Théorème de Frobenius (géométrie différentielle)

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Le théorème de Frobenius donne une condition nécessaire et suffisante d'intégrabilité locale d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre dont le membre de droite dépend des variables, des inconnues, mais ne dépend pas de dérivées partielles de ces inconnues : un tel système d'équations aux dérivées partielles est appelé un « système de Pfaff ». Les fonctions du second membre sont supposées seulement de classe C^1, ce qui rend impossible l'application du théorème de Cauchy-Kowalevski, qui suppose ces fonctions analytiques. Le théorème de Frobenius a des liens étroits avec le lemme de Poincaré pour les 1-formes, ce lemme indiquant alors sous quelle condition une 1-forme différentielle \omega est localement exacte. Le théorème de Frobenius conduit à considérer les « variétés intégrales » de la géométrie différentielle et peut s'exprimer dans ce langage. Ces variétés intégrales conduisent à la notion de feuilletage[1]. Le « théorème de Frobenius » a en réalité été établi par Feodor Deahna (en) en 1840, dans un article approfondissant les travaux de Johann Friedrich Pfaff et de Charles Gustave Jacob Jacobi sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre (remontant quant à eux à 1815 et 1827 respectivement) et qui est passé inaperçu jusqu'à ce que Ferdinand Georg Frobenius l'exhume en 1875[2]. Les théorèmes de Wei-Liang Chow (en) et de Hector Sussmann, datant de 1940 et 1973 respectivement[3],[4], étudient l'existence de variétés intégrales pour des « p-champs » singuliers ; ils sont, comme le théorème de Frobenius, très utilisés pour étudier la commandabilité des systèmes non linéaires[5] (le lien entre cette question de commandabilité et le théorème de Frobenius a en premier lieu été noté par Robert Hermann (en) en 1963).

Théorème de Frobenius : formulation « fonctionnelle »[modifier | modifier le code]

Soit U un ouvert de \mathbb R^p, V un ouvert de \mathbb R^{n-p}, et, pour tout k, 1\le k\le {n-p}, une fonction B^k:U\times V\rightarrow \mathbb R de classe C^r ( 1 \le r \le + \infty). Considérons de système d'équations aux dérivées partielles, ou « système de Pfaff »

(F)::\frac{\partial v^{k}}{\partial x^{h}}=B_{h}^{k}\left(
x^{1},...,x^{p},v^{1},...,v^{n-p}\right) \quad \left( 1\leq k\leq
n-p,1\leq h\leq p\right) .

Une variété intégrale de ce système, si elle existe, est une sous-variété de N de U\times V, de classe C^{r}, définie par la représentation paramétrique

(RP):: x^{p+k}=v^k\left(x^1,...,x^p\right)

sur laquelle s'annulent donc les 1-formes différentielles (ou « formes de Pfaff ») linéairement indépendantes

\omega^{k}=dx^{p+k}-\sum\limits_{h=1}^{p}\frac{\partial v^{k}}{
\partial x^{h}}dx^{h}

Résoudre le système de Pfaff (F) équivaut à déterminer une variété intégrale N de ce système, et (F) admet une solution si, et seulement si une telle variété intégrale existe.

Théorème de Frobenius sous forme fonctionnelle — Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) Pour tout point (x_0,v_0)\in U\times V il existe un voisinage ouvert S \subset U de x_0, un voisinage ouvert T \subset V de v_0, et une unique fonction v de classe C^r, de S dans T, solution de (F) et telle que v(x_0)=v_0. (2) Les fonctions B^{k} vérifient dans U\times V la « condition d'intégrabilité de Frobenius »

\frac{\partial B_{h}^{k}}{\partial x^{l}}+\sum_{j=1}^{n-p}\frac{\partial
B_{h}^{k}}{\partial v^{j}}B_{l}^{j}=\frac{\partial B_{l}^{k}}{\partial x^{h}}
+\sum_{j=1}^{n-p}\frac{\partial B_{l}^{k}}{\partial v^{j}}B_{h}^{j}
\left( 1\leq k\leq n-p,1\leq l\leq p,1\leq h\leq p\right) .

Remarque[modifier | modifier le code]

Il existe une généralisation de ce théorème au cas où \mathbb R^p et \mathbb R^{n-p} sont remplacés par des espaces de Banach[6].

Crochets de Lie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dérivée de Lie.

