Équation de Klein-Gordon

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L'équation de Klein-Gordon, parfois également appelée équation de Klein-Gordon-Fock, est une version relativiste de l'équation de Schrödinger décrivant des particules massives de spin nul, sans ou avec charge électrique, établie indépendamment en 1926 par les physiciens Oskar Klein et Walter Gordon.

L'équation de Klein-Gordon[modifier | modifier le code]

Dérivation[modifier | modifier le code]

L'équation de Klein-Gordon peut être obtenue de plusieurs façons. Une méthode consiste à écrire une formulation covariante de l'équation d'Euler-Lagrange[1], et une autre consiste à utiliser l'équation relativiste donnant l'énergie d'une particule isolée :

E^2 \ = \ \vec{p}^{~2} \ c^2 \ + \ m^2 \ c^4

En appliquant à cette équation énergétique le principe de correspondance de la mécanique quantique, on obtient:

- \ \hbar^2 \ \frac{{\partial}^2\Psi(\vec{r},t)}{{\partial}t^2} \ = \ - \ \hbar^2 \ c^2 \ \nabla^2 \ \Psi(\vec{r},t) \ + \ m^2 \ c^4 \ \Psi(\vec{r},t)

Cette équation se réécrit sous la forme suivante :

 \left( \ \Box \  + \ \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \ \right) \ \Psi(\vec{r},t) \ = \ 0

 \Box représente l'opérateur d'alembertien :

 \Box \ = \ \frac{1}{c^2} \ \frac{{\partial}^2 ~~}{{\partial}t^2} \ - \ \nabla^2

On peut également utiliser le formalisme relativiste (en unités naturelles) :

 ( \partial_{\mu} \partial^{\mu}  + m^2 ) \Psi = 0

avec la convention :

 \partial_{\mu}=\left(\frac{\partial}{\partial t}, \vec{\nabla}\right) 
et  \partial^{\mu}=\left(\frac{\partial}{\partial t},-\vec{\nabla}\right)

Difficultés d'interprétation[modifier | modifier le code]

Les solutions de l'équation de Klein-Gordon présentent de sérieuses difficultés d'interprétation dans le cadre de la mécanique quantique originelle, théorie censée décrire une seule particule. Si l'on cherche par exemple à construire une densité de probabilité de présence qui vérifie l'équation relativiste de continuité :

 \frac{\partial \rho(\vec{r},t)}{\partial t} \ + \ \vec{\nabla} \cdot  \vec{j}(\vec{r},t) \ = \ 0

on obtient inévitablement les grandeurs suivantes :


\rho(\vec{r},t) \ = \ N \ \Im\mathfrak m  \left( \ \overline{\Psi} (\vec{r},t) \ \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} \ \right)

\vec{j}(\vec{r},t) \ = \ N c^2 \ \Im\mathfrak m  \left( \ \overline{\Psi} (\vec{r},t) \ \vec{\nabla} \ \Psi(\vec{r},t) \ \right)

 \overline{\Psi} est le complexe conjugué de \Psi , et  N est une constante arbitraire. Or, cette densité  \rho n'est pas positive partout, donc ne peut représenter une densité de probabilité de présence.

Le cadre pertinent pour interpréter cette équation quantique relativiste sans difficultés est la théorie quantique des champs[2]

De l'équation de Klein-Gordon à l'équation de Dirac[modifier | modifier le code]

Le fait que la densité  \rho ne soit pas positive partout provient du fait que cette densité contient une dérivée première par rapport au temps, comme l'a remarqué Dirac en 1928. Ceci est lié au fait que l'équation de Klein-Gordon contient une dérivée temporelle seconde.

