Opérateur laplacien vectoriel

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En analyse vectorielle, le laplacien vectoriel est un opérateur différentiel pour les champs vectoriels. Il présente beaucoup de similitudes avec l'opérateur laplacien scalaire.

Définitions[modifier | modifier le code]

Dans un espace euclidien, le laplacien vectoriel se définit le plus simplement en se plaçant dans un système de coordonnées cartésiennes. Dans ce cas, le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs quelconque A a pour composantes le laplacien des composantes de A. En d'autres termes, dans un espace à trois dimensions, si l'on écrit

\boldsymbol A = A^x \boldsymbol u_x + A^y \boldsymbol u_y + A^z \boldsymbol u_z,

alors le laplacien vectoriel de A s'écrit

\Delta \boldsymbol A = (\Delta A^x) \boldsymbol u_x + (\Delta A^y) \boldsymbol u_y + (\Delta A^z) \boldsymbol u_z.

Expressions dans d'autres systèmes de coordonnées[modifier | modifier le code]

À partir de l'expression en coordonnées cartésiennes, on peut exprimer le laplacien dans tout autre système de coordonnées, puisqu'une fois le nouveau système de coordonnées défini, on peut exprimer les vecteurs de la nouvelle base en fonction de ceux de la base cartésienne, tout comme on peut exprimer les dérivées partielles par rapport aux nouvelles coordonnées en fonction des dérivées partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes. À trois dimensions, une méthode alternative (mais guère plus rapide) consiste à utiliser la formule du rotationnel du rotationnel, qui s'écrit pour tout champ de vecteurs :

\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A) -  \Delta \boldsymbol A .

On obtient ainsi les formules suivantes :

Coordonnées cylindriques[modifier | modifier le code]

Dans le système de coordonnées cylindriques usuel r, θ, z, on a :


\Delta \boldsymbol  A = \begin{array}{l} \displaystyle\quad 
\left(\frac{\partial^2 A^r}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A^r}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A^r}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^r}{\partial r} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A^\theta}{\partial \theta} - \frac{A^r}{r^2}\right) \boldsymbol u_r \\ 
\displaystyle + \left(\frac{\partial^2 A^\theta}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A^\theta}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A^\theta}{\partial z^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^\theta}{\partial r} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A^r}{\partial \theta} - \frac{A^\theta}{r^2}\right)\boldsymbol u_\theta \\
\displaystyle + \left(\frac{\partial^2 A^z}{\partial z^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A^z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 A^z}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^z}{\partial r}\right)\boldsymbol u_z \end{array} 
.

Coordonnées sphériques[modifier | modifier le code]

Dans le système de coordonnées sphériques usuel r, θ, φ, on a :

\Delta \boldsymbol  A = \begin{array}{l} 
\displaystyle \quad\left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r  A^r)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A^r}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2  \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A^r}{\partial \varphi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A^r}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A^\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2  \sin \theta} \frac{\partial A^\varphi}{\partial \varphi} - \frac{2A^r}{r^2} - \frac{2 \cot \theta}{r^2} A^\theta \right)\boldsymbol u_r \\
\displaystyle + \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r  A^\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A^\theta}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2  \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A^\theta}{\partial \varphi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A^\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A^\varphi}{\partial \varphi} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A^r}{\partial \theta} - \frac{A^\theta}{r^2  \sin^2 \theta} \right)\boldsymbol u_\theta \\
\displaystyle +\left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r  A^\varphi)}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 A^\varphi}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2  \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 A^\varphi}{\partial \varphi^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial A^\varphi}{\partial \theta} + \frac{2}{r^2  \sin \theta} \frac{\partial A^r}{\partial \varphi} + \frac{2}{r^2} \frac{\cot \theta}{\sin \theta} \frac{\partial A^\theta}{\partial \varphi} - \frac{A^\varphi}{r^2  \sin^2 \theta} \right)\boldsymbol u_\varphi
\end{array}

Applications[modifier | modifier le code]

Le laplacien vectoriel est présent en particulier :

Voir aussi[modifier | modifier le code]