Orthodromie

Comparaison entre les routes loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur une carte en projection de Mercator

Comparaison entre les routes loxodromique (jaune) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur la sphère terrestre.

Comparaison entre les routes loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, en projection gnomonique.

L'orthodromie désigne le chemin le plus court entre deux points d'une sphère, c'est-à-dire l'arc de grand cercle qui passe par ces deux points. Pour les navigateurs, une route orthodromique désigne ainsi la route la plus courte à la surface du globe terrestre entre deux points. Dans la vie courante, cette plus courte distance entre deux points sur Terre est désignée sous le nom de « distance à vol d'oiseau » entre ces deux points.

Représentation sur une carte

Sur une carte en projection de Mercator, l'orthodromie n'est pas représentée par une ligne droite mais par une ligne courbe. En effet, une carte en projection de Mercator conserve les angles mais pas les distances, de sorte que c'est la loxodromie (qui coupe tous les méridiens sous un angle constant) qui y sera représentée par une ligne droite.

Sur une carte en projection gnomonique, l'orthodromie est représentée par une droite. Les cartes en projection gnomonique sont utilisées pour la navigation en latitudes élevées.

Sur une courte distance, on peut confondre orthodromie et loxodromie. La distinction devient importante lors des traversées océaniques pour des parcours E-W (et inversement) et surtout aux latitudes élevées (voir la formule donnant le gain de l'orthodromie sur la loxodromie).

La courbe de l'orthodromie sur la carte Mercator est ouverte vers l'équateur (soit courbée vers le pôle, nord dans l'hémisphère nord, sud dans l'hémisphère sud). Ceci signifie que pour une traversée est-ouest (et inversement) on va se rapprocher du pôle. Le point d'infléchissement de l'orthodromie s'appelle le vertex. La détermination de la latitude du vertex (latitude maximale atteinte) est une grandeur intéressante à déterminer pour préparer une traversée circumpolaire maritime (dans l'hémisphère sud par conséquent, par exemple de Tasmanie au Cap Horn) où il importe de ne pas trop gagner en latitude en raison du danger des glaces et de la banquise. La route choisie alors se décomposera en un tronçon d'orthodromie jusqu'à la latitude extrême que l'on ne veut pas dépasser, puis un tronçon de loxodromie à cette latitude et enfin un autre tronçon d'orthodromie pour remonter jusqu'à destination.

Formules relatives à l'orthodromie

Distance orthodromique

Soit M la longueur de l'orthodromie exprimée en milles marins entre A (φ_A,λ_A) et B (φ_B,λ_B), où φ désigne la latitude et λ la longitude. M est donnée par la formule suivante, la valeur de l'arc cosinus étant en degrés :

$M = 60\arccos \,[\sin \varphi_A\sin \varphi_B + \cos \varphi_A\cos \varphi_B \cos (\lambda_B - \lambda_A)]\,$

Repérage d'un point P de la sphère terrestre par sa latitude φ et sa longitude λ

En effet, en prenant le rayon de la sphère pour unité, les coordonnées cartésiennes des points A et B en coordonnées sphériques exprimées en fonction de la latitude et de la longitude sont :

$\begin{cases} x_A = \cos(\lambda_A) \cos(\varphi_A)\\ y_A = \sin(\lambda_A) \cos(\varphi_A)\\ z_A = \sin(\varphi_A) \end{cases}$

et

$\begin{cases} x_B = \cos(\lambda_B) \cos(\varphi_B)\\ y_B = \sin(\lambda_B) \cos(\varphi_B)\\ z_B = \sin(\varphi_B) \end{cases}$

de sorte que le cosinus de l'arc AB, égal au produit scalaire des deux vecteurs OA et OB, vaut :

sin φ_Asin φ_B + cos φ_Acos φ_Bcos(λ_B − λ_A)

Le coefficient 60 devant l'arc cosinus provient du fait que le mille marin correspond à une minute d'arc sur un grand cercle de la surface terrestre, et donc 60 milles marins correspondent à un degré. Par conséquent, si on exprime arccos(AB) en degrés, on obtient la distance en milles marins en multipliant cet arccos par 60

Gain (m-M) en distance par rapport à la loxodromie

$m - M = \frac {m^3}{24.(3437,746770)^2} \sin^2 R_v \tan^2\varphi_m \,$

avec :

$m\,$ la distance loxodromique

$M\,$ la distance orthodromique

$R_v\,$ la route vraie loxodromique

$\varphi_m\,$ la latitude moyenne $\left(\varphi_m = \frac{\varphi_A + \varphi_B}{2}\right)\,$

Route initiale $R_o\,$ (angle du tronçon de route initial)

$\operatorname{cotan}R_o = \frac {\sin \varphi_A}{\tan (\lambda_B - \lambda_A)} - \frac {\cos \varphi_A \tan \varphi_B}{\sin (\lambda_B - \lambda_A)}$

Latitude du vertex $\varphi_v \,$

$\cos \varphi_v = \sin R_o \cos \varphi_A \,$

Voir aussi

• Géodésique
• Grand cercle
• Loxodromie

Liens externes

• Orthodromie, site de l'Ecole Nationale de la Marine Marchande de Marseille.