Fonction de Weierstrass

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Courbe de la fonction de Weierstrass sur l’intervalle [-2, 2].
Représentation de la fonction de Weierstrass sur l'intervalle [-2, 2]. La fonction a un comportement fractal : n'importe quel zoom (par exemple le cercle rouge) ressemble au zoom total.

La fonction de Weierstrass, aussi appelée fonction de Weierstrass-Hardy, fut le premier exemple publié[1] d'une fonction réelle d'une variable réelle qui est continue partout mais dérivable nulle part. On la doit à Karl Weierstrass et Leopold Kronecker et les hypothèses ont été améliorées par G. H. Hardy.

Il s'agit en fait d'une famille de fonctions, définie comme suit[2] :

et

(Weierstrass supposait de plus entier impair.)

La fonction est continue pour , d'après le critère de Weierstrass. L'hypothèse donnée par Hardy suffit pour qu'elle ne soit dérivable en aucun point, mais la preuve est sensiblement plus difficile[2].

Un autre intérêt de cette fonction est ses caractéristiques similaires aux fractales dans le sens où elle a une complexité uniforme et infinie, indépendamment du facteur d'échelle avec lequel on la considère.

Augmentation linéaire de la valeur de b de 0,1 à 5, pour a fixé égal à 0,5.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) K. Weierstrass, « Über continuirliche Funktionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen », gelesen in der Königl. Akademie der Wissenchaften am 18 Juli 1872, in Karl Weiertrass, Mathematische Werke, Abhandlungen II, Berlin, Mayer & Müller, 1895, p. 71-74.
  2. a et b (en) G.H. Hardy, « Weierstrass's nondifferentiable function », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 17,‎ , p. 301-325 (lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]