Équation aux dérivées partielles

En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.

Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire (à une seule variable) ; les problèmes incluent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d'une équation différentielle ordinaire sont paramétrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux conditions supplémentaires, dans le cas des EDP les conditions aux limites se présentent plutôt sous la forme de fonction ; intuitivement cela signifie que l'ensemble des solutions est beaucoup plus grand, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes.

Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu'elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures, mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) ou des mathématiques financières (équation de Black-Scholes). Elles sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou la prévision météorologique. Enfin, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quantique sont également des EDP.

L'un des sept problèmes du prix du millénaire consiste à montrer l'existence et la continuité par rapport aux données initiales d'un système d'EDP appelé équations de Navier-Stokes. Ces équations servent énormément en mécanique des fluides.

Introduction

Une équation différentielle très simple est :

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,$

où u est une fonction inconnue de x et y. Cette relation implique que les valeurs u(x,y) sont indépendantes de x. Les solutions de cette équation sont :

$u(x,y)=f(y),\,$

où f est une fonction de y.

L'équation ordinaire :

${\frac {du}{dx}}=0\,$

a pour solution :

$u(x)=c,\,$

avec c une valeur constante (indépendante de x). Ces deux exemples illustrent qu'en général, la solution d'une équation différentielle ordinaire met en jeu une constante arbitraire, tandis que les équations aux dérivées partielles mettent en jeu des fonctions arbitraires. Une solution des équations aux dérivées partielles n'est généralement pas unique.

Trois catégories importantes d'EDP sont les équations aux dérivées partielles linéaires et homogènes du second-ordre dites elliptiquesÉquation aux dérivées partielles elliptique, hyperboliques et paraboliquesÉquation aux dérivées partielles parabolique.

Notations

En mathématiques

Pour les EDP, par souci de simplification, il est d'usage d'écrire u la fonction inconnue et D_xu (notation française) ou u_x (notation anglo-saxonne, plus répandue) sa dérivée partielle par rapport à x, soit avec les notations habituelles du calcul différentiel :

$u_{x}={\partial u \over \partial x}$

et pour les dérivées partielles secondes :

$u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)$

En physique

Les opérateurs de l'analyse vectorielle sont utilisés.

Résumé d'analyse vectorielle

L'opérateur nabla $\left[{\vec {\nabla }}=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{array}}\right)\right]\$ représente le jeu des dérivées partielles d'ordre 1

Pour une fonction vectorielle ${\vec {u}}\left(x,y,z,t\right)=\left({\begin{array}{c}u_{x}\left(x,y,z,t\right)\\u_{y}\left(x,y,z,t\right)\\u_{z}\left(x,y,z,t\right)\end{array}}\right)$, en lui appliquant le produit scalaire par ${\vec {\nabla }}$, on définit la divergence :

$\ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}\left(x,y,z,t\right)=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{array}}\right).\left({\begin{array}{c}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{array}}\right)={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\equiv {\rm {div}}\,{\vec {u}}$

En utilisant le produit vectoriel, on définit le rotationnel

$\ {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}\left(x,y,z,t\right)=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{array}}\right)\wedge \left({\begin{array}{c}u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\end{array}}\right)\equiv {\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {u}}\equiv {\overrightarrow {\rm {curl}}}\,{\vec {u}}$

Pour une fonction qui à tout point de l'espace associe un nombre scalaire, $u\left(x,y,z,t\right)$, on définit le gradient:

$\ {\vec {\nabla }}\,u\left(x,y,z,t\right)=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{array}}\right).u\left(x,y,z,t\right)=\left({\begin{array}{c}{\frac {\partial u}{\partial x}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial z}}\end{array}}\right)={\overrightarrow {\rm {grad}}}\,u$

On utilise également l'opérateur Laplacien, analogue de la divergence pour la dérivation d'ordre 2

$\Delta \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

voir aussi l'opérateur Laplacien vectoriel

 

Exemples d'EDP

Équation de Laplace

L'équation de Laplace est une EDP de base très importante :

${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0$

où u(x,y,z) désigne la fonction inconnue.

En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien $\Delta$

Soit $\psi \equiv u\left(x,y,z,t\right)\$, fonction d'onde.

$\Delta \psi \ =\ 0$

Équation de propagation (ou équation des cordes vibrantes)

Cette EDP, appelée équation de propagation des ondes, décrit les phénomènes de propagation des ondes sonores et des ondes électromagnétiques (dont la lumière). La fonction d'onde inconnue est notée u(x,y,z,t), t représentant le temps :

${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}={1 \over c^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}$

Le nombre c représente la célérité ou vitesse de propagation de l'onde u.

En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien $\Delta$ :

Soit $\psi \equiv u\left(x,y,z,t\right)\$, fonction d'onde.

