Formules de mécanique des fluides

Cet article présente les principales équations de la mécanique des fluides, une branche de la physique qui s'intéresse à l’étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées.

Statique des fluides

Loi fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos soumis à un champ de forces volumique $\vec{F} = \rho \vec{f}$, où $\rho$ désigne la masse volumique, le champ de pression $\; p(x,y,z,t)$ vérifie la relation

$\vec{\nabla}p = \rho \vec{f}$

Exemple: Lorsque le fluide est soumis uniquement aux forces de gravité $\left( \vec{F} = \rho \vec{g} \right)$, on a la relation

$\vec{\nabla}p = \rho \vec{g}$

soit, sachant que le champ de gravité est dirigé dans la direction verticale, (supposant le fluide incompressible ⇒ la masse volumique est constante)

$\frac{dp}{dz} = - \rho g$

Poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide est soumis à une poussée de bas en haut égale au poids du volume du fluide déplacé.

Soit un corps de masse volumique $\; \rho$ et de volume $\; V$ plongé dans un fluide de masse volumique $\rho_f$. La poussée d'Archimède que le fluide exerce sur ce corps est la force

$\vec{p}_A = - \rho_f V \vec{g}$

Le poids apparent de ce corps dans le fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède, soit

$\vec{p}_{app} = (\rho - \rho_f) V \vec{g}$

Remarque: Lorsque la masse volumique du corps est inférieure à celle du fluide, le poids apparent est négatif. Voilà pourquoi une planche de bois (masse volumique < 1) remonte à la surface de l'eau.

Dynamique des fluides parfaits incompressibles

Équations d'Euler pour un écoulement incompressible

Soit l'écoulement incompressible d'un fluide parfait, c'est-à-dire sans viscosité, dans un champ de force massique $\vec{f}$. En première approximation, sa masse volumique $\; \rho$ est constante. En un point quelconque du fluide $\; M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $\; t$, les champs de pression $\; p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$ $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f}$

En coordonnées cartésiennes $\; (x_1, x_2, x_3)$, ces relations s'écrivent

$\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0$ $\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j \; , \; \; j = 1,2,3$

Écoulement potentiel - Potentiel des vitesses

Un écoulement de fluide selon les normes de température et de pression est dit potentiel lorsque

$\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = \vec{0}$

Dans ce cas, il existe une fonction potentiel des vitesses $\; \phi$ qui vérifie

$\vec{v} = \vec{\nabla} \phi$

Relations de Bernoulli

Écoulement stationnaire et potentiel

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$

en tout point de l'écoulement.

aucun échange avec l'extérieur ce qui fait qu'au début d'une conduite forcé nous avons de la hauteur pas de pression et une vitesse proche de 0 ensuite nous avons plus de hauteur toujours pas de pression mais de la vitesse puis enfin il nous reste que de la pression Le théorème nous explique le phénomène de changement d'énergie de hauteur en une énergie de pression dans un milieu isolé

Énergie de hauteur Eh=m.g.h

Énergie de pression Ep=P.V

Énergie cinétique Ec=1/2m.V²

Écoulement stationnaire et non-potentiel

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$

le long d'une ligne de courant.

Écoulement instationnaire et potentiel

$\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte$

en tout point de l'ecoulement.

Dynamique des fluides visqueux incompressibles

Équations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible

Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique $\vec{f}$. La viscosité cinématique du fluide est notée $\nu$ (unité SI: $m^2/s$). En un point quelconque du fluide $\; M(x,y,z)$ et à un instant quelconque $\; t$, les champs de pression $\; p(x,y,z,t)$ et de vitesse $\vec{v}(x,y,z,t)$ vérifient les relations:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0$ $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}$

En coordonnées cartésiennes $\; (x_1, x_2, x_3)$, ces relations s'écrivent

$\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0$ $\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j + \nu \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i^2}\; , \; \; j = 1,2,3$

Articles connexes

• Équations de Navier-Stokes
  • Application à un fluide en rotation : Équations primitives atmosphériques
• Équilibre hydrostatique