Approche naïve[modifier | modifier le code]

Pour obtenir une équation relativiste du premier ordre en temps, on peut songer à quantifier directement l'expression :

E \ = \ \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}

La procédure de quantification canonique conduit alors à l'équation :

 i \, \hbar \ \frac{\partial}{\partial t}\Phi(\vec{r},t) \ = \ \sqrt{ \ - \, c^2 \, \nabla^2 \, + \, m^2 \, c^4  \ } \ \Phi(\vec{r},t)

En raison de la présence d'une racine carrée sur l'opérateur aux dérivées partielles spatiales, cette équation semble a priori bien peu commode à résoudre. On sait aujourd'hui donner un sens mathématiquement précis à l'opérateur \sqrt{ - \, c^2 \, \nabla^2 \, + \, m^2 \, c^4  \ } : c'est un opérateur pseudo-différentiel, qui a notamment la particularité d'être non-local.

L'équation de Dirac[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équation de Dirac.

Dirac recherchera alors une autre équation relativiste du premier ordre en temps et en espace. Il commencera par essayer d'établir une relation de dispersion du type :

E \ = \ \vec{\alpha} \cdot \vec{p} \, c \ + \ \beta \ m \, c^2

entre l'énergie, la masse et l'impulsion. Il réussira et, après quantification canonique, obtiendra finalement une équation qui porte aujourd'hui son nom, l'équation de Dirac, et qui décrit très bien les fermions de spin un-demi comme l'électron. Le cadre pertinent pour interpréter cette équation quantique relativiste sans difficultés est encore celui de la théorie quantique des champs.

Aspects historiques[modifier | modifier le code]

La querelle des origines[modifier | modifier le code]

Il est amusant de remarquer que, selon Dirac[3], Schrödinger aurait d'abord écrit l'équation relativiste dite aujourd'hui de Klein-Gordon, ceci pour tenter de décrire l'électron au sein de l'atome d'hydrogène. En effet, la lecture du premier mémoire de Schrödinger publié en février 1926 montre que celui-ci a déjà essayé une équation d'onde relativiste, mais ce premier mémoire ne contient pas l'équation écrite explicitement. Les prédictions obtenues n'étant pas conforme aux résultats expérimentaux assez précis obtenus par Paschen dès 1916, Schrödinger se serait alors aperçu que c'était l'équation non relativiste - dite aujourd'hui de Schrödinger - qui donnait le bon spectre pour l'hydrogène (après inclusion des effets de spin de façon ad hoc). Schrödinger n'a publié son équation relativiste que dans le quatrième mémoire de 1926.

Entre temps, plus précisément entre les mois d'avril et septembre 1926, pas moins de cinq autres articles, publiés indépendamment, contenaient l'équation dite aujourd'hui de Klein-Gordon[4]. Les auteurs de ces cinq articles, dont les références figurent dans la bibliographie, sont : Klein, Gordon, Fock, de Donder et van den Dungen, et enfin Kudar.

Enfin, dans son second article de 1926, Fock introduit également la procédure de couplage minimal[5], décrivant le couplage de la particule massive de charge électrique e à un champ électromagnétique externe donné, représenté par un quadri-potentiel A_{\mu}.

Détails techniques[modifier | modifier le code]

Couplage minimal[modifier | modifier le code]

Pour une charge e en présence d'un champ électromagnétique externe donné, représenté par le quadri-potentiel A_{\mu}, la prescription de couplage minimal de Fock conduit à substituer à la quadri-impulsion p_{\mu} la quantité suivante :

p_{\mu} \quad \longrightarrow \quad p_{\mu} \, - \, e \, A_{\mu}

Introduisons explicitement les composantes temporelle et spatiales de la quadri-impulsion :

p^{\mu}  \ = \ \begin{pmatrix} \frac{E}{c} \\ \vec{p}\end{pmatrix} et p_{\mu}  \ = \ \begin{pmatrix} \frac{E}{c} \\ - \ \vec{p}\end{pmatrix}

et du quadri-potentiel :

