Algèbre associative

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En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque :

  1. (B , + , . ) est un A-module,
  2. (B , + , × ) est un pseudo-anneau,
  3. \forall \lambda \in A,~\forall x, y \in B,\qquad\lambda \cdot (x \times y) = x \times (\lambda \cdot y) = (\lambda \cdot x) \times y~.

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Dans le cas particulier où l'anneau A est un corps, on parle alors d'algèbre associative sur un corps.

On parle d'algèbre unitaire (ou unifère) lorsque B possède un neutre pour la multiplication.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif.

  • L'ensemble des endomorphismes d'un A-module est une A-algèbre associative.
  • Tout anneau (M , + , × ) (et même tout pseudo-anneau) est aussi une \scriptstyle\Z-algèbre associative pour la loi externe définie par : pour tout entier n,
\left\{\begin{matrix}\text{si }n>0\text{ alors }&n\cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{n\ \mathrm{fois}}~,\\
\text{si }n<0\text{ alors }&n\cdot x=\underbrace{-x-x-\ldots-x}_{|n|\ \mathrm{fois}}~,\\
\text{si }n=0\text{ alors }&n\cdot x=0~.\end{matrix}\right.

Définition équivalente[modifier | modifier le code]

Il existe une définition équivalente[1] lorsque l'algèbre B est unifère :

Soient A un anneau commutatif, B un anneau, et f\,:\,A\to B un morphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi externe (a,b)\mapsto f(a)b qui munit B d'une structure de A-algèbre associative (et unifère).

Inversement, si B est une A-algèbre associative et unifère, f\,:\,a\mapsto a.1_B est un morphisme d'anneaux tel que

(a.1_B)\times x=1_B\times(a.x)=(a.x)\times 1_B=x\times (a.1_B)~\text{donc}~f(a)\times x=x\times f(a)~;

l'image de A est donc contenue dans le centre de B.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Définition utilisée par exemple dans Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]