Théorème de Green

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En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne autour d'une courbe simple fermée C et l'intégrale double sur la région du plan D délimitée par C.

Ce théorème est nommé d'après le scientifique George Green et se base sur le théorème de Stokes. À ne pas confondre avec le théorème de Green-Ostrogradski, ou théorème de flux-divergence.

Énoncé

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Théorème de Green — Soit C, une courbe plane simple, positivement orientée et C¹ par morceaux, D le domaine compact lisse du plan délimité par C et Pdx + Qdy une 1-forme différentielle sur $\R^2$. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors :

$\int_\mathcal{C} P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \iint_ \mathcal{D} ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\ ) \mathrm dx\mathrm dy$

Notation alternative

Il existe une autre façon de noter ce théorème, qui se rapproche de celle utilisée pour le théorème de Stokes. On se place sur un domaine compact lisse du plan Ω, de bord ∂Ω, en notant la forme différentielle ω. Alors la dérivée extérieure de ω s'écrit :

$\mathrm d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy$

On peut alors résumer le théorème de Green par la formule :

$\oint_{\partial \Omega} \omega = \iint_{\Omega} \mathrm d\omega$

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord décrit une courbe fermée. En dessinant une flèche dessus, on définit l'orientation — positive ou négative.

Utilisations

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit $C = \partial D$ sa frontière, orientée positivement par rapport à D. On a :

$\mathcal{A(D)} = \iint_\mathcal{D} \mathrm dx \mathrm dy = \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx = \int_\mathcal{C} x \mathrm dy = 1/2 \int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy$

en prenant respectivement $P \left( x, y \right) = -y$ et $Q \left( x, y \right) = 0$, ou bien $P \left( x, y \right) = 0$ et $Q \left( x, y \right) = x$, ou enfin $P \left( x, y \right) = -y/2$ et $Q \left( x, y \right) = x/2$.

On traite ici l'exemple du disque unité D, dont le bord est le cercle unité C paramétré par :

$t \to \left( \cos{t}, \sin{t} \right)$

et de longueur 2π. En prenant par exemple $P \left( x, y \right) = 0$ et $Q \left( x, y \right) = x$, on obtient :

$\mathcal{A} = \int_\mathcal{C} x\,\mathrm dy = \int_{0}^{2\pi} \cos^2 (t)\,\mathrm dt = \pi$.

On a ainsi montré que l'aire du disque unité est π.