Désormais, r=+\infty et toutes les variétés différentielles (qu'on appellera simplement variétés) sont de classe C^\infty. Soit M une variété de dimension n. On désigne par \mathcal E_0\left(M\right) la \mathbb R-algèbre des fonctions indéfiniment dérivables sur la variété M et par \mathcal T^1_0\left(M\right) le \mathcal E_0\left(M\right)-module des champs de vecteurs de classe C^\infty sur M. Par définition, \mathcal T^1_0\left(M\right) est l'ensemble des sections du fibré tangent T\left(M\right).

  • Étant donné X,Y \in \mathcal T^1_0\left(M\right), il existe un élément de \mathcal T^1_0\left(M\right), déterminé de manière unique et noté \left[X,Y\right], appelé le crochet de Lie de X et de Y, tel que \mathcal{L}_{\left[ X,Y\right] }=\mathcal{L}_{X}\circ \mathcal{L}_{Y}-
\mathcal{L}_{Y}\circ \mathcal{L}_{X}.
  • Le crochet de Lie est une application \mathbb R-bilinéaire antisymétrique de  \mathcal T^1_0\left(M\right)\times \mathcal T^1_0\left(M\right) dans \mathcal T^1_0\left(M\right). Soit c=\left(U,\xi, n\right) une carte de M, r=\left( \mathbf{s}_{i}\right) _{1\leq i\leq n} un repère de classe C^\infty au-dessus de U et X,Y \in \mathcal T^1_0\left(U\right) deux champs de vecteurs de coordonnées X^{i},Y^{j} \in \mathcal E_0\left(U\right) dans ce repère. Les coordonnées Z^{i}\in  \mathcal E_0\left(U\right) de Z=\left[X,Y\right] dans le repère r sont alors
Z^{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}\left( \frac{\partial Y^{i}}{\partial \xi ^{j}}
X^{j}-\frac{\partial X^{i}}{\partial \xi ^{j}}Y^{j}\right) .
  • Le crochet de Lie a la « propriété fonctorielle » suivante : soit M, N deux variétés, \varphi:M\rightarrow N un difféomorphisme et \varphi_{\ast}: T\left(M\right)\rightarrow T\left(N\right) son application linéaire tangente (ou, par abus de langage, sa « différentielle »). Alors, pour tous champs de vecteurs X,Y\in \mathcal T^1_0\left(M\right), \varphi _{\ast }\left( \left[X,Y\right] \right) =\left[\varphi _{\ast }\left(X\right),\varphi _{\ast }\left(Y\right)\right].
  • Soit \mathcal E_{p}\left(M\right)=\Omega^p\left(M\right) le \mathcal E_0-module des p-formes sur M et d:\mathcal E_{p}\left(M\right)\rightarrow \mathcal E_{p+1}\left(M\right) la dérivée extérieure. Soit alors \omega \in \mathcal E_{1}\left(M\right) et X,Y\in \mathcal T^1_0\left(M\right). On a la formule de Maurer-Cartan
\left\langle d\omega ,X\wedge Y\right\rangle =\mathcal{L}_{X}.\left\langle
\omega ,Y\right\rangle -\mathcal{L}_{Y}.\left\langle \omega ,X\right\rangle
-\left\langle \omega ,\left[ X,Y\right] \right\rangle .
  • Soit f_1,f_2 \in \mathcal E_0\left(M\right), X_1,X_2 \in \mathcal T^1_0\left(M\right). Alors
\left[ f_{1}X_{1},f_{2}X_{2}\right] =f_{1}f_{2}\left[ X_{1},X_{2}\right]
+\left( f_{1}\mathcal{L}_{X_{1}}.f_{2}\right) X_{2}-\left( f_{2}\mathcal{L}
_{X_{2}}.f_{1}\right) X_{1}.

On a donc le résultat suivant :

Lemme — Si \left[ X_{1},X_{2}\right]=0, alors quels que soient les champs de vecteurs Y,Z appartenant au \mathcal E_0\left(M\right)-module span\left\{ X_{1},X_{2}\right\} engendré par X_{1} et X_{2}, le crochet de Lie \left[ Y,Z\right] appartient à span\left\{ X_{1},X_{2}\right\} .

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le cas élémentaire où p=2,n=3 et voyons comment le théorème de Frobenius dans sa forme fonctionnelle s'exprime dans le formalisme géométrique des crochets de Lie, en se ramenant à la situation où M est un ouvert de \mathbb R^3. Posons \Delta=span\left\{ X_{1},X_{2}\right\} avec

X_{1}=\left( 1,0,\frac{\partial v}{\partial x^{1}}\right) =\left(
1,0,B_{1}\right),
X_{2}=\left( 0,1,\frac{\partial v}{\partial x^{2}}\right) =\left(
0,1,B_{2}\right) .

