Formule du binôme de Newton

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La formule de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton[1] pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient x et y deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx — par exemple pour des matrices : y = la matrice identité) et un entier naturel n, alors

où les nombres (parfois aussi notés ) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle et x0 l'élément unité de l'anneau.

En remplaçant dans la formule y par y, on obtient :

Exemples :

Démonstration par récurrence[modifier | modifier le code]

Pour n = 0 on a bien :

.

Pour n entier supérieur ou égal à 1, démontrons la formule de l'énoncé par récurrence.

Initialisation[modifier | modifier le code]

Pour n = 1 on a bien :

.

Caractère héréditaire[modifier | modifier le code]

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 :

Par hypothèse de récurrence :

Par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

Par factorisation :

En utilisant la formule du triangle de Pascal :

ce qui termine la démonstration[2].

Variante de la démonstration[modifier | modifier le code]

Une preuve beaucoup plus intuitive[3] utilise le fait que le coefficient binomial est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression

on obtient une somme de monômes de la forme xjykj et k représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément j = n – k, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas y, on choisit x. Enfin, comme il y a manières différentes de choisir k fois la valeur y parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xn–kyk doit apparaître dans le développement avec le coefficient .

Généralisations[modifier | modifier le code]

La démonstration par récurrence peut être calquée pour démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit (inversement, la formule du binôme peut se déduire de celle de Leibniz appliquée au produit exp(ax)exp(bx))[réf. nécessaire].

La méthode combinatoire de sa variante permet de généraliser l'identité polynomiale

en

où les σk désignent les polynômes symétriques élémentaires.

Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de plus de deux termes (voir l'article Formule du multinôme de Newton) et à des exposants non entiers (voir l'article Formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article Formule du binôme négatif).

Références littéraires[modifier | modifier le code]

Le professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En réalité, cette formule était connue dès le Xe siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Halayudha (en)), arabes et perses (Al-Karaji) et au XIIIe siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers (voir l'article formule du binôme généralisée).
  2. Démonstration par récurrence en vidéo.
  3. Binôme de Newton : Démonstration par dénombrement en vidéo
  4. Arthur Conan Doyle, Le Dernier problème, 1891

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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