Fonction concave

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Fonction convexe.
La fonction représentée à gauche est concave ; celle de droite est convexe.

Une fonction est dite concave lorsque la fonction opposée est convexe.

Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave ».

Exemple de fonctions concaves[modifier | modifier le code]

Exemples de fonctions réelles concaves.

Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposés des fonctions réelles convexe, par exemple :

  • ƒ(x) = –xn avec n un nombre entier pair ;
  • ƒ(x) = –exp(x).

Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple pour x ∈ ℝ+ :

  • ƒ(x) = ln(x) ;
  • ƒ(x) = x1/n avec n entier.

De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme par exemple la fonction ƒ(x) = –|x|.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Fonction convexe-concave