A^{\mu}  \ = \ \begin{pmatrix} \frac{V}{c} \\ \vec{A}\end{pmatrix} et A_{\mu}  \ = \ \begin{pmatrix} \frac{V}{c} \\ - \ \vec{A}\end{pmatrix}

On obtient alors explicitement :

p^{\mu} \, - \, e \, A^{\mu} \ = \ \begin{pmatrix} \frac{1}{c} \, \left( \, E \, - \, e \, V \, \right) \\ \vec{p} \, - \, e \, \vec{A}\end{pmatrix}

Spectre de l'atome d'hydrogène d'après le couplage minimal[modifier | modifier le code]

On repart de l'équation de dispersion relativiste d'une particule massive isolée :

E^2 \ = \ \vec{p}^{~2} \ c^2 \ + \ m^2 \ c^4 \quad \Longleftrightarrow \quad p_{\mu} \, p^{\mu} \ = \ m^2 \, c^2

On y introduit le couplage minimal de Fock :

\left( p_{\mu} \, - \, e \, A_{\mu} \right) \, \left( p^{\mu} \, - \, e \, A^{\mu} \right) \ = \ m^2 \, c^2

ce qui donne explicitement en substituant les composantes :

\left( E \, - \, e \, V \right)^2 \ - \ \left( \vec{p} \, - \, e \, \vec{A} \right)^2 c^2 \ = \ m^2 \, c^4

En présence d'un potentiel Coulombien statique décrivant l'interaction de l'électron avec un proton (supposé infiniment lourd), le potentiel vecteur est nul : \vec{A} = 0, et on a :

\left( \, E \, + \, \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \,  \right)^2 \ - \ \vec{p}^{~2} c^2 \ = \ m^2 \, c^4

On applique la quantification canonique à cette équation classique, qui devient un opérateur aux dérivées partielles :

 \left( \, i \, \hbar \, \frac{\partial ~~}{\partial t} \, + \, \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \, \right)^2 \ - \ \left( \, - \, i \, \hbar \, \vec{\nabla} \, \right)^2 c^2 \ = \ m^2 \, c^4

d'où l'équation dépendant du temps :

 \left( \, i \, \hbar \, \frac{\partial ~~}{\partial t} \, + \, \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \, \right)^2 \ \Psi(\vec{r},t)  \ + \  \hbar^2 c^2 \, \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) \ = \ m^2 \, c^4 \ \Psi(\vec{r},t)

On recherche enfin les états stationnaires d'énergie Econstante sous la forme d'une fonction purement spatiale multipliée par une exponentielle oscillante en temps :

\Psi(\vec{r},t) \ =  \ \psi(\vec{r}) \ e^{-iEt/\hbar}

On obtient alors l'équation aux valeurs propres :

 \left( E \, + \, \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \, \right)^2 \ \psi(\vec{r})  \ + \  \hbar^2 c^2 \, \nabla^2 \psi(\vec{r}) \ = \ m^2 \, c^4 \ \psi(\vec{r})

Schrödinger fut découragé par le fait que cette équation ne donne pas le spectre correct de l'atome d'hydrogène. On obtient en effet les niveaux d'énergie suivants :

E_{n,l} \ = \ mc^2 \ \left[ \, 1 \, - \, \frac{\alpha^2}{2 \, n^2} \, - \, \frac{\alpha^4}{2 \, n^4} \ \left( \frac{n}{l + \frac12} \, - \, \frac{3}{4} \right) \, \right] \ + \ O(\alpha^6)

où le nombre quantique principal n est un nombre entier strictement positif, le nombre quantique orbital l est un nombre entier positif compris entre 0 et n - 1, et \alpha est la constante de structure fine :

\alpha \ = \ \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} \ \simeq \ \frac{1}{137,04}

Le terme d'ordre \alpha^2 est correct[6], mais le terme suivant d'ordre \alpha^4, qui décrit la structure fine, n'est pas conforme aux résultats expérimentaux obtenus par Paschen dès 1916. L'expression correcte à cet ordre est en effet :

