Coordonnées sphériques

On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l'espace qui généralisent les coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace y est repéré par la distance à un pôle et deux angles. Ce système est d'emploi courant pour le repérage géographique : l'altitude, la latitude, et la longitude sont une variante de ces coordonnées. Plusieurs systèmes de coordonnées sphériques sont également employés en astrométrie.

Il existe différentes conventions concernant la définition des angles. Cet article utilise la convention P(ρ,φ,θ), utilisée en mathématiques, où φ désigne la colatitude et est compris entre 0 et π, et θ désigne la longitude et est compris entre 0 et 2π.

En coordonnées sphériques, la position du point P est définie par la distance ρ et par les angles θ (longitude) et φ (colatitude).

Histoire

Article détaillé : histoire des fonctions trigonométriques.

Définition et propriétés élémentaires

Conventions

rayon-colatitude-longitude

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, ϕ, θ) d'un point P sont définies par :

• ρ est la distance du point P au centre O ;
• ϕ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé angle zénithal ou colatitude ;
• θ est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan horizontal (O, x,y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.

Par convention, et pour assurer l'unicité pour ρ > 0, ϕ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°) (pour le repérage, mais θ et ϕ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ, ϕ) ). En conséquence la relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

$\begin{cases} x &= \rho \cos \theta \sin \phi \\ y &= \rho \sin \theta \sin \phi \\ z &= \rho \cos \phi \end{cases}$

On utilise cette notation dans la suite de l'article.

rayon-colatitude-longitude

En physique, les notations ϕ et θ sont généralement interverties, conformément au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie ». La distance au pôle est souvent notée r.

Un point repéré en coordonnées sphériques (rayon/longitude/latitude)  ; ici la latitude est notée d'un δ

rayon-longitude-latitude

En mathématiques, on emploie également le système des géographes : on nomme les coordonnées (ρ, θ, δ), où ρ désigne toujours la distance du point au centre de la Terre, alors que θ désigne cette fois la longitude (angle mesuré depuis l'axe des x et généralement entre -180° et 180°) et δ la latitude, l'angle depuis le plan équatorial (entre -90° et 90°). L'échange entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées sphériques se fait alors par les formules :

$\begin{cases} x &= \rho \cos \theta \cos \delta \\ y &= \rho \sin \theta \cos \delta \\ z &= \rho \sin \delta \end{cases}$

Il est aisé de passer d'un système à un autre car latitude et colatitude sont liées par

$\delta=90-\phi$

Lien avec les coordonnées polaires

Article détaillé : coordonnées polaires.

Dans le plan vertical (O, z, OP), le système de coordonnées ($\rho$, $\Phi$) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), ($\rho$ $\sin\Phi$, $\theta$) est aussi un système de coordonnées polaires.

Soit $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OP}$

$\phi = (\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OP})$

$P'$ le projeté de $P$ sur le plan $xOy$

$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{r} \sin(\phi)$

$\theta = (\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OP'})$

Les coordonnées cartésiennes du point P sont : $\left\{ \begin{matrix} z &=& \rho \cos\phi&&\\ x &=& OP' \cos\theta &=& \rho \sin\phi\cos\theta\\ y &=& OP' \sin \theta &=& \rho \sin\phi\sin\theta \end{matrix} \right.$

Utilisation

Repérage géographique

Coordonnées géographiques φ (latitude) et λ (longitude).

Articles détaillés : coordonnées géographiques et géoïde.

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent les coordonnées h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques par :

$\begin{align} h &= \rho - \rho_\text{g}(l, \lambda),\\ l &= 90^\text{o} - \phi,\\ \lambda &= \theta \text{ si } \theta \le 180^\text{o}\\ &= \theta-360 \text{ sinon}, \end{align}$

où ρ_g(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au-dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur h est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

Coordonnées célestes

Coordonnées équatoriales : déclinaison et ascension droite.

Article détaillé : coordonnées célestes.

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les astres sur le ciel, utilisent cette même variante avec ρ fixé (projection sur la voûte céleste). Par exemple, le système de coordonnées équatoriales, utilisé pour repérer les objets hors du système solaire, utilisent la déclinaison (correspond à l) et l'ascension droite (correspond à λ, exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

Calculs

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans trois cas :

• mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
• mouvement à force centrale, notamment dans le potentiel de Coulomb;
• problèmes présentant une symétrie sphérique.

Exemple du pendule

Article détaillé : pendule.

Exemple de l'attraction coulombienne

Articles détaillés : équation de Schrödinger et harmonique sphérique.

Propriétés

Propriétés différentielles

Différentielles

Le volume infinitésimal s'écrit

$\text{d}^3 V = \rho^2\sin\phi\,\text{d}\rho\text{d}\phi\text{d}\theta$

et la surface à ρ constant est $\text{d}^2 S = \rho^2\sin\phi\,\text{d}\phi\text{d}\theta$.

