Test de la dérivée première

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En analyse réelle, le test de la dérivée première consiste à étudier[précision nécessaire] le signe la dérivée d'une fonction réelle f afin de déterminer les extrema locaux, les variations de f et les points d'inflexion « horizontaux » de sa courbe représentative. Dans un graphique, les points où la dérivée est nulle se trouvent soit sur un plateau, soit sur un minimum/maximum local (qui peut être global), soit sur un point d'inflexion horizontal.

Il y a trois endroits où une fonction peut avoir un extremum local :

  • aux bornes du domaine de la fonction ;
  • aux points où la tangente est horizontale (f'(x) = 0) ;
  • aux points où la dérivée n'est pas définie (la tangente est verticale ou n'existe pas).

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction polynomiale . Utilisons le test de la dérivée première pour obtenir les extremums, pour éventuellement tracer le graphe de .

Calcul de la dérivée et recherche des zéros

Donc, la tangente est horizontale en et .

La fonction est ici un polynôme et n'a donc aucune valeur où sa dérivée n'est pas définie. La courbe n'admet donc pas de tangente verticale.

Calcul des variations

La fonction dérivée est ici un polynôme du second degré. Son signe est donc caractérisé par ses racines et son coefficient dominant (ici : , positif). Ainsi, la dérivée est négative entre les zéros et positive ailleurs.

Tableau de valeurs
x
f'(x)
f(x)

Donc, comme se trouve dans un « pic » de la fonction, c'est un maximum local. Et comme se trouve dans un « creux » de la fonction, c'est un minimum local.

Articles connexes[modifier | modifier le code]