Équation aux dérivées partielles hyperbolique

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En mathématiques, un problème hyperbolique ou équation aux dérivées partielles hyperbolique d'ordre n est une équation aux dérivées partielles (EDP) qui, en simplifiant, donne un problème de Cauchy bien posé pour ses n-1 premières dérivées. Plus précisement, le problème de Cauchy peut être localement résolue pour une donnée initiale arbitraire sur toute hypersurface non-caractéristique. Les problèmes hyperboliques modélisent essentiellement des phénomènes de propagation, comme dans la mécanique. On citera l'exemple le plus connu, l'équation d'onde :

\partial^2_{tt}u - \Delta u = 0.\,

Les solutions des problèmes hyperboliques possèdent des propriétés ondulatoires. Si une perturbation est faite sur la donnée initiale d'un problème hyperbolique, alors tous les points de l'espace ne ressentiront pas ses effets au début. Relativement à un point espace-temps fixe, les perturbations ont une vitesse de propagation finie et se déplacent le long des caractéristiques de l'équation. Cette propriété permet de distinguer les problèmes hyperboliques des problèmes elliptiques ou paraboliques, où les perturbations des conditions initiales (ou de bord) auront des effets sur tous les points du domaine.

Bien que la définition de l'hyperbolicité est fondamentalement qualitative, il y a des critères précis qui dépendent directement de l'équation différentielle considérée.

Définition[modifier | modifier le code]

Une équation aux dérivées partielles est hyperbolique en un point P si le problème de Cauchy est uniquement résoluble dans un voisinage de P pour toute donnée initiale fixée sur une hypersurface non-caractéristique contenant P[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Par un changement linéaire de variables, toute équation de la forme

 Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \text{(termes d'ordre 1 et 0)} = 0 \,

avec

 B^2 - A C > 0 \,

peut être transformée en équation d'ondes, mis à part les termes d'ordres inférieurs qui ne sont pas représentatifs de la nature de l'équation[2]. Cette définition est à rapprocher de celle de la conique hyperbole.

L'équation des ondes :

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \Delta u = 0

est un problème hyperbolique, quelle que soit la dimension.

Ce genre de problème hyperbolique du second ordre peut se transformer en un système hyperbolique d'équations différentielles du premier ordre[3].

Système hyperbolique d'équations aux dérivées partielles[modifier | modifier le code]

Soit le système suivant de s équations aux dérivées partielles du premier ordre pour s fonctions inconnues  \vec u = (u_1, \ldots, u_s) ,  \vec u =\vec u (\vec x,t), avec \vec x \in \mathbb{R}^d

(*) \quad \frac{\partial \vec u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 \vec {f^j} (\vec u) = 0,

avec \vec {f^j} \in C^1(\mathbb{R}^s, \mathbb{R}^s), j = 1, \ldots, d sont des fonctions continûment dérivables, non-linéaires en général.

On pose ensuite pour chaque \vec {f^j} la matrice matrice s \times s

A^j:=
\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1^j}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial f_1^j}{\partial u_s} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\ 
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_1} & \cdots &
\frac{\partial f_s^j}{\partial u_s}
\end{pmatrix}
,\text{ pour }j = 1, \ldots, d.

Le système (*) est dit hyperbolique si pour tout \alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbb{R}, la matrice A := \alpha_1 A^1 + \cdots + \alpha_d A^d a des valeurs propres réels et est diagonalisable.

Si la matrice A a des valeurs propres réelles deux à deux distinctes, elle est alors diagonalisable, et on parle alors de système fortement hyperbolique.

Systèmes hyperboliques et lois de conservation[modifier | modifier le code]

Il y a un lien fort entre les problèmes hyperboliques et les lois de conservation. Considérons un problème hyperbolique en une dimension pour la fonction u = u(\vec x, t). On a alors

(**) \quad \frac{\partial u}{\partial t}
 + \sum_{j=1}^d \frac{\partial}{\partial x_j}
 {f^j} (u) = 0,

L'inconnue u peut être une quantité ayant un flux \vec f = (f^1, \ldots, f^d). Pour montrer que cette quantité est conservée, on intègre sur un domaine \Omega

\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t}\,d\Omega + \int_{\Omega} \nabla \cdot \vec f(u)\,d\Omega = 0.

Si u et \vec f sont des fonctions assez régulières, le théorème d'Ostrogradski s'applique et on obtient alors une loi de conservation pour u qui s'écrit sous la forme :

\frac{d}{dt} \int_{\Omega} u\,d\Omega  + \int_{\partial\Omega} \vec f(u) \cdot \vec n\,d\Gamma = 0,

Ainsi, on voit que la quantité de u passant à travers \Omega est conservée.