Les vecteurs de la base comobile $(\overrightarrow{u_\rho}, \overrightarrow{u_\phi}, \overrightarrow{u_\theta})$ ont pour différentielles :

$\begin{align} \text{d}\overrightarrow{u_\rho} &= + \text{d}\phi\,\vec{u}_\phi + \sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\ \text{d}\overrightarrow{u_\phi} &= -\text{d}\phi\,\vec{u}_\rho + \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta,\\ \text{d}\overrightarrow{u_\theta} &= -\sin\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\rho - \cos\phi\,\text{d}\theta\,\vec{u}_\phi. \end{align}$

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération s'en déduisent :

$\begin{align} \overrightarrow{OM} &= \rho\,\overrightarrow{u_\rho},\\ \dot{\overrightarrow{OM}} &= \dot\rho\,\overrightarrow{u_\rho} + \rho\dot\phi\,\overrightarrow{u_\phi} + \rho\sin\phi\,\dot\theta\,\overrightarrow{u_\theta},\\ \ddot{\overrightarrow{OM}} &= (\ddot\rho-\rho\dot\phi^2-\rho\dot\theta^2\sin^2\phi)\,\overrightarrow{u_\rho} + (\rho\ddot\phi + 2\dot\rho\dot\phi - \rho\dot\theta^2\sin \phi\,\cos\phi) \,\overrightarrow{u_\phi} + (\rho\ddot\theta\sin\phi + 2\dot\rho\dot\theta\sin\phi + 2\rho\dot\phi\dot\theta\cos \phi) \,\overrightarrow{u_\theta}. \end{align}$

Opérateurs différentiels

Article détaillé : nabla.

L'opérateur nabla, servant au calcul du gradient, de la divergence et du rotationnel s'écrit

$\overrightarrow{u_\nabla} = \left(\frac\partial{\partial\rho}, \frac1\rho \frac\partial{\partial\phi}, \frac1{\rho\sin\phi} \frac\partial{\partial\theta}\right).$

Le laplacien s'en déduit :

$\Delta = \frac1{\rho^2} \frac\partial{\partial\rho}\left(\rho^2\frac\partial{\partial\rho}\right) +\frac1{\rho^2\sin\phi} \frac\partial{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac\partial{\partial\phi}\right) +\frac1{\rho^2\sin^2\phi} \frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.$

Tenseurs usuels

Articles détaillés : tenseur métrique et symbole de Christoffel.

Le tenseur métrique s'écrit

$g_{ij} = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & \rho^2 \sin^2\phi \end{matrix}\right)$

et l'intervalle

$\text{d}s^2 = c^2\text{d}t^2 - \text{d}\rho^2 - \rho^2\text{d}\phi^2 - \rho^2\sin^2\phi\,\text{d}\theta^2.$

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont

$\begin{align} \Gamma^{\rho}_{\phi\phi} &= -\rho\\ \Gamma^{\rho}_{\theta\theta} &= -\rho \sin^2\phi\\ \Gamma^{\phi}_{\rho\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi\rho} &= \rho^{-1}\\ \Gamma^{\phi}_{\theta\theta} &= -\cos\phi\,\sin\phi\\ \Gamma^{\theta}_{\rho\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta\rho} &= \rho^{-1}\\ \Gamma^{\theta}_{\theta\phi} = \Gamma^{\theta}_{\phi\theta} &= \cot\phi \end{align}$

Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels

Les coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, θ′, z) et sphériques, lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, x, y, z) suivent les lois de transformations données ci-dessous.

Système de coordonnées	Depuis les coordonnées sphériques	Vers les coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes	$\begin{align} x &= \rho \sin\phi \cos\theta,\\ y &= \rho \sin\phi \sin\theta,\\ z &= \rho \cos\phi. \end{align}$	$\begin{align} \rho &= \sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \phi &= \arccos(z/\rho)\\ \theta &= \begin{cases}\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y\geq0, \\[,5em] 2\pi-\arccos\frac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y < 0;\end{cases} \end{align}$
Coordonnées cylindriques	$\begin{align} r &= \rho \sin\phi,\\ \theta^\prime &= \theta,\\ z &= \rho \cos\phi. \end{align}$	$\begin{align} \rho &= \sqrt{r^2+z^2},\\ \phi &= \arctan(r/z),\\ \theta &= \theta^\prime, \end{align}$

Dans le tableau ci-dessus arctan(y, x) est le prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(y/x) pour x et y positifs.

• 

  Coordonnées sphériques

• 

  Coordonnées cartésiennes

• 

  Coordonnées cylindriques

Généralisation

Article détaillé : 3-sphère#Coordonnées hypersphériques.

Soit un espace vectoriel normé de dimension n finie. Pour un point x de cet espace, de coordonnées (x₁, …, x_n), on définit les coordonnées sphériques (r, ϕ₁, …, ϕ_n-1) par

$\begin{align} r &= ||x||\\ x_1 &= r\cos\phi_1\\ x_2 &= r\sin\phi_1 \cos \phi_2\\ \cdots\\ x_{n-1} &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\cos\phi_{n-1}\\ x_n &= r\sin\phi_1\,\cdots\,\sin\phi_{n-2}\sin\phi_{n-1} \end{align}$

Les coordonnées sphériques constituent le cas particulier n = 3 et les polaires n = 2 ; on pourra consulter la section correspondante de l'article 3-sphère pour le cas n=4.