Théorème du gradient

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Le théorème du gradient est un théorème de l'analyse vectorielle qui met en relation l'intégrale de volume du gradient d'un champ scalaire et l'intégrale de surface du même champ.

Le théorème est le suivant :

$\iiint_V \vec{\nabla} \! f ~ dV = \iint_S f ~ d\vec S$ ,

où S est le bord de V et f un champ scalaire.

Démonstration

Soit $\vec{u}\,$ un champ vectoriel uniforme (et non nul).

Considérons l'intégrale suivante :

$I =\left ( \iint_S f ~ d\vec S \right ) \cdot \vec{u}$

$\vec{u}\,$ étant uniforme, et le produit scalaire étant commutatif et distributif sur l'addition des vecteurs, on peut écrire :

$I =\iint_S f \, \vec{u} \cdot d\vec S$

Selon le théorème de flux-divergence,

$\iint_S f \, \vec{u} \cdot d\vec S = \iiint_V \vec{\nabla} \! \cdot \! (f \, \vec{u}) ~ dV$

Or, d'après l'une des formules de Leibniz de l'analyse vectorielle,

$\vec{\nabla} \! \cdot \! (f \, \vec{u}) = \vec{\nabla} \! f \cdot \vec{u} + f \, \vec{\nabla} \! \cdot \! \vec u$

Et puisque la divergence d'un champ vectoriel uniforme est nulle, on a

$\vec{\nabla} \! \cdot \! (f \, \vec{u}) = \vec{\nabla} \! f \cdot \vec{u}$

Par conséquent,

$I =\iint_S f \, \vec{u} \cdot d\vec S = \iiint_V \vec{\nabla} \! f \cdot \vec{u} \ ~ dV$

Encore une fois, $\vec{u}\,$ étant uniforme et le produit scalaire commutatif et distributif sur l'addition des vecteurs, on peut écrire :

$I =\left ( \iint_S f ~ d\vec S \right ) \cdot \vec{u} = \left ( \iiint_V \vec{\nabla} \! f ~ dV \right ) \cdot \vec{u}$

On en déduit donc que

$\iint_S f ~ d\vec S = \iiint_V \vec{\nabla} \! f ~ dV$

Voir aussi

• Gradient
• Intégrale de surface
• Théorème de flux-divergence
• Théorème du rotationnel