Test de la dérivée première

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Le test de la dérivée première consiste à calculer la dérivée d'une fonction afin de déterminer les extrema, les variations et les points d'inflexion horizontaux de la première fonction. Dans un graphique, les points où la dérivée est nulle se trouvent soit sur un plateau, soit sur un minimum/maximum local, soit sur un point d'inflexion horizontal. Celui-ci peut être global.

Il y a trois endroits où une fonction peut avoir un maximum ou un minimum, absolu ou relatif.

  1. Aux bornes du domaine de la fonction
  2. Aux points où la tangente est horizontale (f'(x) = 0 )
  3. Aux points où la tangente est verticale (f'(x) n'existe pas)

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f(x)=2x^3-3x^2-12x+10. Utilisons le test de la dérivée première pour obtenir les extremums, pour éventuellement tracer le graphe de f(x).

Calcul de la dérivée et recherche des zéros
f'(x)= 6 x^2 - 6 x - 12 = 6(x-2)(x+1) \Leftrightarrow x = -1 \text{ ou } x= 2.

Donc, la tangente est horizontale en x=2 et x=-1

La fonction est ici un polynôme et n'a donc aucune valeur où sa dérivée n'est pas définie. La courbe n'admet donc pas de tangente verticale.

Calcul des variations

La fonction dérivée est ici un polynôme du second degré. Son signe est donc caractérisé par ses zéros et son coefficient principal (ici, 6, positif). Ainsi, la fonction est négative entre les zéros et positive ailleurs.

Tableau de valeurs
x - \infty -1 2 + \infty
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) - \infty \nearrow 17 \searrow -10 \nearrow + \infty

Donc, comme 17 se trouve dans un « pic » de la fonction, c'est un maximum relatif. Et comme -10 se trouve dans un « creux » de la fonction, c'est un minimum relatif.