Algèbre associative

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En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque :

  1. (B , + , . ) est un A-module,
  2. (B , + , × ) est un pseudo-anneau,

Les éléments de A sont appelés les scalaires.

Dans le cas particulier où l'anneau A est un corps, on parle alors d'algèbre associative sur un corps.

On parle d'algèbre unitaire (ou unifère) lorsque B possède un neutre pour la multiplication.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tout anneau (M, + , × ) (et même tout pseudo-anneau) est aussi une -algèbre associative pour la loi externe définie par : pour tout entier et tout élément de M,
  • Tout anneau est une algèbre associative sur son centre, donc sur tout sous-anneau A de ce centre.
  • Soit A un anneau commutatif.

Définition équivalente[modifier | modifier le code]

Il existe une définition équivalente[1] lorsque l'algèbre B est unifère :

Soient A un anneau commutatif, B un anneau, et un morphisme d'anneaux tel que f(A) soit dans le centre de B. On peut alors définir une loi externe qui munit B d'une structure de A-algèbre associative (et unifère).

Inversement, si B est une A-algèbre associative et unifère, est un morphisme d'anneaux tel que

l'image de A est donc contenue dans le centre de B.

Approche catégorique[modifier | modifier le code]

La classe des algèbres associatives sur un même anneau A forme une sous-catégorie pleine de la catégorie des algèbres sur A, et ses objets libres sont les algèbres de polynômes non commutatifs.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Définition utilisée par exemple dans Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]