La condition d'intégrabilité de Frobenius s'écrit, avec B_h^1=B_h=B_h\left(x_1,x_2,x_3\right),

\frac{\partial B_{1}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial B_{1}}{\partial x^{3}}
B_{2}=\frac{\partial B_{2}}{\partial x^{1}}+\frac{\partial B_{2}}{\partial
x^{3}}B_{1},

qui équivaut à \left[X_1,X_2\right]=0. En conséquence, la condition d'intégrabilité de Frobenius entraîne, d'après le lemme ci-dessus, que pour tous champs de vecteurs Y,Z \in \Delta,on a \left[ Y,Z\right] \in \Delta. Comme on va le voir plus loin, on peut exprimer ceci en disant que le « 2-champ » \Delta est « involutif ».

Redressement des champs de repères[modifier | modifier le code]

Le théorème de redressement des champs de repères généralise le théorème de redressement des champs de vecteurs.

Théorème de redressement des champs de repères — Soit M une variété de dimension n, x_0 un point de M et X_1,...,X_p des champs de vecteurs sur M tels que X_1\left(x_0\right),...,X_p\left(x_0\right) sont linéairement indépendants. Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) Les crochets de Lie \left[X_i,X_j\right] sont tous nuls (i,j=1,...,p). (2) Il existe une carte \left(U,\varphi,n\right) centrée sur x_0 telle que \varphi _{\ast }\left( X_{i}\left\vert _{U}\right. \right) =\frac{\partial }{\partial x^{i}}.

(La question étant locale, on peut supposer que M=U est un ouvert de \mathbb R^n. La condition est nécessaire, car la fonctorialité du crochet de Lie implique \varphi _{\ast }\left(\left[X_i,X_j\right]\right)=\left[\varphi _{\ast }\left(X_i\right),\varphi _{\ast }\left(X_j\right)\right]=\left[\frac{\partial }{\partial x^{i}},\frac{\partial }{\partial x^{i}}\right]=0. On montre qu'elle est suffisante grâce à la théorie des équations différentielles[7].)

Théorème de Frobenius : formulation géométrique[modifier | modifier le code]

Commençons par quelques définitions.

(1) Un p-champ (ou une p-direction, ou une distribution d'éléments de contact de dimension p, ou un sous-fibré de dimension p du fibré tangent T\left(M\right)) de classe C^\infty est une application \Delta :M\ni x\mapsto \Delta _{x}\Delta _{x} est un sous-espace de dimension p de l'espace tangent T_x\left(M\right) à M au point x, vérifiant la condition suivante : pour tout x\in M, il existe un voisinage ouvert U de x dans M et des champs de vecteurs X_1,...,X_p \in \mathcal T^1_0\left(M\right) tels que X_1(y),...,X_p(y) forment une base de \Delta _{y} pour tout y\in U (on écrit alors \Delta _{y}=span\left\{ X_{1}(y),...,X_{p}(y)\right\} et \Delta=span\left\{ X_{1},...,X_{p}\right\} , cette dernière écriture signifiant que \Delta est le \mathcal E_0\left(U\right)-module engendré par  X_{1},...,X_{p}). Dans ce qui suit, « p-champ » signifie « p-champ de classe C^\infty ».

(2) Une sous-variété N de M est appelée une variété intégrale du p-champ \Delta si pour tout x\in M, et en désignant par \iota:N\rightarrow M l'inclusion, \iota _{\ast }\left( T_{x}\left( N\right) \right) =\Delta _{x} (autrement dit, l'espace tangent T_x\left(N\right) s'identifie au sous-espace \Delta _{x} \subset T_x\left(M\right)). Cette variété intégrale est dite maximale si toute variété intégrale qui la contient coïncide avec elle (elle est alors de dimension p[8]). La notion d'intégrabilité est locale et invariante par difféomorphisme.

(3) Le p-champ \Delta est dit complètement intégrable s'il admet une variété intégrale. Il est dit involutif si \left[X_1,X_2\right] \in \Delta pour tous X_1,X_2 \in \Delta.

