Théorème de Green

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En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée $C$ et l'intégrale double sur la région du plan $D$ délimitée par $C$.

Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de flux-divergence.

Énoncé

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Théorème de Green — Soit $C^+$, une courbe plane simple, positivement orientée et C¹ par morceaux, $D$ le domaine compact du plan délimité par $C^+$ et $P\mathrm dx + Q\mathrm dy$ une 1-forme différentielle sur $\R^2$. Si $P$ et $Q$ ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant $D$, alors :

$\int_{C^+} P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \iint_D\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm dx\mathrm dy.$

Notation alternative

Il existe une autre façon de noter ce théorème, qui se rapproche de celle utilisée pour le théorème de Stokes. On se place sur un domaine compact lisse du plan $D$, de bord ∂D, en notant la forme différentielle $\omega$. Alors la dérivée extérieure de $\omega$ s'écrit :

$\mathrm d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy$

On peut alors résumer le théorème de Green par la formule :

$\oint_{\partial D^+} \omega = \iint_{D} \mathrm d\omega$

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord décrit une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement tel qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.

On peut aussi interpréter $\oint_{\partial D^+} \omega$ comme la circulation du champ de vecteurs $\overrightarrow{V} = P\vec i + Q\vec j$ défini sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$ contenant le domaine D.

Démonstration dans un cas simplifié

Théorème de Green-Riemann dans un cas simplifié

Montrons que $\int\!\!\!\int_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_{\partial D^+} P\,\mathrm{d}x$ en supposant que le domaine D peut être décrit comme étant :

$D = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \ ;\ a\leqslant x \leqslant b \ \text{ et }\ f(x) \leqslant y \leqslant g(x) \}$

où $f,g$ sont des fonctions de classe $C^1$ sur [a, b] qui coïncident en a et b.

Le théorème de Fubini donne :

$\int\!\!\!\int_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y)\,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_a^b \left( \int_{f(x)}^{g(x)} - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d} x$

Or $\int_{f(x)}^{g(x)} -\frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} y = P(x,f(x))-P(x,g(x))$, de sorte que :

$\int\!\!\!\int_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_a^b P(x,f(x))-P(x,g(x)) \,\mathrm{d}x.$

Or l'arc orienté $\partial D^+$ peut être décomposé en deux sous-arcs :

$t \longmapsto (t,f(t))$ où t croît de a à b

et $t \longmapsto (t,g(t))$ où t décroît de b à a.

L'intégrale curviligne $\int_{\partial D^+} P \,\mathrm{d}x$ est donc :

$\int_a^b P(t,f(t)) \,\mathrm{d} t + \int_{b}^{a} P(t,g(t)) \,\mathrm{d} t = \int_a^b P(t,f(t)) - P(t,g(t)) \,\mathrm{d} t$ qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.

On montre de même que $\int\!\!\!\int_D \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_{\partial D^+} Q \,\mathrm{d}y$ en supposant que le domaine D peut être décrit comme étant :

$D = \{(x,y)\in\R^2 \ ;\ c\leqslant y \leqslant d \ \text{ et }\ \phi(y) \leqslant x \leqslant \psi(y) \}$

où $\phi,\psi$ sont des fonctions de classe $C^1$ sur [c, d] qui coïncident en c et d :

$\int\!\!\!\int_D \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_c^d \int_{\phi(y)}^{\psi(y)} \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_c^d Q(\psi(y),y) - Q(\phi(y),y) \,\mathrm{d} y = \int_{\partial D^+} Q \,\mathrm{d}y.$

Utilisations

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit $D$ un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit $C = \partial D$ sa frontière, orientée positivement par rapport à $D$. On a :

$\mathcal{A(D)} = \iint_\mathcal{D} \mathrm dx \mathrm dy = \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx = \int_\mathcal{C} x \mathrm dy = 1/2 \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy$

en prenant respectivement $P \left( x, y \right) = -y$ et $Q \left( x, y \right) = 0$, ou bien $P \left( x, y \right) = 0$ et $Q \left( x, y \right) = x$, ou enfin $P \left( x, y \right) = -y/2$ et $Q \left( x, y \right) = x/2$.

On traite ici l'exemple d'une ellipse, dont le bord $C$ est paramétré par :

$t \mapsto \left( a\cos{t}, b\sin{t} \right)$

t variant de 0 à 2π. En prenant $P \left( x, y \right) \, \mathrm dx = - \frac{y}{2} \, \mathrm dx = \frac{b\sin(t)}{2} a\sin(t) \, \mathrm dt$ et $Q \left( x, y \right) \, \mathrm dy = \frac{x}{2} \, \mathrm dy = \frac{a\cos(t)}{2} b\cos(t) \, \mathrm dt$, on obtient :

$\mathcal{A} = \int_0^{2\pi} \frac{ab}{2} \mathrm dt = \pi ab$.

On a ainsi montré que l'aire de l'ellipse de demi-axes a et b est πab.