4/3 x 5/3 20/9 10/9=Ton mineur Trop bas de 81/80
Do 2/1 Sixte (Pyth.) à 27/16 4/3 x 27/16 9/4 9/8=Ton majeur Ré juste
La 5/3 Quarte augmentée 4/3 x 25/18 50/27 10/9=Ton mineur Trop bas
La 5/3 Quarte augmentée 4/3 x 36/25 48/25 144/125=?? Trop haut
Fa 4/3 Seconde 4/3 x 10/9 40/27 10/9=Ton mineur Trop bas
Fa 4/3 Seconde 4/3 x 9/8 3/2 9/8=Ton majeur Sol juste
Cadence en La majeur.

On voit sur ce tableau que, partant d'une tonalité de Fa :

  • Le passage de Do à Ré incite naturellement à ne monter la quinte que d'un ton mineur pour aboutir à un Ré 10/9, à la sixte juste du Fa, mais trop bas d'un comma par rapport à sa valeur théorique. Par rapport au Fa, le « Ré quinte du Sol » est à 9/4 : 4/3 = 27/16, qui correspond à la sixte pythagoricienne, de rapport plus complexe que la sixte naturelle à 5/3.
  • Le passage du La au Si tombe sur un triton et ne dispose pas de repère harmonique simple ; il peut donc également s’enchaîner sur la même valeur d’un ton mineur, de toute manière il sonnera discordant.
  • Et de son côté, le passage du Fa au Sol peut par lui-même se faire indifféremment en montant d'un ton majeur ou d'un ton mineur, avec une petite préférence pour le ton majeur ; mais pour que l'accord d'arrivée sonne juste, il faut que la quinte avec le Ré soit préservée par une montée en parallèle, donc ne pas avoir monté d'un ton majeur si la montée de la quinte s'est faitede son côté sur un ton mineur.

A cause de cette différence entre le Ré sixte du Fa (à 10/9) et le Ré quinte du Sol (à 9/8), la tendance naturelle sur un enchaînement d’accord de Fa vers Sol est donc de perdre un comma en Do majeur. A raison d'un comma par cadence, il suffit donc de huit ou neuf cadences pour perdre un ton en chant a capella. Pour articuler correctement la transition entre l’accord de Fa majeur et celui de Sol majeur dans la cadence, il faut au contraire monter les trois notes d’un ton majeur, et accepter que le Ré aigu (quinte du nouvel accord de Sol) soit trop haut d’un comma par rapport à la fondamentale précédente de Fa.

Construction théorique[modifier | modifier le code]

NB: Dans toute la discussion qui suit, le Do ne correspond pas à une fréquence particulière, mais constitue une référence arbitraire, par rapport à laquelle les autres notes sont définies par des fractions simples (rapports de fréquence).

Gamme de Zarlino[modifier | modifier le code]

Dérivation des sept premières notes de la gamme par trois accords parfaits.

Gioseffo Zarlino (15171590) élabore une des multiples gammes naturelles possibles en reconnaissant une place importante à l'intervalle de tierce « pure ». Lorsqu'il calcule les intervalles selon les préceptes de Ptolémée, c'est un système purement spéculatif et abstrait qu'il produit.[12] Il propose pour la division des intervalles simples non pas une approche fondée sur les harmoniques, mais une construction numérologique par divisions successives[13] :

  • L'octave, rapport 2:1, est divisée par la quinte (Do-Sol) et la quarte (Sol-Do), qui sont dans des rapports 4:3:2, c'est à dire que :
    \frac{2}{1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}, ou encore : l'octave (2/1) se trouve à une quarte (4/3) de la quinte (3/2).
  • De même, la quinte (Do-Sol), rapport 3:2, doit pouvoir être divisée par la tierce majeure (Do-Mi) et la tierce mineure (Mi-Sol), suivant les rapports 6:5:4 ;
  • Et la tierce majeure (Do-Mi), rapport 5:4, se divise elle-même entre le ton majeur (Do-Ré) et le ton mineur (Ré-Mi), suivant les rapports 10:9:8.

