Racine cubique

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En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel $y$ est l'unique nombre réel $x$ dont le cube (c'est-à-dire la puissance 3^e) vaut $y$ ; en d'autres termes, $y=x^{3}=x\times x\times x$ . La racine cubique de $y$ est notée ${\sqrt[{3}]{y}}$ .

On peut également parler des racines cubiques d'un nombre complexe.

Définition[modifier | modifier le code]

De façon générale, on appelle racine cubique d'un nombre (réel ou complexe) $y$ tout nombre $x$ solution de l'équation :

$x^{3}=y.$

Si $y$ est réel, cette équation a dans R une unique solution, qu'on appelle la racine cubique du réel $y$ : $x={\sqrt[{3}]{y}}$ .

Dans C, cette équation a trois solutions distinctes, qui sont les racines cubiques du complexe $y$ . Lorsque ce complexe $y$ est un réel, ces trois solutions sont : ${\sqrt[{3}]{y}}$ , ${\rm {j}}{\sqrt[{3}]{y}}$ et ${\overline {\rm {j}}}{\sqrt[{3}]{y}}$ , où ${\sqrt[{3}]{y}}$ est la racine cubique réelle de $y$ et $1$ , $j$ et $j$ sont les trois racines cubiques de l'unité dans C.

Racine cubique d'un nombre réel[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

La racine cubique de 8 est 2 car 2×2×2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique est la longueur de l'arête d'un cube dont est donné le volume. On a un volume de 8 et une arête de 2 ; on écrit :

{\sqrt[{3}]{8}}=2

.

La racine cubique de –27 est –3 car (–3)×(–3)×(–3) = –27

{\sqrt[{3}]{-27}}=-3

.

Fonction racine cubique[modifier | modifier le code]

Sur R, la fonction racine cubique, notée ${\sqrt[{3}]{~}}$ , est celle qui associe à un nombre réel son unique racine cubique réelle.

Sur l'ensemble des réels strictement positifs, la fonction racine cubique est égale à la fonction puissance un tiers^{[Note 1]} :

\forall y\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\sqrt[{3}]{y}}=y^{1 \over 3}

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

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La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition et/ou la soustraction.
D'après le théorème de Wantzel, la racine cubique d'un nombre rationnel n'est pas constructible à la règle et au compas, sauf bien sûr si elle est rationnelle. C'est pourquoi le problème de la duplication du cube n'a pas de solution.

Racines cubiques d'un nombre complexe[modifier | modifier le code]

Tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques complexes distinctes, de somme nulle. Si Z est l'une d'elles, les deux autres sont $j$ Z et $j 2$ Z, où

$1,\quad {\rm {j}}={\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{{\rm {i}}{\frac {2\pi }{3}}}\quad {\rm {et}}\quad {\rm {j}}^{2}={\overline {\rm {j}}}={\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}={\rm {e}}^{-{\rm {i}}{\frac {2\pi }{3}}}$

sont les trois racines cubiques de l'unité.

Symbole Unicode[modifier | modifier le code]

U+221B ∛ racine cubique (HTML : ∛)

Note[modifier | modifier le code]

↑ Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R₊* : pour tout réel y > 0, y^1/3 est l'exponentielle de base y du réel 1/3.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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[1] Comme toute fonction puissance définie en tant que fonction réelle, la fonction puissance 1/3 n'est définie que sur R₊* : pour tout réel y > 0, y^1/3 est l'exponentielle de base y du réel 1/3.

[Note 1]