Résolution d'un problème hyperbolique en une dimension[modifier | modifier le code]

Le problème réduit à une dimension est le sujet de nombreuses études, notamment dans le cadre d'un problème de Riemann. On étudie alors l'équation :


\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0, \, \forall (x,t) \in \Omega \times [0 ; +\infty[

Méthodes des caractéristiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode des caractéristiques.

En réécrivant la loi de conservation sous forme non conservative


\frac{\partial u}{\partial t} + c(u) \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \, \forall (x,t) \in \Omega \times [0 ; +\infty[

avec c(u)=f'(u), il vient que les caractéristiques sont les solutions de la famille d'équations différentielles :


\frac{d}{d t} X_y(t) = c(u(X_y(t),t)), \quad X_y(0)=y.

Ainsi, u est constante le long des droites x = y + c(u(y,0))t, qu'on appelle droites caractéristiques.

Dans le cas où f est linéaire (c(u)=c), les droites caractéristiques sont parallèles et la solution est donc une propagation de la solution initiale vers l'avant à la vitesse c, sans déformation :


u(x,t) = u_0(x-ct).

Cependant, dans le cas général où c n'est pas linéaire, on ne peut garantir l'unicité de la solution à coup sûr, car les caractéristiques peuvent se croiser en un point (x,t). C'est pourquoi on définit la fonction vitesse initiale c_0 = c (u_0) afin d'étudier la possibilité que deux caractéristiques issus de deux points différents se croisent en un même temps.

Théorème — Dans le cas où la vitesse initiale est croissante, il existe une unique solution au problème hyperbolique.

Conditions de Rankine-Hugoniot[modifier | modifier le code]

Afin de déterminer si une solution régulière par morceaux est solution faible du problème hyperbolique étudié, il faut qu'elle vérifie les conditions de Rankine-Hugoniot :

Conditions de Rankine-Hugoniot — Soit t \mapsto \alpha(t) une courbe régulière. Soit u une fonction de classe C1, bornée ainsi que ses dérivées, dans \Omega_- = \{(x,t), x < \alpha(t)\} et de classe C1 dans \Omega_+ = \{(t,x), x > \alpha(t)\}.

Alors u est solution faible du problème de Riemann si et seulement si :

  • u(x,t=0) = u_0(x)
  • u vérifie l’équation au sens classique dans \Omega_- et \Omega_+
  • u vérifie de plus la condition de saut suivante :
f(u(\alpha(t)^+,t))) - f(u(\alpha(t)^-,t))) = \alpha'(t) (u(\alpha(t)^+,t) - u(\alpha(t)^-,t)), \,\forall t \geqslant 0.

Cette condition de saut est souvent notée :

[\![ f(u) ]\!] = \alpha' [\![ u ]\!].

La courbe α décrit ici le parcours de la discontinuité, et sa dérivée α' correspond donc à la vitesse de parcours.

Solutions entropiques[modifier | modifier le code]

Il est possible de montrer l'existence de solutions à ce problème mais si dans le cas des lois linéaires (f est une application linéaire), on peut prouver l'unicité des solutions faibles au problème, ce n'est pas le cas en général pour les lois non-linéaires.

Afin de trouver les solutions les plus « physiques », on cherche en général les solutions dites « entropiques ».

On appelle couple entropie-flux d'entropie tout couple de fonctions (\eta,q) vérifiant :

On citera par exemple les couples entropie-flux d'entropie de Kruzhkov, définie pour k réel :

\eta_k (u) = |u-k|, \, q_k(u) = \operatorname{sgn}(u-k)(f(u)-f(k)).

C'est la fonction η qui fait donc ici office d'équivalent à l'entropie.

On appelle solution faible entropique du problème de Riemann toute fonction u bornée vérifiant pour tout couple entropie-flux d'entropie (\eta,q), l'inégalité suivante au sens des distributions :

\frac{\partial\eta(u)}{\partial t} + \frac{\partial q(u)}{\partial x} \leqslant 0.

Cette notion d'entropie permet de caractériser une solution et donc d'assurer l'unicité de la solution faible correspondante :

Théorème — Pour toute donnée initiale u0, il existe une unique solution faible entropique au problème.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Rozhdestvenskii
  2. Evans 1998, p.400
  3. Evans 1998, p.402

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]