Racine cubique

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Courbe de la racine cubique d'un nombre réel positif x en fonction de x.

En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel est l'unique nombre réel dont le cube (c'est-à-dire la puissance 3e) vaut  ; en d'autres termes, . La racine cubique de est notée .

On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.

Définition[modifier | modifier le code]

De façon générale, on appelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) tout nombre solution de l'équation :

Si est réel, cette équation a dans R une unique solution, qu'on appelle la racine cubique du réel  : .

Dans C, cette équation a trois solutions distinctes, qui sont les racines cubiques du complexe . Lorsque ce complexe est un réel, ces trois solutions sont : , et , où est la racine cubique réelle de et 1, j et j sont les trois racines cubiques de l'unité dans C.

Racine cubique d'un nombre réel[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

.

La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27.

.

Fonction racine cubique[modifier | modifier le code]

Sur R, la fonction racine cubique, notée , est celle qui associe à un nombre réel son unique racine cubique réelle.

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers[Note 1] :

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Racines cubiques d'un nombre complexe[modifier | modifier le code]

Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques complexes distinctes, de somme nulle. Si Z est l'une d'elles, les deux autres sont jZ et j2Z, où

sont les trois racines cubiques de l'unité.

Symbole Unicode[modifier | modifier le code]

U+221B racine cubique (HTML : ∛)

Note[modifier | modifier le code]

  1. Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R+* : pour tout réel y > 0, y1/3 est l'exponentielle de base y du réel 1/3.

Articles connexes[modifier | modifier le code]