Orthodromie

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Comparaison entre les routes loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur une carte en projection de Mercator
Comparaison entre les routes loxodromique (jaune) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur la sphère terrestre.
Comparaison entre les routes loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, en projection gnomonique.

L'orthodromie désigne le chemin le plus court entre deux points d'une sphère, c'est-à-dire le plus petit des deux arcs de grand cercle qui passe par ces deux points. Pour les navigateurs, une route orthodromique désigne ainsi la route la plus courte à la surface du globe terrestre entre deux points. Dans la vie courante, cette plus courte distance entre deux points sur Terre est désignée sous le nom de « distance à vol d'oiseau » entre ces deux points.

Représentation sur une carte[modifier | modifier le code]

Sur une carte en projection de Mercator, l'orthodromie n'est généralement pas représentée par une ligne droite mais par une ligne courbe. En effet, une carte en projection de Mercator conserve les angles mais pas les distances, de sorte que c'est la loxodromie (qui coupe tous les méridiens sous un angle constant) qui y sera représentée par une ligne droite.

Sur une carte en projection gnomonique, l'orthodromie est représentée par une droite. Les cartes en projection gnomonique sont utilisées pour la navigation en latitudes élevées.

La courbe de l'orthodromie sur la carte Mercator est ouverte vers l'équateur (soit courbée vers le pôle, nord dans l'hémisphère nord, sud dans l'hémisphère sud). Ceci signifie que pour une traversée est-ouest (et inversement) on va se rapprocher du pôle. Le point d'infléchissement de l'orthodromie s'appelle le vertex. La détermination de la latitude du vertex (latitude maximale atteinte) est une grandeur intéressante à déterminer pour préparer une traversée circumpolaire maritime (dans l'hémisphère sud par conséquent, par exemple de Tasmanie au Cap Horn) où il importe de ne pas trop gagner en latitude en raison du danger des glaces et de la banquise. La route choisie alors se décomposera en un tronçon d'orthodromie jusqu'à la latitude extrême que l'on ne veut pas dépasser, puis un tronçon de loxodromie à cette latitude et enfin un autre tronçon d'orthodromie pour remonter jusqu'à destination.

Formules relatives à l'orthodromie[modifier | modifier le code]

Les formules ci-dessous sont données en assimilant la Terre à une sphère de 40 000 km de circonférence.

Distance orthodromique[modifier | modifier le code]

Soit M la longueur de l'orthodromie exprimée en milles marins entre A (\varphi_A ,\lambda_A) et B (\varphi_B , \lambda_B), où \varphi désigne la latitude et \lambda la longitude. M est donnée par la formule suivante, la valeur de l'arc cosinus étant en degrés :

M = 60\arccos \,[\sin(\varphi_A)\sin(\varphi_B) + \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_B) \cos (\lambda_B - \lambda_A)]\,
Repérage d'un point P de la sphère terrestre par sa latitude \varphi et sa longitude \lambda

En effet, en prenant le rayon de la sphère pour unité, les coordonnées cartésiennes des points A et B en coordonnées sphériques[1] exprimées en fonction de la latitude et de la longitude sont :

\begin{cases}
x_A = \cos(\lambda_A) \cos(\varphi_A)\\
y_A = \sin(\lambda_A) \cos(\varphi_A)\\
z_A = \sin(\varphi_A)
\end{cases}

et

\begin{cases}
x_B = \cos(\lambda_B) \cos(\varphi_B)\\
y_B = \sin(\lambda_B) \cos(\varphi_B)\\
z_B = \sin(\varphi_B)
\end{cases}

de sorte que le cosinus de l'arc AB, égal au produit scalaire des deux vecteurs OA et OB, vaut :

(OA|OB) = \sin(\varphi_A)\sin(\varphi_B) + \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_B) \cos (\lambda_B - \lambda_A)

Le coefficient 60 devant l'arc cosinus provient du fait que le mille marin (1852 m) correspond à une minute d'arc sur un grand cercle de la surface terrestre, et donc 60 milles marins correspondent à un degré. Par conséquent, si on exprime arccos(AB) en degrés, on obtient la distance en milles marins en multipliant cet arccos par 60.

Exemple : La distance orthodromique entre Paris (48°51' N, 2°21' E) et New York (40°43'N, 74°00'W) est d'environ 5 830 km.

Gain en distance par rapport à la loxodromie[modifier | modifier le code]

Sur une courte distance, on peut confondre orthodromie et loxodromie. La distinction devient importante lors des voyages inter-continentaux, et surtout aux latitudes élevées.

À titre d'exemple, un voyage entre Paris et New York a une longueur loxodromique approximative de 6070 km, et le parcours orthodromique permet de gagner 240 km. Le gain est de 1600 km entre Paris et Tokyo, pour une longueur orthodromique de 9700 km environ.

Route initiale R_o\, (cap du tronçon de route initial)[modifier | modifier le code]

Le parcours le long d'une orthodromie ne se faisant pas à cap constant, on découpe en général celle-ci en tronçons plus courts où l'on garde un cap constant, propre à chaque tronçon. Le cap du premier tronçon est l'angle R_o\, en degrés entre le Nord et la tangente en A à l'orthodromie, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Un cap de 0° correspond au Nord, 90° à l'Est, - 90° ou 270° à l'Ouest. L'angle R_o est donné par la formule suivante[2].