La gamme naturelle se construit en particulier de trois accords parfaits à distance de quinte juste, par exemple Fa–La–Do | Do–Mi–Sol | Sol–Si–Ré. Les fréquences des quintes y sont imposées à un rapport de 3/2 ; et celles des tierces majeures sont imposées à un rapport de 5/4.

Ces sept notes se succédant dans une octave forment alors la gamme suivante[14],[15],[16], la gamme diatonique de Ptolémée[17]:

Note Nom Do Mi Fa Sol La Si Do
Ratio 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1
Intervalle Nom   T t s T t T s  
Ratio 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
Description de sa gamme par Zarlino.

Les intervalles séparant les notes de cette gamme sont les trois briques de construction élémentaires suivantes :

  • 16:15 = s (demi-ton diatonique) ;
  • 10:9 = t (ton mineur) ;
  • 9:8 = T (ton majeur).

On appelle comma zarlinien l'intervalle entre ces deux tons : il vaut 81/80 soit 1,0125 ; c'est le comma syntonique.

Les accords consonnants peuvent alors s'analyser comme des combinaisons de ces éléments :

  • 6:5 = T+s (tierce mineure)
  • 5:4 = T+t (tierce majeure)
  • 4:3 = T+t+s (quarte juste)
  • 3:2 = T+T+t+s (quinte juste)
  • 2:1 = T+T+T+t+t+s+s (octave).

Dans cette gamme, toutes les tierces majeures sont justes, ainsi que deux des tierces mineures, mais on voit immédiatement que la tierce Ré-Fa est composée d'un demi-ton et d'un ton mineur, et est donc trop courte d'un comma. C’est une construction essentiellement théorique, qui a sans doute joué un rôle dans l’établissement des fonctions harmoniques (les accords ci-dessus forment la sous-dominante, la tonique et la dominante de do majeur), mais qui est peu utilisable en pratique parce que les accords autres que ceux qui ont servi à sa construction ne sont pas justes.

Demi-tons intermédiaires[modifier | modifier le code]

Pour construire le reste de la gamme de Zarlino, les sept notes précédents sont conventionnellement complétés d'une tierce majeure « pure » (5/4) ascendante et descendante, le Fa# étant à la tierce du Ré, le Mi bémol tierce descendante du Sol, et ainsi de suite ; et de même pour le Fa# ainsi créé à partir du Ré. Neuf nouvelles notes supplémentaires sont définies, dont quatre paires qui ne sont séparées que d'un comma enharmonique de 128/125 (l'intervalle entre trois tierces pures et une octave), soit 41 cent :

Facteur 1/3 1 3 9
25 note
ratio
Do #
25/24
Sol #
25/16
Ré #
75/64
La #
225/128
5 note
ratio
La
5/3
Mi
5/4
Si
15/8
Fa #
45/32
1 note
ratio
Fa
4/3
Do
1
Sol
3/2

9/8
1/5 note
ratio
Ré b
16/15
La b
8/5
Mi b
6/5
Si b
9/5

Ces doubles notes séparées par un comma suggèrent la construction de claviers à « feintes brisées », permettant de jouer à volonté le coma supérieur ou celui inférieur. Mais même ce système complexe ne permet pas de réaliser des transpositions correctes, qui deviennent rapidement inextricables.

Avec cette construction, le dièse a pour valeur 25/24 de la note qu'il altère, et le bémol a inversement pour valeur 24/25 de la note sur lequel il porte. De ce fait, la gamme de Zarlino a pour particularité de ne pas placer les dièses et bémols aux mêmes emplacements que dans la gamme de Pythagore[18] :

  • Pour la gamme de Pythagore, Réb = 2^8/3^5=1.0534 ; Do#=3^7/2^11=1.0679
  • Pour Zarlino, Do = 1, Do# = 25/24 = 1.0416, Réb = 27/25 = 1.0800, Ré = 9/8

Construction pythagoricienne[modifier | modifier le code]

