Harmonique sphérique

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En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques P(x,y,z) de degré l forment un espace vectoriel de dimension 2l+1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques (  r,\theta,\varphi ) à l'aide de 2l+1 combinaisons  :

r^l \cdot Y_{l,m}(\theta, \varphi),

avec  - l \le m \le + l.

Les coordonnées sphériques (  r,\theta,\varphi ) sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S^2.

Définition — Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal SO(3)) et que le laplacien entre en jeu :

Résolution de l'équation de Laplace[modifier | modifier le code]

On cherche les fonctions Y_{l,m}(\theta, \varphi) sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

Y_{l,m}(\theta, \varphi) = k P_{l,m}(\cos \theta) \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}

k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction P_{l,m}(\cos \theta) :

- \frac{1}{\sin \theta } \frac{\mathrm d ~}{\mathrm d \theta} \left(\sin \theta \frac{\mathrm d P_{l,m}(\cos \theta)}{\mathrm d \theta}\right) + \frac{m^2}{\sin^2 \theta } P_{l,m}(\cos \theta)  = E_{l,m} P_{l,m}(\cos \theta)

On fait le changement de variable : \theta \mapsto x = \cos \theta qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l,m}(x)}{\mathrm dx}\right] + \frac{m^2}{(1-x^2) } P_{l,m}(x)  = E_{l,m} P_{l,m}(x)

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :

E_{l,m}  = l (l+1)~

Les fonctions propres P_{l,m}(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre P_{l}(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 :

- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l}(x)}{\mathrm dx}\right]   = l (l+1) P_{l}(x)

On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues :

P_{l}(x) = \frac{1}{2^l l !} \frac{\mathrm d^l ~}{\mathrm dx^l} \left[ x^2 - 1  \right]^l

On construit alors les fonctions propres P_{l,m}(x) par la formule :

P_{l,m}(x) = (-1)^m \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^m P_{l}(x)}{\mathrm dx^m}

soit explicitement :

P_{l,m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^l l !} \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^{l+m} ~}{\mathrm dx^{l+m}} \left[ x^2 - 1  \right]^l

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions P_{l,m}(x) pour  m \ge 0, car il existe une relation simple entre P_{l,m}(x) et P_{l,-m}(x) :

P_{l,- \, m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} P_{l,m}(x)


Expression des harmoniques sphériques[modifier | modifier le code]

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

 Y_{l,0} = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}},

P_l(x) est le polynôme de Legendre de degré l.

On obtient ensuite :

J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(l^2-m^2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}

 J_+ = e^{i\phi}\left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{i}{\tan \theta}  \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}\right)

est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour m négatif, Y_{l,m} = (-1)^m.Y_{l, -m}^*

Souvent cette base se note |lm\rangle :

toute fonction sur la sphère S^2 pourra donc s'écrire :

f(\theta, \phi) = f^{l,m}\cdot |lm\rangle

(en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes f(l,m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des |lm\rangle (on dit parfois coefficients de Fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de Fourier réels.

Expression mathématique[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue f(\theta, \varphi) se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)

l et m sont des indices entiers, Clm est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Ylm est la partie réelle d'une fonction complexe Ylm

Y_l^m(\theta , \varphi) = \operatorname{Re} \left ( \underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) \right )

Ylm est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

\underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \varphi}

i est l'imaginaire et Plm est le polynôme de Legendre :

P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot 
\frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 - 1)^l \right ]

On a donc

Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)

On a par exemple :

  • P_0^0(\cos \theta) = 1 (Y00 est isotrope) ;
  • P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta ;
  • P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta ;
  • P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1) ;

Les fonctions Ylm(θ, φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y00 est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Polynômes de Legendre[modifier | modifier le code]

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes P_{l} de la fonction cosinus :

Y_l(\theta) = P_l (\cos \theta)

Les polynômes P_{l} utilisés sont les polynômes de Legendre1 :

P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{d^l}{d X^l}\left [ (X^2 - 1)^l \right ] (formule de Rodrigues, mathématicien français)

On obtient :

  • P_0(\cos \theta) = 1~ (fonction isotrope) ;
  • P_1(\cos \theta) = \cos \theta~ ;
  • P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1) ;
  • P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2} (5 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta) ;

Harmoniques sphériques normalisées[modifier | modifier le code]

Base orthonormale des harmoniques sphériques[modifier | modifier le code]

Parmi les (2l+1) fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthonormale sur la sphère \mathbb S^2 munie de la mesure

\mathrm d\mu = \frac{1}{4\pi} \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi,

soit le produit scalaire (hermitien en fait) :

\langle f_1\mid f_2\rangle = \frac{1}{4\pi} \iint_{S^2} f_1^{*} f_2 \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres[1] :

- \Delta Y_{l,m}(\theta, \varphi) = l(l+1) Y_{l,m}(\theta, \varphi)

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, J^2 :

\Delta f(\theta, \varphi) \stackrel{\rm def}{=} J^2 f = \frac{1}{\sin \theta } \frac{\partial ~}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta } \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Elles sont fonctions propres de l'opérateur J_3 = -i \tfrac{\partial}{\partial \phi} :

 J_3 Y_{l,m} = m \cdot Y_{l,m}

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement Y_{l,m}(\theta, \varphi), où les angles (\theta, \varphi) sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que :

  • 0 \le l
  •  - l \le m \le + l

Normalisation[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S_2 au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

\iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \delta_{l, l'} \delta_{m, m'}

