Angle solide

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L'angle solide est le rapport entre la surface (en rose) de la projection d'un objet sur une sphère et le carré du rayon de celle-ci. Ici, l'objet dont est mesuré l'angle solide est une surface quadrilatère (en bleu).

En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel.

L'angle plan étant défini, dans l'espace bidimensionnel, comme le rapport de la longueur de l'arc sur le rayon d'un cercle, l'angle solide, dans l'espace tridimensionnel, est défini de façon analogue comme le rapport de la superficie d'une partie d'une sphère sur le rayon au carré. Son unité est le stéradian noté sr.

On le note souvent Ω (oméga majuscule). Il mesure la surface sur laquelle un objet se projette radialement sur une sphère de rayon unité.

Calcul[modifier | modifier le code]

Formule usuelle[modifier | modifier le code]

Pour calculer l'angle solide sous lequel on voit un objet à partir d'un point donné, on projette l'objet sur une sphère de rayon R centrée en ce point.

Si la surface que cette projection fait sur la sphère est S, l'angle solide sous lequel l'observateur voit l'objet est, par définition :

\Omega\,=\,\frac{S}{R^2}

Avec :

La notion d'angle solide intervient en particulier dans la définition de la luminosité et de ses grandeurs dérivées. En général, ces grandeurs sont associées à des corps sources ou récepteurs dont les positions spatiales sont exprimées en coordonnées curvilignes (par exemple, en coordonnées sphériques : position des étoiles, satellites, capteurs au sol, etc.). On peut dès lors définir l'angle solide dans ce type de coordonnées.

Angle solide en coordonnées sphériques[modifier | modifier le code]

L'angle solide \scriptstyle \Omega correspond à un cône de révolution d'angle \scriptstyle 2\alpha inscrit dans la sphère de projection

Pour une sphère de rayon r, l'angle solide est défini pour un élément de surface élémentaire d2 S, c'est-à-dire engendré par des variations angulaires infinitésimales des altitude \theta et azimut \phi (la surface élémentaire est assimilée à un plan) :

\mathrm d^2S = r \cdot \mathrm d\theta \cdot r \sin\theta \cdot \mathrm d\phi = r^2 \cdot \mathrm d\theta \cdot \sin\theta \cdot \mathrm d\phi.

D'où :

\mathrm d^2\Omega = \sin\theta \cdot \mathrm d\phi \cdot \mathrm d\theta.

Par intégration dans les domaines angulaires des coordonnées sphériques :

\Omega = \iint \mathrm d^2\Omega = \int_0^{2\pi} \mathrm d\phi \int_0^{\alpha} \sin\theta \ \mathrm d\theta \ = 2\pi\int_0^{\alpha} \sin \theta \ \mathrm d \theta = 2\pi\left[ -\cos \theta \right]_0^{\alpha} \ = 2\pi\left(1 -\cos \alpha \right).

Ceci définit un cône de révolution de demi-angle au sommet \scriptstyle \alpha et de base "sphérique" \scriptstyle A = \Omega \cdot R^2 . On vérifiera qu'entre deux colatitudes \scriptstyle \alpha et \scriptstyle \alpha', l'aire de la "zone" est bien \scriptstyle 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h avec \scriptstyle h = R \cdot [cos\ \alpha - cos\ \alpha'].

Coin d'un tétraèdre[modifier | modifier le code]

Le coin d'un tétraèdre, formé des angles \alpha, \beta et \gamma, projette sur une sphère S la face opposée, donnant ainsi un triangle "gonflé" d'aire \Omega aux angles arrondis A, B et C.

Soit \Omega l'angle solide formé par un triangle sphérique. Le théorème de l'excès sphérique dit de Gauss-Bonnet[1] indique : ^{\Omega=\hat A+\hat B+\hat C-\pi } (ce n'est pas les bons angles).