On peut également construire cette gamme naturelle d'une manière similaire à celle de Pythagore, en autorisant également l'utilisation de puissances de cinq au lieu de se limiter à celles de deux et de trois. Cette construction plus géométrique conduit directement à la présentation suivante, de type tonnetz, mais si elle est intellectuellement plus séduisante, elle conduit à un résultat musicalement inférieur à celui de l'approche harmonique :

Facteur 1/9 1/3 1 3 9
5 note
ratio

10/9
La
5/3
Mi
5/4
Si
15/8
Fa #
45/32
1 note
ratio
Si b
16/9
Fa
4/3
Do
1
Sol
3/2

9/8
1/5 note
ratio
Sol b
64/45
Ré b
16/15
La b
8/5
Mi b
6/5
Si b
9/5

Critiques de la gamme naturelle[modifier | modifier le code]

Le problème de la transposition[modifier | modifier le code]

Illustration de Le istitutioni harmoniche, un clavier avec 19 touches par octave.

Par rapport à cette gamme de sept notes, les transpositions successives introduisent normalement des dièses et bémols dans l'armature des différentes transpositions, et cette introduction a en première approche la même signification : le dièse fait monter la note d'un demi-ton, le bémol la baisse d'un demi-ton. Mais dans le cas d'une gamme naturelle, l'effet d'un « dièse » de transposition ne peut pas se limiter à la note diésée. Il faudra pour cela que les intervalles de la nouvelle gamme partant de Sol soient par ailleurs les mêmes que ceux de la gamme naturelle partant de Do, ce qui n'est pas le cas.

Prenons l'exemple très simple de la transposition de Do majeur à Sol majeur. Pour effectuer une telle transposition sur un instrument à accord fixe, l'intervalle entre quinte à sixte par rapport à Do (Sol-La) dans la première tonalité doit se réinterpréter comme un intervalle entre tonique et seconde par rapport à la nouvelle tonalité de Sol (intervalle de type Do-Ré, transposé en Sol). Or dans cette gamme tempérée, l'intervalle Sol-La est un ton mineur, et Do-Ré forme un ton majeur.

En Do Note Sol La Si Do Mi Fa Sol
Intervalle   t T s T t s T
En Sol Note Sol La Si Do Mi Fa# Sol
Intervalle   T t s T t T s  

On voit sur ce tableau comparatif des deux gammes que l'effet d'une transposition de Do en Sol doit non seulement être de monter le Fa d'un demi ton pour arriver au Fa dièse (inversion du T et du s final), nouvelle sensible ; mais également de remonter le La d'un comma (inversion du T et du t), pour transformer le ton mineur quinte-sixte en un ton majeur de l'intervalle tonique-seconde.[10] Chaque nouvelle transposition implique deux modifications, l'une correspondant à une distorsion de demi-ton, l'autre à une distorsion de comma[19]. De ce fait, si l'on veut pouvoir transposer dans un ton quelconque, c'est toutes les notes de la gamme qui doivent pouvoir être altérées d'un comma...

On comprend dans cet exemple que si la gamme naturelle présente un grand intérêt théorique et trouve des applications directes en chant choral, elle est inutilisable en musique instrumentale dès lors que l'instrument doit pouvoir faire des transpositions.

Si l'on veut conserver la capacité à transposer tout en conservant cette justesse, il est impossible de pratiquer une intonation juste sans disposer d'un très grand nombre de degrés dans l'octave : c'est pourquoi l'intonation juste est souvent associée aux systèmes à micro-intervalles. Les autres gammes naturelles ont des inconvénients analogues.

Comme pour la gamme de Pythagore, ces problèmes musicaux ont incité les théoriciens à envisager de nouveaux principes de division de l'octave, et ont conduit à privilégier progressivement la gamme tempérée pour les instruments à accord fixe devant pouvoir transposer.

Mythe de la dérive du diapason[modifier | modifier le code]

Cadence en La majeur.

