Dérivées usuelles

Cet article énumère les fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles.

Domaine de définition $D_f$ Fonction $f(x)$ Domaine de dérivabilité $D_{f'}$ Dérivée $f'(x)$ Condition ou remarque
$\R$ $k$ $\R$ $0$ k constante réelle
$\R$ xn $\R$ nxn–1 n entier naturel
$\R^*$ $\frac1{x^n}=x^{-n}$ $\R^*$ $-nx^{-n-1}=-\frac n{x^{n+1}}$ n entier naturel
$\R_+$ $\sqrt[n]x=x^{1/n}$ $\R_+^*$ $(1/n)x^{(1/n)-1}=\frac1{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ n entier naturel
$\R_+^*$ $x^{\alpha}$ $\R_+^*$ $\alpha x^{\alpha - 1}$ α constante réelle. Fonction prolongeable par continuité en 0 si α ≥ 0, et de prolongée dérivable en 0 si α ≥ 1.
$\R^*$ $\ln |x|$ $\R^*$ $\frac{1}{x}$ Cas a = e de $\log_a |x|$
$\R^*$ $\log_a |x|$ $\R^*$ $\frac{1}{x \ln a}$ $a > 0$ et $a \neq 1$
$\R$ ${\rm e}^x$ $\R$ ${\rm e}^x$ Cas a = e de ax
$\R$ $a^x$ $\R$ $a^x \ln a$ $a > 0$
$\R$ $\sin x$ $\R$ $\cos x$
$\R$ $\cos x$ $\R$ $- \sin x$
$\R \backslash\left(\frac\pi2+\pi\Z\right)$ $\tan x$ $\R \backslash\left(\frac\pi2+\pi\Z\right)$ $\frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x$
$\R \backslash\left(\pi\Z\right)$ $\cot x$ $\R \backslash\left(\pi\Z\right)$ $- \frac{1}{\sin^2 x} = -1-\cot^2 x$
$[ -1 , 1 ]$ $\arcsin x$ $] -1 , 1 [$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$[ -1 , 1 ]$ $\arccos x$ $] -1 , 1 [$ $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\R$ $\arctan x$ $\R$ $\frac{1}{1+x^2}$
$\R$ $\operatorname{sinh} x$ $\R$ $\operatorname{cosh} x$
$\R$ $\operatorname{cosh} x$ $\R$ $\operatorname{sinh} x$
$\R$ $\operatorname{tanh} x$ $\R$ $\frac{1}{\operatorname{cosh}^2 x} = 1 - \operatorname{tanh}^2 x$
$\R^*$ $\operatorname{coth} x$ $\R^*$ $\frac{-1}{\operatorname{sinh}^2 x} = 1 - \operatorname{coth}^2 x$
$\R$ $\ \operatorname{arsinh}\, x$ $\R$ $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$[ 1 , +\infty [$ $\ \operatorname{arcosh}\, x$ $] 1 , +\infty [$ $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$] -1 , 1 [$ $\ \operatorname{artanh}\, x$ $] -1 , 1 [$ $\frac{1}{1-x^2}$

Si $g$ est l'une de ces fonctions, la dérivée de la fonction composée $x\mapsto g(cx)$ (où $c$ est un réel fixé) sera $x\mapsto cg'(cx)$.

Voir aussi

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