E_{n,l} \ = \ mc^2 \ \left[ \, 1 \, - \, \frac{\alpha^2}{2 \, n^2} \, - \, \frac{\alpha^4}{2 \, n^4} \ \left( \frac{n}{j + \frac12} \, - \, \frac{3}{4} \right) \, \right] \ + \ O(\alpha^6)

où le nombre quantique j = l + 1/2, le demi supplémentaire étant lié au spin de l'électron, qui n'est pas inclus dans l'équation de Klein-Gordon.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Mémoires historiques[modifier | modifier le code]

  • Erwin Schrödinger ; Mémoires sur la mécanique ondulatoire, Félix Alcan (Paris-1933). Réédité par Jacques Gabay (Paris-1988), ISBN 2-87647-048-9.
  • Friedrich Paschen ; Annalen der Physik (Leipzig) 50 (1916) 901.
  • Oskar Klein ; Zeitschrift für Physik 37 (1926) 895.
  • Walter Gordon ; Zeitschrift für Physik 40 (1926) 117
  • Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242
  • Théodore de Donder & H. van den Dungen ; Comptes-rendus de l'Académie des Sciences (Paris) 183 (1926) 22.
  • J. Kudar ; Annalen der Physik (Leipzig) 81 (1926) 632.
  • Vladimir Fock ; Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226

Synthèses modernes[modifier | modifier le code]

  • Steven Weinberg ; The quantum theory of fields - Volume I: foundations, Cambridge University Press (1995), ISBN 0-521-55001-7. Le premier volume d'un traité monumental qui en comporte 3, consacré à la théorie quantique des champs. Steven Weinberg est un expert du domaine, prix Nobel 1979.
  • Abraham Pais ; Inward Bound - Of Matter & Forces in the Physical World, Oxford University Press (1986), ISBN 0-19-851997-4. Écrite par un ancien assistant d'Einstein à Princeton, cette histoire des développements de la physique moderne démarre en 1895 avec la découverte expérimentale des rayons X, et se termine en 1983 lors de la découverte expérimentale au C.E.R.N. des bosons-vecteurs W et Z. L'auteur décrit avec beaucoup de détails l'évolution des idées, indiquant systématiquement les références des publications originales.
  • Tian Yu Cao ; Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-63420-2.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en)Advanced quantum mechanics, J.J. Sakurai
  2. Dans le cadre de la théorie quantique des champs, l'équation de Klein-Gordon est utilisée pour décrire les bosons de spin nul (elle ne convient donc pas pour le photon). Une solution réelle de cette équation caractérise une particule sans charge électrique (particule dite scalaire), alors qu'une solution complexe caractérise une particule avec charge (particule dite pseudo-scalaire).
  3. Steven Weinberg ; The quantum theory of fields - Volume I: foundations, Cambridge University Press (1995), ISBN 0-521-55001-7. Le premier volume d'un traité monumental qui en comporte 3, consacré à la théorie quantique des champs. Steven Weinberg est un expert du domaine, prix Nobel 1979.
  4. Abraham Pais ; Inward Bound - Of Matter & Forces in the Physical World, Oxford University Press (1986), ISBN 0-19-851997-4. Écrite par un ancien assistant d'Einstein à Princeton, cette histoire des développements de la physique moderne démarre en 1895 avec la découverte expérimentale des rayons X, et se termine en 1983 lors de la découverte expérimentale au C.E.R.N. des bosons-vecteurs W et Z. L'auteur décrit avec beaucoup de détails l'évolution des idées, indiquant systématiquement les références des publications originales.
  5. Tian Yu Cao ; Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-63420-2.
  6. Ce terme est le même que celui obtenu à partir de l'équation de Schrödinger non relativiste pour un électron sans spin, et aussi le même que celui obtenu à partir du modèle semi-classique de Bohr. Il reproduit correctement la formule expérimentale de Balmer.