L'informatique a rendu possible la construction d'instruments dont les degrés s'ajustent en temps réel aux intervalles environnants et qui semblent donc réaliser enfin l'utopie de l'intonation juste. Le problème, cependant, est que la fluctuation des degrés peut aboutir à une dérive du diapason (c'est-à-dire des hauteurs absolues). L'intonation juste, en bref, ne peut pas dans ce cas former une «gamme» stable.

Comme signalé plus haut, un enchaînement d'accords comme celui d'une cadence peut conduire à une variation d'un comma, si les passages d'une note à l'autre ne se font que par des intervalles naturels.

Tableau de synthèse[modifier | modifier le code]

Les principaux rapports harmoniques[10] :

Note Intervalle
depuis Do
Fréquence f (Hz) Rapport
f/f_Do
Cents
depuis Do
Cents
(gamme tempérée)
Do Unisson 264,00 1/1 = 1 0 0
Do ♯ ½ ton chromatique 275,00 25/24 ≃ 1,042 71 100
Ré ♭ ½ ton diatonique 281,60 16/15 ≃ 1,067 112
Ré bas ton mineur 293,33 10/9 ≃ 1,111 182 200
ton majeur 297,00 9/8 = 1,125 204
Ré ♯ seconde augmentée 309,98 75/64 ≃ 1,172 275 300
Mi ♭ tierce mineure 316,80 6/5 = 1,2 316
Mi tierce majeure 330,00 5/4 = 1,25 386 400
Fa ♭ quarte diminuée 337,92 32/25 = 1,28 427
Mi ♯ tierce augmentée 343,75 125/96 ≃ 1,302 457 500
Fa quarte juste 352,00 4/3 ≃ 1,333 498
Fa ♯ quarte augmentée 371,25 45/32 ≃ 1,406 590 600
Sol ♭ quinte diminuée 375,47 64/45 ≃ 1,422 610
Sol quinte juste 396,00 3/2 = 1,5 702 700
Sol ♯ quinte augmentée 412,50 25/16 ≃ 1,563 773 800
La ♭ sixte mineure 422,40 8/5 = 1,6 814
La sixte majeure 440,00 5/3 ≃ 1,667 884 900
La ♯ sixte augmentée 464,06 225/128 ≃ 1,758 977 1000
Si ♭ septième mineure 475,20 9/5 = 1,8 1018
Si septième majeure 495,00 15/8 = 1,875 1088 1100
Do ♭ octave diminuée 506,88 48/25 = 1,92 1129
Si ♯ septième augmentée 515,63 125/64 ≃ 1,953 1159 1200
Do octave 528,00 2/1 = 2 1200

Autres concepts de « gamme naturelle »[modifier | modifier le code]

Fichier audio
Écouter la série des 16 premiers harmoniques (en gamme tempérée, donc très approximative... et tout à fait fausse dans les six dernières notes) (info)

Des difficultés  pour  écouter le fichier ? Des problèmes pour écouter le fichier ?

