Dérivée

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Icône de paronymie Cet article possède un paronyme, voir Dérive.

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un changement de son argument (valeur d'entrée). Les produits dérivés sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse de l'objet : cette dérivée mesure à quelle vitesse la position de l'objet change lorsque le temps avance.

La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La dérivée en un point d'une fonction de plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici.

La dérivée de la fonction f(x) par rapport à x est notée en mathématiques ou .

On utilise aussi des notations spécifiques, en particulier en physique, pour désigner la dérivée par rapport au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre (), la dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. Cette notation est appelée « notation de Newton ». On utilise dans le même esprit, les notations prime et seconde pour noter la dérivée par rapport à l'espace.

En analyse, le nombre dérivé en un « point » (réel) x d'une fonction f à variable et valeurs réelles est la pente de la tangente au graphe de f au point (x, f(x)). C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de f en x ; ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe. La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse permettant d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.

En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse.

On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champ complexe et on parle alors de dérivée complexe. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables.

Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel.

Histoire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Histoire du calcul infinitésimal.

L'histoire du calcul infinitésimal remonte à l'Antiquité. Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.

La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Gottfried Wilhelm Leibniz et d'Isaac Newton qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f '(x), aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en x. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.

Approche à partir de la pente de la tangente[modifier | modifier le code]

Le graphique d'une fonction, dessinée en noir, et une ligne tangente à cette fonction, dessinée en rouge. La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction au point marqué.

Pour approcher cette notion de manière graphique, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse » ; on dira là que la fonction associée est dérivable.

Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte » (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante.

Si on se donne une abscisse x0 pour laquelle la fonction f est dérivable, on appelle nombre dérivé de f en x0 le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x0. Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change.

Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point (pour plus de détails, voir Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée).

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux, et x0 appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition .

Pour tout tel que , on appelle taux d'accroissement de f en x0 et avec un pas de h la quantité :

Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées (x0 , f(x0)) et (x0 + h , f(x0 + h)).

Si tx0(h) admet une limite finie lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable en x0, auquel cas le nombre dérivé de f en x0 est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors :

ou, de manière équivalente :

Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point.

Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la pente de la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point :

Une sécante s'approche d'une tangente quand Δx → 0.

La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que .

Par exemple, une fonction f d'une variable réelle, à valeurs dans , est dérivable en x0 si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en x0 ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de f. C'est un cas particulier de fonctions d'une variable vectorielle et à valeurs dans un espace vectoriel normé ou métrique.

Dérivabilité et lien avec la continuité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : dérivabilité.

Typiquement, une fonction est dérivable si elle ne présente pas « d'aspérité », de rupture de pente ni de partie « verticale ».

Fonction signe.

Une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas dérivable : comme la fonction fait un saut, on ne peut pas définir de tangente, la limite du taux de variation est infini (la pente de la courbe est verticale). C'est le cas par exemple de la fonction signe sgn(x) en 0 :

  • à gauche de 0 (x < 0), sgn(x) = –1 ;
  • en 0 :

Si ceci entre dans vos compétences, modifiez cette partie selon la bonne syntaxe. Merci

permettent de trouver implicitement ses maxima et ses minima. En effectuant le test de la dérivée première, on construit un tableau de variation ; si le signe de la fonction dérivée passe du plus au moins devant un nombre critique, on a un maximum et si le signe de la fonction dérivée passe du moins au plus devant le nombre critique, on a un minimum.

De plus, lorsque le signe de la dérivée première est positif, la fonction est croissante ; s'il est négatif, elle est décroissante. On ne conclut rien, si au point critique la fonction dérivée ne change pas de signe. En dérivant la dérivée première, on a la dérivée seconde. En effectuant le test de la dérivée seconde, on trouve les nombres critiques de la dérivée première pour les placer dans le même tableau ; lorsqu'on observe un changement de signe de la dérivée seconde devant ce ou ces nombres critiques, on dit qu'on a un (ou des) point(s) d'inflexion. Les points d'inflexion marquent un changement de la concavité de la fonction. Un signe positif de la dérivée seconde signifie que la fonction est convexe et un signe négatif de la dérivée seconde signifie que la fonction est concave. Connaissant les changements de concavité et les extrema de la fonction, on peut alors tracer une esquisse de sa représentation graphique.

Dérivée et optimisation[modifier | modifier le code]

Méthode pour optimiser un rendement à l'aide du calcul différentiel :

  1. Mathématisation
    • Définitions et dessin : on définit les variables inconnues et on les représente sur un schéma.
    • Écrire la fonction objectif à deux variables et préciser si on recherche un maximum ou un minimum dans la situation donnée.
    • Trouver la relation entre les deux variables.
    • Écrire la fonction objectif à une variable et préciser le domaine de la fonction.
  2. Analyse
    • Dériver la fonction pour obtenir la dérivée première.
    • Trouver les nombres critiques de la fonction, où la dérivée première vaut zéro ou n'existe pas dans les intervalles du domaine.
    • Effectuer le test de la dérivée première ou le test de la dérivée seconde pour déterminer le maximum ou le minimum recherché de la situation.
  3. On formule la réponse de façon concise par rapport à la question.

Dérivée algébrique[modifier | modifier le code]

Les algébristes donnent un sens un peu différent au terme dérivée. Ils l'appliquent à une structure B appelée A-algèbre associative unitaire et commutative. Une application D, de B dans B est appelée une dérivation si :

  • L'application D est A-linéaire.
  • b1 et b2 étant deux éléments de B, la dérivée de b1.b2 est égale à la somme du produit de la dérivée de b1 et de b2 et du produit de b1 avec la dérivée de b2 :
    (en particulier, la dérivée de l'élément 1B neutre de B pour la multiplication est nulle).

Un exemple de dérivation définie de cette manière est donné dans l'article polynôme formel.

Dérivée en tant qu'application linéaire[modifier | modifier le code]

En vertu de ses propriétés de linéarité, la dérivée est une application linéaire sur l'ensemble des fonctions dérivables sur un intervalle ouvert de et à valeur réelles, , vers l'ensemble des fonctions continues . Son noyau est constitué des fonctions constantes et tout réel λ est valeur propre de vecteur propre associé , .

La dérivation en tant qu'endomorphisme de n'admet pas de racine carrée. C'est-à-dire que si l'on note l'opérateur de dérivation, alors il n'existe pas d'application linéaire R telle que [1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Oraux X-ENS : Exercices de mathématiques Algèbre 1, t. 1, Paris, Cassini, , 372 p. (ISBN 978-2-84225-132-1), p. 311.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Derivative », sur MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Claude Wagschal, Dérivation, intégration. Avec exercices corrigés, Hermann, 2012