Polyèdre semi-régulier

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Un polyèdre semi-régulier est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et un groupe de symétrie qui est transitif sur ses sommets. Ou au moins, c'est ce qui découle de la définition de 1900 de Gossett (en) sur le polytope semi-régulier le plus général[1],[2]. Ces polyèdres incluent :

Ces solides semi-réguliers peuvent être entièrement précisés par une configuration de sommet (en), une liste des faces par le nombre de côtés dans l'ordre où ils apparaissent autour d'un sommet. Par exemple 3.5.3.5, représente l'icosidodécaèdre où alternent deux triangles et deux pentagones autour de chaque sommet. 3.3.3.5 au contraire est un antiprisme pentagonal. Ces polyèdres sont quelquefois décrits comme de sommet uniforme.

Depuis Gossett, d'autres auteurs ont utilisé le terme semi-régulier de différentes façons. Elte a donné une définition que Coxeter trouvait trop artificielle. Coxeter lui-même a doublé les figures uniformes de Gossett, avec seulement un sous-ensemble tout à fait restreint classé comme semi-régulier.

D'autres encore, ont pris le chemin opposé, catégorisant plus de polyèdres comme semi-réguliers. Ceux-ci incluent :

  • Trois ensembles de polyèdres étoilés qui coïncident avec la définition de Gossett, analogues aux trois ensembles convexes listés ci-dessus.
  • Les duaux des solides semi-réguliers ci-dessus, faisant remarquer que puisque les polyèdres duaux partagent les mêmes symétries que les originaux, ils devraient aussi être regardés comme semi-réguliers. Ces duaux incluent les solides de Catalan, les diamants convexes et les antidiamants ou trapèzoèdres, et leurs analogues non-convexes.

Une source de confusion supplémentaire est donnée dans la manière dont les solides d'Archimède sont définis, avec l'apparition de nouvelles interprétations différentes.

La définition de Gossett de la semi-régularité inclut des figures de symétrie plus élevée, les polyèdres réguliers et quasi-réguliers. Certains auteurs plus tardifs préfèrent dire que ces polyèdres ne sont pas semi-réguliers, parce qu'ils sont plus réguliers que cela – on dit alors que les polyèdres uniformes incluent les réguliers, les quasi-réguliers et les semi-réguliers. Cette nomenclature marche bien et réconcilie beaucoup de confusions (mais pas toutes).

Dans la pratique, même les autorités les plus éminentes peuvent elles-mêmes être embrouillées, définissant un ensemble donné de polyèdres comme semi-régulier et/ou archimédien, et alors supposant (ou même établissant) un ensemble différent au cours des discussions suivantes. Supposer que la définition s'applique seulement aux polyèdres convexes est probablement la faute la plus commune. Coxeter, Cromwell[3] et Cundy & Rollett[4] sont tous coupables de telles glissades.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semiregular polyhedron » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) T. Gosset, On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
  2. (en) H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, 3e éd., Dover, 1973
  3. (en) P. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1977
  4. (en) H. M. Cundy et A. P. Rollett, Mathematical Models, 2e éd., Oxford University Press, 1961

Liens externes[modifier | modifier le code]