La gamme naturelle est parfois confondue avec la gamme «acoustique», formée des harmoniques 8 à 16 de sa fondamentale. Les intervalles successifs correspondent alors par définition aux rapports entre les nombres entiers de 8 à 16 : 9:8, 10:9, 11:10, ... 15:14, 16:15. En d'autres termes, les intervalles successifs deviennent de plus en plus petits à mesure que l'on monte la gamme, avec des intervalles diminuant insensiblement du ton entier au demi-ton. Si la gamme est construite sur do, ses notes successives sont approximativement do, , mi, [fa♯], sol, [la♭], [si♭], si et do. Mais fa♯, qui divise l'intervalle mi-sol en deux parties inégales, est en réalité un quart de ton trop bas; si♭ de même, entre la et si, est un quart de ton trop bas; l'intervalle entre sol et [la♭] est un assez petit ton ou un assez grand demi-ton (plus précisément, 1,4 demi-ton); etc. Une telle gamme n'existe dans aucune tonalité connue, elle a trois notes (fa♯, la♭ et si♭) qui ne correspondent que d'assez loin aux notes réellement utilisées en musique (quel que soit l'accordage utilisé). Cette construction, purement théorique et artificielle, a été utilisée à partir de la fin du 19e siècle dans une approximation réalisée au moyen de notes du tempérament égal (voir Acoustic scale sur Wikipedia anglais). Ce diaporama de Lionel Chausson, par exemple, appelle «gamme naturelle» ce qui en réalité est la gamme acoustique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Asselin 2000, p. 66
  2. Guiseppe Zarlino, Le istitutioni harmoniche, Venise, 1558, Livre II, chap. 39.
  3. Joseph Sauveur, Principes d’acoustique et de musique, Paris, 1701, p. 5
  4. Hermann von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, 4e éd., Brunswick, 1877, p. 449
  5. Die Musik in Geschichte und Gegenwart 1986 Bd.13 S.217 «Temperatur und Stimmung»
  6. Die Musik in Geschichte und Gegenwart 1986 Bd.13 S.544 «Tonsysteme»
  7. Mark Lindley, "Fifteenth-Century Evidence for Meantone Temperament", Proceedings of the Royal Musical Association 102/1 (1975), p. 37-51.
  8. Hermann von Helmholtz, Théorie Physiologique de la musique, Paris, Masson et fils, 1868.
  9. Alain Daniélou, Traité de musicologie comparée, Hermann, 1959.
  10. a, b et c Voir par exemple Mathématique et musique, Serge Robert, Bulletin AMQ, Vol. XLV, mai 2005
  11. Anton Bruckner, Vorlesungen über Harmonielehre und Kontrapunkt an der Universität Wien, E. Schwanzara ed., Vienne, Österreichischer Bundesverlag, 1950, p. 134.
  12. sintono contre diatono, Zarlino, 1998-2014.
  13. La division s'obtient en multipliant le rapport par 2 et en insérant le moyen terme. Les intervalles de quinte, quarte et tierces justes correspondent aux rapports numériques les plus simples; ils sont souvent appelés aujourd'hui «intervalles purs», mais la dénomination « juste » est historiquement plus justifiée.
  14. Murray Campbell, Clive Greated (1994). The Musician's Guide to Acoustics, p.172-73. ISBN 978-0-19-816505-7.
  15. Wright, David (2009). Mathematics and Music, p.140-41. ISBN 978-0-8218-4873-9.
  16. Johnston, Ben and Gilmore, Bob (2006). "A Notation System for Extended Just Intonation" (2003), "Maximum clarity" and Other Writings on Music, p.78. ISBN 978-0-252-03098-7.
  17. Partch, Harry (1979). Genesis of a Music, p.165&73. ISBN 978-0-306-80106-8.
  18. Comment sortir le solfège du comma ? Jean Vasseur.
  19. Olivier Bettens, « INTONATION JUSTE » À LA RENAISSANCE : IDÉAL OU UTOPIE ?

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie et sources[modifier | modifier le code]

  • Devie Dominique : Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
  • Moreno Andreatta : "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle : aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
  • Heiner Ruland, "Évolution de la musique et de la conscience - Approche pratique des systèmes musicaux", ÉAR, Genève 2005, (ISBN 2-88189-173-X)
  • Edith Weber : La résonance dans les échelles musicales, révision d’Edmond Costère, Revue de musicologie, T.51, no 2 (1965), p. 241-243 - doi:10.2307/927346.
  • Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales, Paris, PUF, 1954.
  • Edmond Costère : Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
  • Franck Jedrzejewski : Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
  • Guerino Mazzola : "The Topos Geometry of Musical Logic" (dans Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, p. 199-213).
  • Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
  • François Nicolas : "Quand l’algèbre mathématique aide à penser (et pas seulement à calculer) la combinatoire musicale", Séminaire, Ircam, février 2003 (disponible en ligne à l’adresse : http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/TextesNic/mamux.html).
  • E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.
  • Pierre-Yves Asselin, Musique et tempérament, Éditions JOBERT,‎ 2000, 236 p. (ISBN 2-905335-00-9)