(4) Pour tout x \in M, soit \Delta_x^0 le polaire de \Delta_x, c'est-à-dire le sous-espace de l'espace cotangent T^{\ast}_x\left(M\right) orthogonal à \Delta_x, et \omega^j\left(x\right) une base de \Delta_x^0. L'application \Delta^0: x \mapsto \Delta_x^0, si elle est de classe C^\infty (notion que l'on définit en « dualisant » celle de p-champ de classe C^\infty), est une codistribution, à savoir un \mathcal E_0\left(M\right)-module, ayant pour base n-p 1-formes (ou formes de Pfaff) \omega^j \left(1\le j \le n-p\right). Ces formes de Pfaff s'annulent sur N, à savoir que pour tout champ de vecteurs X \in \mathcal T^1_0\left( N\right), \left\langle \omega ^{j},X\right\rangle =0 \left(1\le j \le n-p\right). On dit encore que le système de Pfaff

(P)::\omega ^{j} = 0 \left(1\le j \le n-p\right)

où les \omega ^{j} sont linéairement indépendantes, est associé au p-champ \Delta et définit la variété intégrale N.

(5) Soit \Omega^q\left(M\right) l'espace vectoriel des formes de degré q sur M et \Omega\left(M\right) l'algèbre graduée définie par

\Omega \left( M\right) =\bigoplus \limits_{q=0}^{+\infty }\Omega ^{q}\left(
M\right) .

On désigne par \mathfrak{O}\left( \Delta \right) l'idéal gradué de \Omega \left( M\right) constitué par les formes \omega vérifiant la condition suivante : pour toute q-forme \omega \in \mathfrak{O}\left( \Delta \right) et tous champs de vecteurs X_1,...,X_q \in \Delta,

\left\langle \omega ,X_{1}\wedge ...\wedge X_{q}\right\rangle =0.

Enfin, on désigne par d\left(\mathfrak{O}\left( \Delta \right)\right) le \R-espace vectoriel constitué des d\omega \left(\omega\in \mathfrak{O}\left( \Delta \right)\right).

Théorème de Frobenius sous forme géométrique — Soit \Delta un p-champ sur une variété M et (P) le système de Pfaff associé. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) \Delta est complètement intégrable.
(ii) \Delta est involutif.
(iii) d\left(\mathfrak{O}\left( \Delta \right)\right) \subset \mathfrak{O}\left( \Delta \right).
(iv) Pour tout x \in M, il existe un voisinage ouvert W de x et des 1-formes \alpha^j_k de classe C^\infty définies dans W telles que, dans cet ouvert,
d\omega ^{j}=\sum\limits_{k=1}^{n-p}\omega^{k}\wedge \alpha _{k}^{j}\quad
\left( 1\leq j\leq n-p\right)
(v) Pour tout x \in M, il existe un voisinage ouvert W de x et des fonctions f_{k}^{j},g^{k}\in \mathcal{E}_{0}\left( W\right) \left( j,k\in \left\{
1,...,n-p\right\} \right) telles que, dans W,
\omega ^{j}=\sum\limits_{k}f_{k}^{j}dg^{k}.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • L'équivalence (i) ⇔ (ii) de la formulation géométrique du théorème de Frobenius s'étend à la dimension infinie en raisonnant avec des variétés banachiques[9]. En revanche, elle ne s'étend pas au cas des variétés de Fréchet.
  • Dans le cas où p=n-1, l'équivalence (iv) \Leftrightarrow (v) se particularise comme suit : étant donné une 1-forme \omega et un ouvert W suffisamment petit, il existe dans W une 1-forme \alpha telle que, dans cet ouvert, d\omega=\omega \wedge \alpha si, et seulement s'il existe des fonctions f,g \in \mathcal E_0\left(W\right) telles que, dans W, \omega=f.dg.
  • Dans le cas analytique, le théorème de Cartan-Kähler (en) est un théorème d'existence d'une variété intégrale pour un système différentiel ; ce théorème est une généralisation du théorème de Frobenius.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Leborgne 1982, Sect. 4.5
  2. Sur l'histoire complexe du théorème de Frobenius et du lemme de Poincaré, voir Samelson 2001.
  3. Chow 1940-1941
  4. Sussmann 1973
  5. Jurdjevic 1997
  6. Dieudonné 1969-1971, vol. 1, Sect. X.9.
  7. Leborgne 1982, p. 240.
  8. Dieudonné 1969-1971, vol. 4, (18.4.2).
  9. Lang 1999, Chap. VI.

Références[modifier | modifier le code]