Équation de Poisson

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En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles du second ordre suivante :

\displaystyle \Delta\phi=f

\displaystyle \Delta est l'opérateur laplacien et \displaystyle f est une fonction généralement donnée.

Sur un domaine borné de \R^N et de frontière régulière, le problème de trouver \displaystyle \phi à partir de \displaystyle f et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé  : la solution existe et est unique.

Ce problème est important en pratique :

\Delta V = - {\rho \over \varepsilon_0}.
\displaystyle\Delta \Phi = 4 \pi \, G \, \rho

Conditions aux limites[modifier | modifier le code]

L'équation de Poisson étant insensible à l’ajout sur \displaystyle \phi d’une fonction satisfaisant l’équation de Laplace (ou une simple fonction linéaire par exemple), une condition aux limites est nécessaire pour espérer l'unicité de la solution : par exemple les conditions de Dirichlet, celles de Neumann, ou des conditions mixtes sur des portions de frontière.

Équation de Poisson à deux dimensions[modifier | modifier le code]

En coordonnées cartésiennes dans \mathbb R^2, considérons un ouvert \displaystyle \Omega, une fonction \displaystyle f continue sur \displaystyle \Omega et une fonction \displaystyle g continue sur la frontière \partial \Omega. Le problème consiste à trouver une fonction de deux variables réelles \varphi(x,y) définie sur \displaystyle \Omega qui vérifie les deux relations :


{\partial^2 \over \partial x^2 }\varphi(x,y) +
{\partial^2 \over \partial y^2 }\varphi(x,y) = f(x,y) sur \displaystyle \Omega
et \varphi = g sur \partial \Omega.

Cette formulation est un modèle mathématique du problème statique d’une membrane élastique tendue et chargée (une peau de tambour) :

  • \displaystyle f est la densité de charge (exprimée par exemple en Pa, ceci à un multiple près caractérisant les propriétés d’élasticité de la membrane),
  • \displaystyle g est la cote (élévation verticale) le long de la frontière de fixation de la membrane,
  • la solution \varphi(x,y) indique la cote de la membrane dans \displaystyle \Omega.

Formulation faible et solution[modifier | modifier le code]

Soit \displaystyle \Omega un domaine ouvert et borné de \R^N dont la frontière \part \Omega est suffisamment régulière pour satisfaire le théorème de la divergence. Soit \mathbf n le vecteur normal à \part \Omega et dirigé vers l’extérieur.

Soient \displaystyle f une fonction de \displaystyle L^2(\Omega), puis \displaystyle g et \alpha > 0 des fonctions continues définies sur \part \Omega.

On cherche une solution \displaystyle \phi pour chacun des problèmes suivants :

\displaystyle - \Delta\phi=f sur \displaystyle \Omega
satisfaisant l’une des conditions sur \part \Omega :
  1. \displaystyle \phi = 0
  2. \nabla \phi \cdot \mathbf n = g et \int_{\Omega} \phi \, \mathrm{d}V = 0 (pour fixer la constante additive d’indétermination)
  3. \nabla \phi \cdot \mathbf n + \alpha \phi = 0

Pour toute fonction \displaystyle \psi régulière, la relation

{\mathrm{div}} (\psi \, \nabla \phi) = \nabla \phi \cdot  \nabla \psi + \psi \Delta\phi

et le théorème de la divergence impliquent

\int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \psi \, \Delta\phi \, \mathrm{d}V + \int_{\part\Omega} \psi \, \nabla \phi \cdot \mathbf n \, \mathrm{d}S.

Si \displaystyle \phi est solution du problème précédent muni de la condition aux limites retenue, alors

  1. \int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V = \int_{\Omega} f \, \psi \, \mathrm{d}V
  2. \int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V = \int_{\Omega} f \, \psi \, \mathrm{d}V + \int_{\part\Omega} g \, \psi \, \mathrm{d}S
  3. \int_{\Omega} \nabla \phi \cdot  \nabla \psi \, \mathrm{d}V + \int_{\part\Omega} \alpha \, \phi \, \psi \, \mathrm{d}S = \int_{\Omega} f \, \psi \, \mathrm{d}V

En notant a(\phi, \, \psi) le membre de gauche et \displaystyle b(\psi) celui de droite, la formulation faible consiste à :

  • définir un espace vectoriel \displaystyle H approprié dans lequel \displaystyle a(.,.) et \displaystyle b(.) sont définies,
  • rechercher \displaystyle \phi \in H tel que a(\phi, \, \psi) = b(\psi) pour tout \psi \in H.

Si elle existe, la solution naturelle de ces formulations se trouve dans l’espace de Sobolev \displaystyle H^1(\Omega) muni de sa norme \|\psi\|^2_{H^1} = \|\psi\|^2_{L^2} + \|\nabla \psi\|^2_{L^2}.

En effet, pour chaque problème, a(., .) est une forme bilinéaire symétrique définie sur H^1(\Omega) \times H^1(\Omega), et b(.) est une forme linéaire sur \displaystyle H^1(\Omega).