\operatorname{cotan}R_o = \frac {\cos(\varphi_A) \tan(\varphi_B)}{\sin (\lambda_B - \lambda_A)} - \frac {\sin(\varphi_A)}{\tan (\lambda_B - \lambda_A)}


En effet, en prenant le rayon terrestre comme unité, le vecteur T tangent en A à l'orthodromie est égal à OB - (OB|OA)OA, où (OB|OA) désigne le produit scalaire des deux vecteurs. Ce vecteur appartient en effet au plan engendré par OA et OB, et est orthogonal à OA. Le vecteur unitaire u tangent en A au méridien et dirigé vers le Nord a pour composantes (-\cos(\lambda_A)\sin(\phi_A),-\sin(\lambda_A)\sin(\phi_A),\cos(\phi_A)). Le vecteur unitaire v tangent en A au parallèle et dirigé vers l'Est a pour composantes (-\sin(\lambda_A),\cos(\lambda_A),0). Ces deux vecteurs sont orthogonaux à OA. On a alors :

\operatorname{cotan}R_o = \frac{(u,T)}{(v,T)} = \frac{(u,OB)}{(v,OB)} = \frac{\cos(\varphi_A)\sin(\varphi_B)- \sin(\varphi_A)\cos(\varphi_B)\cos(\lambda_B-\lambda_A)}{\cos(\varphi_B)\sin(\lambda_B-\lambda_A)}

ce qui donne la formule annoncée.

Une autre formule possible est la suivante :

\sin(R_o) = \frac{\cos(\varphi_B)\sin(\lambda_B - \lambda_A)}{\sin(AB)}

\sin(AB) est le sinus de l'arc AB. On trouve directement cette relation en appliquant la formule des sinus en trigonométrie sphérique au triangle ABN, où N est le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en A est R_o et est opposé à l'arc BN = \frac{\pi}{2} - \varphi_B, et l'angle au pôle est \lambda_B - \lambda_A opposé à l'arc AB. On a donc :

\frac{\sin(AB)}{\sin(\lambda_B - \lambda_A)} = \frac{\cos(\varphi_B)}{\sin(R_o)}.


Exemple : Le premier cap à suivre pour aller de Paris (48°51' N, 2°21' E) à New-York (40°43'N, 74°00'W) est de - 68° environ, soit dans une direction Ouest-Nord-Ouest, alors que New-York se situe pourtant à une latitude inférieure à celle de Paris. Ce cap fait survoler le sud de l'Irlande.

Coordonnées du vertex[modifier | modifier le code]

Les vertex sont les deux points du grand cercle passant par A et B de latitude extrême (maximale ou minimale). Les deux vertex sont diamétralement opposés et l'orthodromie y coupe le méridien à angle droit. Ils ne se situent pas nécessairement sur la trajectoire entre A et B.

Latitude[modifier | modifier le code]

Le cosinus de leur latitude est donné par :


\cos(\varphi_V) = \left|\sin(R_o)\right|\cos(\varphi_A) \,


Pour le voir, on applique la formule des sinus en trigonométrie sphérique au triangle AVN, où V est le vertex et N le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en V est droit, et opposé à l'arc AN = \frac{\pi}{2} - \varphi_A. L'angle en A est R_o et est opposé à l'arc VN = \frac{\pi}{2} - \varphi_V. On a donc : \frac{\cos(\varphi_A)}{\sin(\pi/2)} = \frac{\cos(\varphi_V)}{\left|\sin(R_o)\right|}.

Exemple : Entre Paris (48°51' N, 2°21' E) et New-York (40°43'N, 74°00'W), le vertex se situe à une latitude de 52°, supérieure à la latitude des deux villes.

Longitude[modifier | modifier le code]

La différence de longitude entre le point de départ et le vertex est donné par :


\cos(\lambda_V - \lambda_A) = \frac{\tan(\varphi_A)}{\tan(\varphi_V)}


En effet, on applique la formule des cosinus en trigonométrie sphérique au triangle AVN, où V est le vertex et N le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en V est droit, et opposé à l'arc AN = \frac{\pi}{2} - \varphi_A. L'angle en A est R_o et est opposé à l'arc VN = \frac{\pi}{2} - \varphi_V. L'angle en N est \lambda_V - \lambda_A et opposé à l'arc AV. On a donc :

\cos(\frac{\pi}{2}-\varphi_A) = \cos(AV)\cos(\frac{\pi}{2}-\varphi_V) + \sin(AV)\sin(\frac{\pi}{2}-\phi_V)\cos(\frac{\pi}{2})

et donc :

\sin(\varphi_A) = \cos(AV)\sin(\varphi_V)

On a également :

\cos(AV) = \cos(\frac{\pi}{2}-\varphi_A)\cos(\frac{\pi}{2}-\varphi_V) + \sin(\frac{\pi}{2}-\varphi_A)\sin(\frac{\pi}{2}-\varphi_V)\cos(\lambda_V - \lambda_A)

et donc :

\cos(AV) = \sin(\varphi_A)\sin(\varphi_V) + \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_V)\cos(\lambda_V - \lambda_A) .

On obtient la relation voulue en remplaçant \cos(AV) dans \sin(\varphi_A) = \cos(AV)\sin(\varphi_V) par la valeur donnée dans la deuxième relation.

Exemple : Entre Paris (48°51' N, 2°21' E) et New-York (40°43'N, 74°00'W), l'écart de longitude entre Paris et le vertex est de 28°.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les angles utilisés en coordonnées sphériques peuvent être différents. Il convient d'adapter les formules
  2. Dans cette formule, on a pris la convention, usuelle en mathématiques, des longitudes croissantes vers l'Est. Si on prend comme convention que les longitudes croissent vers l'Ouest, il convient de changer le signe du second membre.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • Orthodromie, site de l'Ecole Nationale de la Marine Marchande de Marseille.