Formule du binôme de Newton

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La formule de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton[1] pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient x et y deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx — par exemple pour des matrices : y = la matrice identité) et un entier naturel n, alors

où les nombres (parfois aussi notés ) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle et x0 l'élément unité de l'anneau.

En remplaçant dans la formule y par y, on obtient :

Exemples :

Démonstration[modifier | modifier le code]

On peut démontrer la formule de l'énoncé par récurrence[2],[3].

Une preuve plus intuitive[4] utilise le fait que le coefficient binomial est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression

on obtient une somme de monômes de la forme xjykj et k représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément j = n – k, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas y, on choisit x. Enfin, comme il y a manières différentes de choisir k fois la valeur y parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xn–kyk doit apparaître dans le développement avec le coefficient .

Généralisations[modifier | modifier le code]

La démonstration par récurrence peut être calquée pour démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit.

La méthode combinatoire de sa variante permet de généraliser l'identité polynomiale

en

où les σk désignent les polynômes symétriques élémentaires.

Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de plus de deux termes (voir l'article Formule du multinôme de Newton) et à des exposants non entiers (voir l'article Formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article Formule du binôme négatif).

L’application de la formule à des anneaux de fonctions bien choisis (ou en calquant la démonstration par récurrence) permet d’en déduire la formule des différences finies d’ordre supérieur, ainsi que la formule de Taylor à deux variables.

Enfin, les méthodes du calcul ombral permettent d’obtenir des formules analogues (où les exposants sont remplacés par des indices) pour certaines suites de polynômes, tels que les polynômes de Bernoulli.

Références littéraires[modifier | modifier le code]

Le professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En réalité, cette formule était connue dès le Xe siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Halayudha (en)), arabes et perses (Al-Karaji) et au XIIIe siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers (voir l'article formule du binôme généralisée).
  2. La démonstration classique est disponible sur Wikiversité (voir infra), ainsi qu'une méthode plus originale dans cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  3. Binôme de Newton : Démonstration par récurrence en vidéo.
  4. Binôme de Newton : Démonstration par dénombrement en vidéo.
  5. Arthur Conan Doyle, Le Dernier Problème, 1891.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) J. L. Coolidge, « The Story of the Binomial Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 56, no 3,‎ , p. 147-157 (JSTOR 2305028, lire en ligne)