Théorème de Stokes

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William Thomson (Lord Kelvin)
George Stokes

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le théorème de Stokes est un résultat central sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise le théorème fondamental de l'intégration, ainsi que de nombreux théorèmes d'analyse vectorielle. Il possède de multiples applications, fournissant ainsi un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides.

Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à découvrir ce résultat est en réalité Lord Kelvin. Le mathématicien et le physicien entretiennent à ce sujet une correspondance active durant cinq ans, de 1847 à 1853[1]. La forme initialement découverte par Kelvin, et souvent appelée théorème de Kelvin-Stokes, ou parfois simplement théorème de Stokes, est le cas particulier du théorème concernant la circulation du rotationnel, qu'on trouvera décrite dans le paragraphe concernant le sens physique du théorème.

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le code]

Théorème de Stokes — Soit M une variété différentielle orientée de dimension n, et \omega une (n-1)-forme différentielle à support compact sur M de classe C^1. Alors, on a :

\int_M\!\mathrm d\omega=\int_{\partial M}\!i^*\omega

d désigne la dérivée extérieure, \partial M le bord de M, muni de l'orientation sortante, et i:\partial M\rightarrow M est l'injection canonique.

La démonstration actuelle demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; son apparente simplicité est trompeuse. L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle, et de se ramener à un cas presque évident.

Soit \{U_i\}_I un recouvrement localement fini de M par des domaines de cartes locales \phi_i:U_i\rightarrow \phi_i(U_i)\subset \R^n, telles que :

\phi_i(U_i\cap \partial M)=\phi_i(U_i)\cap (\{0\}\times \R^{n-1}).

Introduisons \chi_i une partition de l'unité subordonnée à \{U_i\}. Comme le support de \omega est fermé, la forme différentielle \omega s'écrit :

\omega=\sum \chi_{i}\omega

où la sommation est à support fini. Posons \beta_i=\phi_i^*\left[\chi_i\omega\right], forme différentielle à support compact de M' = ℝ+×ℝn–1. La restriction \phi_i|_{\partial M} est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations sortantes. On a donc :

\int_{\partial M}\!\left[\chi_i\omega\right]=\int_{\partial M'}\! \beta_i.

Comme \phi_i^* commute avec l'opérateur de différentiation d, on a :

\int_M\! \mathrm d\left[\chi_i\omega\right]=\int_{M'}\! \mathrm d\beta_i.

Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier M' = ℝ+×ℝn–1.

Une (n-1)-forme \omega sur M' = ℝ+×ℝn–1 s'écrit :

\omega=\sum_{i=1}^n f_i\cdot \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat{\mathrm dx_i}\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n

où le chapeau désigne une omission. On trouve alors :

\begin{align}\mathrm d\omega&=\sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \mathrm dx_j \right)\wedge \mathrm dx_1\wedge\dots\wedge \widehat{\mathrm dx_i}\wedge \dots \wedge \mathrm dx_n\\
&=\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm  dx_1\wedge\dots\wedge\mathrm dx_n.\end{align}

Le théorème de Fubini donne :

\begin{align}
\int_{\R_+\times\R^{n-1}}\! \mathrm d\omega&=\sum_{i=1}^n\int_{\R_+\times\R^{n-1}} (-1)^{i-1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_1 \dots \mathrm dx_n\\
&=\int_{\R^{n-1}}\!\left(\int_0^{+\infty}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \mathrm dx_1\right) \mathrm dx_2\dots\mathrm dx_n+ \sum_{i=2}^n \int_{\R_+\times\R^{n-2}} (-1)^{i-1}\!\left(\int_\R \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i \right)\mathrm dx_1\dots\widehat{\mathrm dx_i}\dots\mathrm dx_n.\end{align}

L'hypothèse que la forme \omega est à support compact permet alors de finir le calcul, car les termes \textstyle\int_\R \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i pour i\geq 2 sont tous nuls  :

\int_{\R_+\times\R^{n-1}}\!\mathrm d\omega = \int_{\R^{n-1}} f_1(0,x_2,\dots,x_n) \mathrm dx_2\dots \mathrm dx_n=\int_{\R^{n-1}} i^*\omega,

d'où le résultat.

Théorème fondamental de l'intégration[modifier | modifier le code]

Si f est une fonction C de la variable réelle, alors f est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est f^\prime(x)\mathrm dx\,. Le bord orienté de [a,b] est \{b\} -\{a\} (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation ), quelles que soient les valeurs relatives de a et b. La formule de Stokes donne dans cette situation :

\int_a^bf'(x)\mathrm dx=f(b)-f(a).~

En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le théorème fondamental de l'intégration et un argument de partition de l'unité.

Formule de Green-Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : théorème de Green.

Soit U un domaine compact lisse de ℝ2 et \alpha=f \mathrm dx+g \mathrm dy une 1-forme différentielle sur ℝ2. Alors, la formule de Stokes s'écrit :

\int_{\partial U} \alpha = \int_{\partial U}\! \left[f \mathrm dx+g \mathrm dy\right]=\iint_U \left[\frac{\partial g}{\partial x} -\frac{\partial f}{\partial y}\right] \,\mathrm dx\,\mathrm dy.

La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.

Formule d'Ostrogradski[modifier | modifier le code]

Article détaillé : théorème de Green-Ostrogradski.

Soit K un domaine compact à bord lisse de \mathbb{R}^3 et posons \omega=\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz une forme volume sur \mathbb{R}^3. Si X est un champ de vecteurs sur un voisinage ouvert de K, alors sa divergence \mathrm{div(X)} vérifie

\mathrm d\left(\iota_X\omega\right)=\mathrm{div}(X)\cdot\omega

\iota_X\omega désigne le produit intérieur de \omega par X. La formule de Stokes s'écrit alors

\int_{\partial K} \iota_X\omega = \int_K \mathrm{div}(X)\cdot\omega

soit, dans les coordonnées où X=(f,g,h),

\iint_{\partial K}\! \left[f \mathrm dy\wedge \mathrm dz+g \mathrm dz\wedge \mathrm dx+h \mathrm dx\wedge \mathrm dy\right]=\iiint_K\! \left[\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}\right]\, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz.

Sens physique de la formule de Stokes[modifier | modifier le code]

Notons \mathrm d\vec S le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine U relativement compact à bord régulier. Soit X un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de U. On définit la forme surfacique sur \partial U par :

\eta=\iota(N)(\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz)\big|_{\partial U}.

On définit le flux de X par :

\oint_{\partial U} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_{\partial U}\langle X\mid N\rangle\cdot \eta.

La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

\oint_{\partial U} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_U (\mathrm{div} X) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz.

Soit \partial S une courbe fermée orientée dans ℝ3, S une surface orientée dont le contour est \partial S . L'orientation de \partial S est induite par l'orientation de S. Si le champ vectoriel \vec{V} admet des dérivées partielles continues, alors :

\oint_{\partial S}\vec V \cdot \mathrm d\vec l = \iint_{S}\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec V \cdot \mathrm d\vec S

\mathrm d\vec l est le vecteur directeur de la courbe en tout point, \overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \vec V= \vec\nabla \wedge \vec V le rotationnel de \vec V, et \mathrm d \vec S le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique). De même, le théorème de flux-divergence permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss en électromagnétisme.

Application à l'homologie[modifier | modifier le code]

La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham.

Elle permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) David B. Wilson, The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs [détail des éditions]