$\Delta \psi \ =\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}$

Équation d'onde, forme générale

Onde $~\psi$		Partie longitudinale		Partie transversale		Propagation		Dissipation
$~\Delta \psi$	$\ =$	${\overrightarrow {\textrm {grad}}}\left[{\textrm {div}}\ \psi \right]$	$\ -$	${\overrightarrow {\textrm {rot}}}\left[{\overrightarrow {\textrm {rot}}}\ \psi \right]$	$\ =$	${1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}$	$\ +$	${1 \over \alpha }{\partial \psi \over \partial t}$

Voir aussi onde sismique, onde mécanique, Son, Onde sur une corde vibrante, Onde stationnaire dans un tuyau, Equations de Maxwell

Équation de Fourier

${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}={1 \over \alpha }{\partial u \over \partial t}$

Cette EDP est également appelée équation de la chaleur. La fonction u représente la température. La dérivée d'ordre 1 par rapport au temps traduit l'irréversibilité du phénomène. Le nombre $\alpha$ est appelé diffusivité thermique du milieu.

En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien $\Delta$ :

Soit $\psi \equiv u\left(x,y,z\right)\$, fonction d'onde de température.

$\Delta \psi \ =\ {1 \over \alpha }{\partial \psi \over \partial t}$

Équation de Poisson

En utilisant l'opérateur laplacien $\Delta$ :

Soient $\psi \left(x,y,z\right)\$, fonction d'onde et $\rho \left(x,y,z,t\right)$ densité de charge.

$\Delta \psi \ =-4\pi \rho$

Équation d'advection

L'équation d'advection en dimension 1 d'espace et de temps décrit le transport de la quantité $u(x,t)$ par la vitesse d'advection $a$

${\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

Elle a pour solution $u(x,t)=\eta (x-at)$ pour $t\geqslant 0$ où $\eta (x)$ est la condition initiale à $t=0$.

L'équation d'advection joue un rôle fondamental dans l'étude des méthodes de résolution numérique par la méthode des volumes finis des systèmes hyperboliques de lois de conservation comme par exemple les équations d'Euler en dynamique des fluides compressibles.

Équation d'onde de Langmuir

Soient $\psi \left(x,y,z,t\right)\$, fonction d'onde et $\rho \left(x,y,z,t\right)$ densité de charge.

$\Delta \psi \ ={1 \over c^{2}}.{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}-{\rho \over \epsilon }$

Cette équation décrit des ondes électriques longitudinales en propagation dans un plasma.

Équation de Stokes

L'équation de Stokes, qui décrit l'écoulement d'un fluide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds, s'écrit :

$\eta \Delta {\vec {v}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,p-\rho {\vec {f}}$,

Notations :

• ${\vec {v}}({\vec {r}})$ est la vitesse du fluide ;
• $p({\vec {r}})$ est la pression dans le fluide ;
• $\rho$ est la masse volumique du fluide
• $\eta$ est la viscosité dynamique du fluide;
• ${\vec {f}}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide (par exemple : pesanteur) ;
• ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ et $\Delta$ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient et laplacien.

 

Équation de Schrödinger

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}\ =\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V\right]\psi$

Notations :

• $\psi \left(x,y,z,t\right)$, fonction d'onde.
• $\hbar \$ constante de Planck réduite.
• m est la masse de la particule.
• $i$ nombre complexe imaginaire tel que $i^{2}=-1$.
• V opérateur potentiel (représente le potentiel en tout point), en général électrique.
• $\Delta$ est le laplacien.

 

Équation de Klein-Gordon

Soit $\psi \left(x,y,z,t\right)$, fonction d'onde.

$-\hbar ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}\ =-\hbar ^{2}c^{2}\Delta \psi +m^{2}c^{4}\psi$

Notations :

• $\psi \left(x,y,z,t\right)$, fonction d'onde.
• $\hbar \$ constante de Planck réduite.
• m est la masse de la particule.
• c est la vitesse de la lumière
• $\Delta$ est le laplacien.

 

Méthodes de résolution numérique

Les méthodes numériques les plus couramment utilisées pour la résolution des équations aux dérivées partielles sont :

• Méthode des différences finies
• Méthode des éléments finis
• Méthode des volumes finis
• Méthode des caractéristiques

Articles connexes

• Théorème de Frobenius (géométrie différentielle)
• Théorème de Cauchy-Kowalevski
• Opérateur différentiel
• Opérateur pseudo-différentiel
• Transformée de Laplace
• Principe fondamental d'Ehrenpreis

Bibliographie

• (en) Lars Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
• (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2^e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (n^o 23), Springer-Verlag, 2^e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
• (en) Vladimir I. Arnold, Lectures on partial differential equations, Springer-Verlag, 2004 (ISBN 3-540-40448-1).