  • démonstration[2]. : c'est un jeu de décomptage-coloriage : colorer le dièdre complet A en jaune (angle solide (2A)*2), le dièdre B en cyan (les deux côtés AC et BC vont apparaître verts ainsi que le triangle sphérique. Recommencer par le dièdre A en jaune et le dièdre C en magenta, le triangle apparaîtra en rouge-vermillon. Recommencer enfin par le dièdre B en cyan et le dièdre C en magenta, le triangle apparaîtra en bleu-violet. La figure se voit très bien dans l'article de trigonométrie sphérique. Si on fait les trois à la fois, on aura recouvert la sphère entière 2 fois (surface 2* 4\pi) SAUF le triangle sphérique ABC, NOIR qui a été recouvert 6 fois, soit un AJOUT de (6-2) fois \Omega (ainsi que son symétrique à l'antipode, soit encore 2\Omega); donc :  ^{8\hat A+8\hat B+8\hat C = 2 \cdot4\pi +(6-2) \Omega \cdot 2}
  1. Ce résultat, découvert par Thomas Harriot, mais non publié, fut édité par Albert Girard vers 1625.Gauss puis Bonnet généraliseront, bien plus tard.
  2. Quelques explications sur le site du Palais de la découverte

Les angles du triangle sphérique A, B et C suivent le théorème de Pythagore-AlKashi modifié, énoncé en trigonométrie sphérique par Al-Battani, Viète et Gauss : \cos\alpha = cos\beta \cdot cos\gamma + sin\beta \cdot sin\gamma \cdot cos A

  • [démonstration : effectuer le produit scalaire \vec{OB} \cdot \vec{OC} , en prenant OA comme axe Oz].

ce qui peut se réécrire :

A = \arccos\left(\frac{\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}\right)

B  = \arccos\left(\frac{\cos \beta -\cos \gamma \cos \alpha}{\sin \gamma \sin \alpha}\right)

C = \arccos\left(\frac{\cos \gamma -\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}\right)

avec \alpha, \beta, \gamma \neq 0, et la somme de deux angles supérieure ou égale au troisième (sinon le coin est inconstructible).

Cas particuliers :

    • Si jamais l'un des trois angles du tétraèdre \alpha, \beta ou \gamma devient nul, alors les deux autres se superposent et deviennent égaux : l'angle solide \Omega s'aplatit et devient alors nul.
    • Si \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{2} (tétraèdre à coin droit), alors  A = B = C = \arccos \frac{0 - 1 + 1}{1}= \arccos (0) = \frac{\pi}{2}, donc \Omega = 3 \times \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}, soit le huitième (l'octant) d'une sphère.
    • Si \alpha + \beta + \gamma = 2\pi (tétraèdre plat), alors A = B = C = \arccos (-1) = \pi (angle sphérique plat : équateur) et \Omega = 2 \pi (demi sphère).

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

Calotte sphérique dont le diamètre apparent est 2θ
  • En reprenant la définition de l'angle solide en coordonnées sphériques, les angles θ = π/3, θ = π/2 et θ = 2π/3 délimitent un découpage de la sphère en quatre surfaces égales de π stéradians. Ainsi, l'espace complet est vu sous un angle solide de 4π sr.
  • Un hémisphère correspond donc à un angle solide de 2π sr.
  • Un trièdre, formé par deux murs perpendiculaires et le sol (un octant, en mathématiques), découpe un angle solide de π/2 sr, soit un huitième de sphère.
  • Entre la latitude de San Diego, en Californie, dans l'hémisphère nord et celle de Sydney, en Australie, dans l'hémisphère Sud, il y a la moitié de la surface terrestre, soit un angle solide de 2π sr.
  • Entre le cercle polaire et le tropique du Cancer, dans l'hémisphère nord, il y a le quart de la surface terrestre, soit un angle solide de π sr.
  • Les angles solides sous lesquels on voit une pièce d'un centime d'euro à 1,80 m de distance, la Lune et le Soleil, sont très proches : ≈6.10−5 sr (voir à ce sujet les éclipses solaires).
  • Un « carré de ciel » de 0,923… radians de côté se voit sous un angle solide d'un stéradian. Évidemment, si le carré est "très petit", on le mesure banalement en mas^2 ( milliarcseconde*milliarcseconde ).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

En électrostatique, l'angle solide joue un rôle capital dans la formulation de l'équation de Maxwell-Gauss : ^{div \vec{E}= \frac {\rho}{\epsilon_o}}

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]