Dans cette formule, \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) représente l'angle solide élémentaire :

\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)= \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\varphi

Toute fonction f(\theta, \varphi) suffisamment régulière admet un développement en série :

f(\theta, \varphi) = \sum_{l=0}^{+ \infty} \sum_{m=-l}^{+l} a_{l,m} Y_{l,m}(\theta, \varphi)

où les coefficients complexes a_{l,m} se calculent par :

a_{l,m} = \iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi)  f(\theta, \varphi)

Expression des harmoniques sphériques normalisées[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S3. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

Y_{l,m}(\theta, \varphi) = (-1)^{\frac{1}{2}(m+|m|)}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_{l,|m|}(\cos \theta) \mathrm{e}^{i \, m \, \varphi}

Représentations graphiques[modifier | modifier le code]

Représentation sphérique[modifier | modifier le code]

Si l'on utilise la représentation sphérique

\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta,\varphi)

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Ylm est positif, les creux aux parties où Ylm est négatif. Lorsque \theta et \varphi décrivent l'intervalle [0 ;2\pi[, Ylm(θ, φ) s'annule selon l cercles :

  • m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant Oz et la sphère) ;
  • l-m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère).

Le paramètre l est appelé le « degré », m est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Harmoniques spheriques positif negatif.png

Ci-dessous sont représentées quatre coupes de l'harmonique sphérique Y32 :

Traces harmonique spherique.png

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

Y_3^2
YL3M2sph.png YL3M2.png
\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)
les parties en blanc sont positives, en bleu négatives
\rho = |Y_3^2(\theta,\varphi)|^2

Représentation en coupe[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les nœuds, comme le montre le tableau suivant[2]. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où l = 3. Les quatre valeurs de m y varient de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour m>0. Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

Harmoniques sphériques.jpg

On reconnaît les nombres quantiques secondaire l, correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal n n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire \exp(im\phi), de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de l \ge 4 ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de l est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par un anneau[3].

Représentation cartésienne et polaire[modifier | modifier le code]

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

Trois premières harmoniques circulaires
Représentation cartésienne Représentations polaires (tracé manuel) Représentations polaires (tracé exact)
Y1 Legendre Y1 xy.png Legendre Y1 polaire.png Legendre polaire y1 y2 y3.png
Y2 Legendre Y2 xy.png Legendre Y2 polaire.png
Y3 Legendre Y3 xy.png Legendre Y3 polaire.png

Autres harmoniques[modifier | modifier le code]

Harmoniques circulaires[modifier | modifier le code]

Dans le plan, la décomposition s'écrit :

f(\theta) = \sum_{l = 0}^{+\infty} C_l \cdot Y_l (\theta)

Y_0 est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires r = Y_0(\theta) est donc un cercle de rayon r_0.

Y_{l} est une fonction invariante par une rotation d'un angle de 1/(l+1) tour, c'est-à-dire que

Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)

on dit que Y_{l} admet une symétrie d'ordre l+1.

Harmoniques sphériques généralisées[modifier | modifier le code]

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ, θ, φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ, θ, φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} \sum_{n = -l}^{+l} C_l^{mn} \cdot Y_l^{mn} (\psi,\theta,\varphi)

Clmn est une constante. La fonction Ylmn s'écrit :

Y_l^{mn}(\psi,\theta,\varphi) = e^{i m \varphi} \cdot P_l^{mn}( \cos \theta) \cdot e^{i n \psi}

Le polynôme Plmn est le polynôme de Legendre généralisé

P_l^{m n} (X) = \frac{(-1)^{l-m} \cdot i^{n-m}}{2^l \cdot (l-m)!} 
\cdot
\left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]^{1/2}
\cdot
(1-X)^{-\frac{n-m}{2}}\cdot (1+X)^{-\frac{n+m}{2}}
\cdot
\frac{\partial^{l-n}}{\partial X^{l-n}} \left [ (1-X)^{l-m} (1+X)^{l+m} \right ]

Quand X décrit l'intervalle [-1 ;1], cette fonction Plmn est soit réelle, soit imaginaire pure. Y000(ψ, θ, φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

Y_l^{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2)
= \sum_{s = -l}^{+l} Y_l^{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_l^{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)

et en particulier

P_l^{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2))
= \sum_{s = -l}^{+l} P_l^{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_l^{sn}(\cos \theta_2)

On a de manière générale :

P_l^{mn} = P_l^{nm} = P_l^{-m -n}

Par exemple pour l = 1 :

P_1^{mn}(\cos \theta)
m n
-1 0 +1
-1 \frac{1}{2} (1+\cos \theta) -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta \frac{1}{2} (\cos \theta - 1)
0 -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta \cos \theta -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta
1  \frac{1}{2} (\cos \theta - 1) -\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta  \frac{1}{2} (1+\cos \theta)

Pour l = 2 :

P_2^{mn}(\cos \theta)
m n
-2 -1 0 +1 +2
-2 \frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1) -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1) \frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2
-1 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1) \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)
0 -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)
1 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1) \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1) -\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta \frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)
2 \frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2 -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1) -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta) -\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1) \frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres positives. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction \phi~ lisse à support compact, on a :
    \int \phi \Delta \phi = - \int \| \mathrm{grad} \phi \|^2

    Cette égalité se démontre en utilisant la relation Δ = div grad et en intégrant par parties.

  2. Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007
  3. Atomes circulaires : propriétés et préparation

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]