Proposition — Soit \displaystyle \Omega un domaine ouvert et borné de \R^N et de frontière \part \Omega régulière (ou régulière par morceaux), \displaystyle f dans \displaystyle L^2(\Omega), puis \displaystyle g et \alpha > 0 des fonctions continues définies sur \part \Omega.

Alors les trois problèmes précédents possèdent une unique solution \displaystyle \phi dans \displaystyle H^1(\Omega) qui est caractérisée par la formulation faible correspondante mise en oeuvre dans les espaces suivants :

  1. H = H^1_0(\Omega) qui est l’adhérence dans \displaystyle H^1(\Omega) des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact dans \displaystyle \Omega.
  2. H = \left \{ \phi  \in H^1(\Omega) \, | \int_{\Omega} \phi \, \mathrm{d}V = 0 \right \}.
  3. \displaystyle H = H^1(\Omega).

Résolution[modifier | modifier le code]

Il y a diverses méthodes pour la résolution numérique. La méthode de relaxation, un algorithme itératif, est un exemple. Les méthodes basées sur les transformées de Fourier sont presque toujours utilisées en gravitation universelle.

Considérations historiques et essais de résolution[modifier | modifier le code]

L'équation de Poisson est une correction célèbre de l’équation différentielle de Laplace au second degré pour le potentiel :

 \nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho \; ,

On appelle aussi cette équation : l'équation de la théorie du potentiel publiée en 1813. Si une fonction d’un point donné ρ = 0, nous obtenons l’équation de Laplace :

 \nabla^2 \phi = 0 \; .

En 1812, Poisson découvrit que cette équation n’est valide qu'hors d’un solide. Une preuve rigoureuse pour les masses avec une densité variable fut d’abord donnée par Carl Friedrich Gauss en 1839. Les deux équations ont leurs équivalents en analyse vectorielle. L’étude des champs scalaires φ d’une divergence donne :

 \nabla^2 \phi = \rho (x, y, z) \; .

Par exemple, une équation de Poisson pour un potentiel électrique en surface Ψ, qui montre sa dépendance de la densité d’une charge électrique ρe dans une place particulière :

 \nabla^2 \Psi = {\partial ^2 \Psi\over \partial x^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial y^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial z^2 } =
                     - {\rho_{e} \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \; .

La distribution d’une charge dans un fluide est inconnue et nous devons utiliser l’équation de Poisson-Boltzmann :

 \nabla^2 \Psi = {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} -
            e^{-e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} \right) \; ,

ce qui, dans la plupart des cas, ne peut être résolu analytiquement, mais seulement pour des situations particulières. Dans les coordonnées polaires, l’équation de Poisson-Boltzmann est :

 {1\over r^{2}} {d\over dr} \left( r^{2} {d\Psi \over dr} \right) =
     {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} - e^{-e\Psi (r)\over k_{B}T} \right) \; ,

laquelle ne peut pas non plus être résolue analytiquement. Même si le champ φ n’est pas scalaire, l’équation de Poisson est valide, comme elle peut l’être par exemple dans un espace de Minkowski à quatre dimensions :

 \square \phi_{ik} = \rho (x, y, z, ct) \; .

Si ρ(x, y, z) est une fonction continue et si pour r→∞ (ou si un point 'se déplace' à l’infini) une fonction φ va à 0 suffisamment rapidement, une solution à l’équation de Poisson est le potentiel newtonien d’une fonction ρ(x, y, z) :

 \phi_M = - {1\over 4 \pi} \int {\rho (x, y, z) dv \over r} \; ,

r est une distance entre l’élément avec le volume dv et le point M. L’intégration parcourt la totalité de l’espace. L’intégrale de Poisson en résolvant la fonction de Green pour le Problème de Dirichlet de l’équation de Laplace, si le cercle est le domaine étudié :

 \phi(\xi , \eta) = {1\over 2 \pi} \int _0^{2\pi}
     {R^2 - \rho^2\over R^2 + \rho^2 - 2R \rho \cos (\psi - \chi) } \phi
     (\chi) d \chi \; ,

où :

 \xi = \rho \cos \psi \; , \quad \eta = \rho \sin \psi \; .

φ(χ) est une fonction prescrite sur une ligne circulaire, qui définit les conditions aux limites de la fonction requise φ de l’équation de Laplace. De la même manière nous définissons la fonction de Green pour le problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace Del.svg2 φ = 0 dans l’espace, pour un domaine constitué d’une sphère de rayon R. Cette fois la fonction de Green est:

 G(x,y,z;\xi,\eta,\zeta) = {1\over r} - {R\over r_1 \rho} \; ,

où :  \rho = \sqrt {\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2} est une distance d’un point (ξ, η, ζ) depuis le centre d’une sphère, r une distance entre des points (x, y, z), (ξ, η, ζ), r1 est une distance entre le point (x, y, z) et le point (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), symétrique au point (ξ, η, ζ). L’intégrale de Poisson est maintenant de la forme:

 \phi(\xi, \eta, \zeta) = {1\over 4 \pi} \int\!\!\!\int_S {R^2 - 
        \rho^2 \over R r^3} \phi ds \; .

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Liens externes[modifier | modifier le code]